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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Basis d. Vektorraums einer DGL
Basis d. Vektorraums einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Basis d. Vektorraums einer DGL: Altklausur-Aufgabe #3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Sa 21.09.2013
Autor: ggT

Aufgabe
$K$ sei der Vektorraum aller Lösungen [mm] $\mu:\IR \to \IR$ [/mm] der DGL
$y''' - y'' - 5y' -3y = 0$

a) Finde eine Basis von K.
Zusatzaufgabe b) Sei $P := [mm] \{\mu \in K | \limes_{x\rightarrow\infty} \mu(x) = 0\}$. [/mm] Zeige, dass $P$ ein Untervektorraum von $K$  ist und bestimme die Dimension von P.


Also bin mir nicht ganz sicher, was ich hierbei genau machen muss, da ich mir mit Linearer Algebra doch etwas schwerer tue, als mit der Analysis.

a)
Ich habe erst einmal die Differentialgleichung gelöst und hoffe, dass dies in die richtige Richtung geht:
$y''' - y'' - 5y' -3y = 0$

charakteristische Polynom bestimmen:
$P(x) = [mm] x^3-x^2-5x-3$ [/mm]
Nullstelle "erraten": [mm] x_1 [/mm] = -1

Polynomdivision schreibe ich hier mal nur das Ergebnis, weil das immer unübersichtlich aussieht:
[mm] $(x^3-x^2-5x-3):(x+1)=x^2-2x-3$ [/mm]

[mm] $x^2-2x-3=0$ [/mm] mit pq-Formel auflösen
[mm] $x_2=3$ [/mm] und [mm] $x_3=-1$ [/mm]
$-1$ ist also eine doppelte Nullstelle

Lösung der DGL:
[mm] $y(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{3x}+c_3xe^{-x}$ [/mm] mit [mm] $c_1, c_2, c_3 \in \IR$ [/mm]

Wie finde ich jetzt die Basis?

b)
Das ist eine Zusatzaufgabe, also wenn das tief in die Lineare Algebra geht und man hier 20 Zeilen lang einen Beweis führen muss, dann hat es glaub ich keinen Zweck. Hab Mathe als Nebenfach, bin auch motiviert, aber hab mit Beweisen doch etwas meine Schwierigkeiten.

        
Bezug
Basis d. Vektorraums einer DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Sa 21.09.2013
Autor: Thomas_Aut

Hallo,> [mm]K[/mm] sei der Vektorraum aller Lösungen [mm]\mu:\R \to \R[/mm] der DGL
>  [mm]y''' - y'' - 5y' -3y = 0[/mm]
>  
> a) Finde eine Basis von K.
>  Zusatzaufgabe b) Sei [mm]P := \{\mu \in K | \limes_{x\rightarrow\infty} \mu(x) = 0\}[/mm].
> Zeige, dass [mm]P[/mm] ein Untervektorraum von [mm]K[/mm]  ist und bestimme
> die Dimension von P.
>  Also bin mir nicht ganz sicher, was ich hierbei genau
> machen muss, da ich mir mit Linearer Algebra doch etwas
> schwerer tue, als mit der Analysis.
>  
> a)
>  Ich habe erst einmal die Differentialgleichung gelöst und
> hoffe, dass dies in die richtige Richtung geht:
>  [mm]y''' - y'' - 5y' -3y = 0[/mm]
>  

Ja richtig also: falls [mm] \lambda [/mm] eine Nullstelle des char. Polynoms ist - so ist die Funktion [mm] e^{ \lambda x} [/mm] Lösung der DGL.

> charakteristische Polynom bestimmen:
>  [mm]P(x) = x^3-x^2-5x-3[/mm]
>  Nullstelle "erraten": [mm]x_1[/mm] = -1
>  
> Polynomdivision schreibe ich hier mal nur das Ergebnis,
> weil das immer unübersichtlich aussieht:
>  [mm](x^3-x^2-5x-3):(x+1)=x^2-2x-3[/mm]
>  
> [mm]x^2-2x-3=0[/mm] mit pq-Formel auflösen
>  [mm]x_2=3[/mm] und [mm]x_3=-1[/mm]
>  [mm]-1[/mm] ist also eine doppelte Nullstelle
>  
> Lösung der DGL:
>  [mm]y(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{3x}+c_3xe^{-x}[/mm] mit [mm]c_1, c_2, c_3 \in \IR[/mm]

genau ja. [mm] c_3xe^{-x} [/mm] natürlich weil -1 doppelte Nullstelle ist.

>  
> Wie finde ich jetzt die Basis?

Setze dich hierzu mit: Was ist ein Fundamentalsystem auseinander!
Überlege dir dann mal einen Ansatz.

