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Basis der Haupträume bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Basis der Haupträume bestimmen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:06 Do 30.11.2023
Autor: Euler123

Aufgabe
Gegeben sei die Matrix

[mm] B=\left(\begin{array}{cccccc} 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{array}\right) [/mm] .

Berechne jeweils eine Basis der Haupträume [mm] V_{\varphi}(2), V_{\varphi}(-3) [/mm]  bzw. [mm] V_{\varphi}(6) [/mm] von [mm] \varphi=\varphi_{B}. [/mm] Entspricht diese Basis der Situation in 2.3.7?

2.3.7: Seien k verschiedene Hauptvektoren [mm] w_{1}, \ldots, w_{k} [/mm] von [mm] \varphi [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] mit Stufen [mm] m_{1} \geq m_{2} \geq \ldots \geq m_{k} \geq [/mm] 1 derart gegeben, dass die Vektoren [mm] (\varphi-\lambda \text [/mm] { id [mm] })^{m_{j}-1}\left(w_{j}\right), [/mm] j [mm] \in\{1, \ldots, k\} [/mm] genau k linear unabhängige Vektoren sind. Dann sind die Vektoren

[mm] v_{j i}:=(\varphi-\lambda \mathrm{id})^{m_{j}-i}\left(w_{j}\right) \text [/mm] { mit } j [mm] \in\{1, \ldots, k\}, [/mm] i [mm] \in\left\{1, \ldots, m_{j}\right\} [/mm]

verschieden und linear unabhängig

Stimmen meine Überlegungen zu dieser Aufgabe!?

Das charakteristische Polynom lautet [mm] (λ-6)(λ-2)^{3}(λ+3)^{2}. [/mm] Daraus ergeben sich die drei Eigenwerte 6, 2 und -3, wobei 2 dreimal und -3 zweimal vorkommt.

Die Basen (und damit die Eigenvektoren lauten):
[mm] \left(\begin{array}{c}\frac{1}{8} \\ \frac{-5}{8} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), [/mm] eigenwert [mm] \lambda_{1}=6 [/mm]
[mm] \left(\begin{array}{c}\frac{-1}{5} \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), [/mm] eigenwert [mm] \lambda_{3}=-3 [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, [/mm] eigenwert [mm] \lambda_{2}=2 [/mm]

Da der Eigenwert [mm] \lambda_{1}=6 [/mm] eine algebraische Vielfachheit von 1 und eine geometrische Vielfachheit von 1 hat, ist [mm] m_{1}=1 [/mm] für diesen Eigenwert.
Der Eigenwert [mm] \lambda_{2}=2 [/mm] hat eine algebraische Vielfachheit von 3 (dreifach) und eine geometrische Vielfachheit von 1 (einfach), daher ist [mm] m_{2}=1 [/mm] für diesen Eigenwert.
Der Eigenwert [mm] \lambda_{3}=-3 [/mm] hat eine algebraische Vielfachheit von 2 (zweifach) und eine geometrische Vielfachheit von 2 (zweifach), daher ist [mm] m_{3}=2 [/mm] für diesen Eigenwert.

Für [mm] \lambda_{1}=6 [/mm] und [mm] w_{1}=v_{1}: [/mm]
[mm] (\varphi-6 \cdot \mathrm{id})^{m_{1}-1}\left(v_{1}\right)=(\varphi-6 \cdot \mathrm{id})^{0}\left(v_{1}\right)=v_{1}. [/mm] Da [mm] v_{1} [/mm] bereits ein Eigenvektor ist, ist klar, dass dieser Vektor linear unabhängig ist.

Für [mm] \lambda_{2}=2 [/mm] und [mm] w_{2}=v_{2}: [/mm]
[mm] (\varphi-2 \cdot \mathrm{id})^{m_{2}-1}\left(v_{2}\right)=(\varphi-2 \cdot \mathrm{id})^{0}\left(v_{2}\right)=v_{2}. [/mm] Da [mm] v_{2} [/mm] ebenfalls ein Eigenvektor ist, ist auch dieser Vektor linear unabhängig.

Für [mm] \lambda_{3}=-3 [/mm] und [mm] w_{3}=v_{3}: [/mm]
[mm] (\varphi+3 \cdot \mathrm{id})^{m_{3}-1}\left(v_{3}\right)=(\varphi+3 \cdot \mathrm{id})^{1}\left(v_{3}\right)=(B+3 I)\left(v_{3}\right)=0. [/mm] Hier haben das Problem, dass das Ergebnis 0 ist und somit nicht linear unabhängig von [mm] \( v_{3} \) [/mm] ist.

Somit ist 2.3.7 nicht erfüllt??? - stimmt das so????

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!

        
Bezug
Basis der Haupträume bestimmen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 So 03.