Gruß Thomas

>  
> b)
>  Das ist eine Zusatzaufgabe, also wenn das tief in die
> Lineare Algebra geht und man hier 20 Zeilen lang einen
> Beweis führen muss, dann hat es glaub ich keinen Zweck.
> Hab Mathe als Nebenfach, bin auch motiviert, aber hab mit
> Beweisen doch etwas meine Schwierigkeiten.


Bezug
                
Bezug
Basis d. Vektorraums einer DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:04 So 22.09.2013
Autor: ggT

Ja, also ich hab mich mit Fundamentalsystem und Basis etwas befasst und bin mir jetzt nicht ganz sicher, was ich hier noch machen muss.

Mein Fundamentalsystem ist ja: [mm] $e^{-x}, e^{3x}, xe^{-x}$ [/mm]
und die Basis ist doch dann einfach die Lösung der Differentialgleichung, oder nicht?
hab woanders noch $A, B, C$ statt [mm] $c_1, c_2, c_3$ [/mm] gefunden, aber das wars dann auch, also:

[mm] $y=A*e^{-x} [/mm] + [mm] B*e^{3x} [/mm] + [mm] C*xe^{-x}$ [/mm]

bei Teilaufgabe b) habe ich nachwievor nichtmal die Hoffnung, auch nur eine kleinste Idee zu bekommen, wie ich das lösen könnte

Bezug
                        
Bezug
Basis d. Vektorraums einer DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:49 So 22.09.2013
Autor: Helbig

Hallo ggT,


> Ja, also ich hab mich mit Fundamentalsystem und Basis etwas
> befasst und bin mir jetzt nicht ganz sicher, was ich hier
> noch machen muss.
>  
> Mein Fundamentalsystem ist ja: [mm]e^{-x}, e^{3x}, xe^{-x}[/mm]
>  und
> die Basis ist doch dann einfach die Lösung der
> Differentialgleichung, oder nicht?

Nein! Schlag doch bitte die Definition es Fundamentalsystems einer DGL nach! Und die Definition der Basis eines Vektorraumes.

Gruß,
Wolfgang

>  hab woanders noch [mm]A, B, C[/mm] statt [mm]c_1, c_2, c_3[/mm] gefunden,
> aber das wars dann auch, also:
>  
> [mm]y=A*e^{-x} + B*e^{3x} + C*xe^{-x}[/mm]
>  
> bei Teilaufgabe b) habe ich nachwievor nichtmal die
> Hoffnung, auch nur eine kleinste Idee zu bekommen, wie ich
> das lösen könnte


Bezug
                                
Bezug
Basis d. Vektorraums einer DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:35 Mo 23.09.2013
Autor: ggT

Ok, also ich denke ich gehe jetzt mal Schritt für Schritt vor, um mein Verständnis da evtl. wieder
etwas aufzufrischen bzw. zum Teil auch neu herzustellen.

Angenommen ich vermute, dass die drei Terme [mm] $e^{-x}, e^{3x}, xe^{-x}$ [/mm] ein Fundamentalsystem bilden.
Dann kann ich dies ja leicht überprüfen, indem ich diese Funktionen zuerst einmal in die DGL einsetze.
(ist jetzt nicht die Aufgabe, aber zur Kontrolle und zum Verständnis vielleicht ganz gut)

$ y''' - y'' - 5y' -3y = 0 $

$ [mm] y_1(x) [/mm] = [mm] e^{-x} [/mm] $
$ [mm] y_2(x) [/mm] = [mm] e^{3x} [/mm] $
$ [mm] y_3(x) [/mm] = [mm] xe^{-x} [/mm] $

Dazu muss ich erst einmal die jeweiligen Ableitungen bilden. (bis einschließlich der 3.)
Und diese dann in die DGL einsetzen:
$ [mm] y_1(x) [/mm] = [mm] e^{-x} [/mm] $
$ [mm] y_1'(x) [/mm] = [mm] -e^{-x} [/mm] $
$ [mm] y_1''(x) [/mm] = [mm] e^{-x} [/mm] $
$ [mm] y_1'''(x) [/mm] = [mm] -e^{-x} [/mm] $

$ [mm] -e^{-x} [/mm] - [mm] e^{-x} [/mm] - [mm] 5*(-e^{-x}) [/mm] - [mm] 3*e^{-x} [/mm] = 0$ (erfüllt!)

$ [mm] y_2(x) [/mm] = [mm] e^{3x} [/mm] $
$ [mm] y_2'(x) [/mm] = [mm] 3e^{3x} [/mm] $
$ [mm] y_2''(x) [/mm] = [mm] 9e^{3x} [/mm] $
$ [mm] y_2'''(x) [/mm] = [mm] 27e^{3x} [/mm] $

$ [mm] 27e^{3x} [/mm] - [mm] 9e^{3x} [/mm] - [mm] 5*3e^{3x} [/mm] - [mm] 3*e^{3x} [/mm] = 0$ (erfüllt!)

$ [mm] y_3(x) [/mm] = [mm] xe^{-x} [/mm] $
$ [mm] y_3'(x) [/mm] = [mm] e^{-x}-x*e^{-x} [/mm] = [mm] e^{-x}*(1-x) [/mm] $
$ [mm] y_3''(x) [/mm] = [mm] e^{-x}*(x-2) [/mm] $
$ [mm] y_3'''(x) [/mm] = [mm] e^{-x}*(3-x) [/mm] $

$ [mm] e^{-x}*(3-x) [/mm] - [mm] e^{-x}*(x-2) [/mm] - [mm] 5*e^{-x}*(1-x) [/mm] - [mm] 3*xe^{-x}$ [/mm]
$ = [mm] 3e^{-x} [/mm] - [mm] xe^{-x} [/mm] - [mm] xe^{-x} [/mm] + [mm] 2e^{-x} -5e^{-x} [/mm] + [mm] 5xe^{-x} [/mm] - [mm] 3xe^{-x} [/mm] = 0$ (erfüllt!)

Ok, also weiß ich nun schonmal, dass die Funktionen die DGL erfüllen, aber noch nicht, ob sie auch
wirklich ein Fundamentalsystem bilden.

Dies kann ich nun mit der Wronski-Determinante, aus der 3x3-Matrix, nachweisen:

[mm] \vmat{ e^{-x} & e^{3x} & xe^{-x} \\ -e^{-x} & 3e^{3x} & e^{-x}*(1-x) \\ e^{-x} & 9e^{3x} & e^{-x}*(x-2)} [/mm]

[mm] $[e^{-x}*3e^{3x}*e^{-x}*(x-2)]+[e^{3x}*e^{-x}*(1-x)*e^{-x}]+[xe^{-x}*(-e^{-x})*9e^{3x}]$ [/mm]
[mm] $-[xe^{-x}*3e^{3x}*e^{-x}]-[e^{3x}*(-e^{-x})*e^{-x}*(x-2)]-[e^{-x}*e^{-x}*(1-x)*9e^{3x}]$ [/mm]
[mm] $=3e^x*(x-2)+e^x*(1-x)-9xe^x-3xe^x+e^x*(x-2)-9e^x*(1-x)$ [/mm]
[mm] $=3xe^x-6e^x+e^x-xe^x-9xe^x-3xe^x+xe^x-2e^x-9e^x+9xe^x$ [/mm]
[mm] $=-16e^x \not= [/mm] 0$; für alle $x$ wird die Gleichung nicht 0, dass heißt die Funktionen sind linear unabhängig und stellen somit ein Fundamentalsystem dar

Das war jetzt eine recht lange Rechnung, ich hoffe, da ist nicht irgendwo am Anfang direkt ein Fehler. Somit hätte ich meiner Meinung nachgewiesen, dass dies ein Fundamentalsystem ist.

Als Definition hätte ich noch Folgendes gefunden:
Die Funktionen die eine DGL lösen bilden einen Vektorraum.
Ein Fundamentalsystem ist eine Basis dieses Vektorraums.


Ansonsten eben noch, dass die Basis einen Vektorraum aufspannen muss.
Also ich bin ansonsten irgendwie planlos, wie ich sonst eine Basis finden kann.

Bezug
                                        
Bezug
Basis d. Vektorraums einer DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:31 Mo 23.09.2013
Autor: meili

Hallo,
> Ok, also ich denke ich gehe jetzt mal Schritt für Schritt
> vor, um mein Verständnis da evtl. wieder
>  etwas aufzufrischen bzw. zum Teil auch neu herzustellen.
>  
> Angenommen ich vermute, dass die drei Terme [mm]e^{-x}, e^{3x}, xe^{-x}[/mm]
> ein Fundamentalsystem bilden.
>  Dann kann ich dies ja leicht überprüfen, indem ich diese
> Funktionen zuerst einmal in die DGL einsetze.
>  (ist jetzt nicht die Aufgabe, aber zur Kontrolle und zum
> Verständnis vielleicht ganz gut)
>  
> [mm]y''' - y'' - 5y' -3y = 0[/mm]
>
> [mm]y_1(x) = e^{-x}[/mm]
>  [mm]y_2(x) = e^{3x}[/mm]
>  [mm]y_3(x) = xe^{-x}[/mm]
>  
> Dazu muss ich erst einmal die jeweiligen Ableitungen
> bilden. (bis einschließlich der 3.)
>  Und diese dann in die DGL einsetzen:
>  [mm]y_1(x) = e^{-x}[/mm]
>  [mm]y_1'(x) = -e^{-x}[/mm]
>  [mm]y_1''(x) = e^{-x}[/mm]
>  
> [mm]y_1'''(x) = -e^{-x}[/mm]
>  
> [mm]-e^{-x} - e^{-x} - 5*(-e^{-x}) - 3*e^{-x} = 0[/mm] (erfüllt!)
>  
> [mm]y_2(x) = e^{3x}[/mm]
>  [mm]y_2'(x) = 3e^{3x}[/mm]
>  [mm]y_2''(x) = 9e^{3x}[/mm]
>  
> [mm]y_2'''(x) = 27e^{3x}[/mm]
>  
> [mm]27e^{3x} - 9e^{3x} - 5*3e^{3x} - 3*e^{3x} = 0[/mm] (erfüllt!)
>  
> [mm]y_3(x) = xe^{-x}[/mm]
>  [mm]y_3'(x) = e^{-x}-x*e^{-x} = e^{-x}*(1-x)[/mm]
>  
> [mm]y_3''(x) = e^{-x}*(x-2)[/mm]
>  [mm]y_3'''(x) = e^{-x}*(3-x)[/mm]
>  
> [mm]e^{-x}*(3-x) - e^{-x}*(x-2) - 5*e^{-x}*(1-x) - 3*xe^{-x}[/mm]
>  [mm]= 3e^{-x} - xe^{-x} - xe^{-x} + 2e^{-x} -5e^{-x} + 5xe^{-x} - 3xe^{-x} = 0[/mm]
> (erfüllt!)
>  
> Ok, also weiß ich nun schonmal, dass die Funktionen die
> DGL erfüllen, aber noch nicht, ob sie auch
>  wirklich ein Fundamentalsystem bilden.

[ok]

>  
> Dies kann ich nun mit der Wronski-Determinante, aus der
> 3x3-Matrix, nachweisen:
>  
> [mm]\vmat{ e^{-x} & e^{3x} & xe^{-x} \\ -e^{-x} & 3e^{3x} & e^{-x}*(1-x) \\ e^{-x} & 9e^{3x} & e^{-x}*(x-2)}[/mm]
>  
> [mm][e^{-x}*3e^{3x}*e^{-x}*(x-2)]+[e^{3x}*e^{-x}*(1-x)*e^{-x}]+[xe^{-x}*(-e^{-x})*9e^{3x}][/mm]
>  
> [mm]-[xe^{-x}*3e^{3x}*e^{-x}]-[e^{3x}*(-e^{-x})*e^{-x}*(x-2)]-[e^{-x}*e^{-x}*(1-x)*9e^{3x}][/mm]
>  [mm]=3e^x*(x-2)+e^x*(1-x)-9xe^x-3xe^x+e^x*(x-2)-9e^x*(1-x)[/mm]
>  [mm]=3xe^x-6e^x+e^x-xe^x-9xe^x-3xe^x+xe^x-2e^x-9e^x+9xe^x[/mm]
>  [mm]=-16e^x \not= 0[/mm]; für alle [mm]x[/mm] wird die Gleichung nicht 0,
> dass heißt die Funktionen sind linear unabhängig und
> stellen somit ein Fundamentalsystem dar

[ok]

>  
> Das war jetzt eine recht lange Rechnung, ich hoffe, da ist
> nicht irgendwo am Anfang direkt ein Fehler. Somit hätte
> ich meiner Meinung nachgewiesen, dass dies ein
> Fundamentalsystem ist.
>  
> Als Definition hätte ich noch Folgendes gefunden:
>  Die Funktionen die eine DGL lösen bilden einen
> Vektorraum.
> Ein Fundamentalsystem ist eine Basis dieses Vektorraums.
>  
> Ansonsten eben noch, dass die Basis einen Vektorraum
> aufspannen muss.
>  Also ich bin ansonsten irgendwie planlos, wie ich sonst
> eine Basis finden kann.

Bei gewöhnlichen, homogenen DGL bekommt man eine Basis des
Lösungsvektorraums über ein Fundamentalsystem der DGL.

Gruß
meili

Bezug
                                                
Bezug
Basis d. Vektorraums einer DGL: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Mo 23.09.2013
Autor: ggT

Hallo,

die Frage die ich mir Stelle wäre jetzt, was dann bei früheren Antworten der Fehler im Fundamentalsystem ist.
Weil der Nachweis gehörte ja nicht zur eigentlichen Aufgabenstellung, sondern war nur zum Verständnis.
Hätte ich dann nicht also doch direkt aus der gelösten Differentialgleichung das Fundamentalsystem und somit auch die Basis ablesen können?

Bin jetzt irgendwie verwirrt.

Gruß
Michael

Bezug
                                                        
Bezug
Basis d. Vektorraums einer DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 Mo 23.09.2013
Autor: Helbig

Hallo ggT,

Die Löungen der DGL bilden einen Vektorraum und ein Fundamentalsystem ist eine Basis dieses Vektorraums. Das ist schon alles.

Gruß,
Wolfgang

Bezug
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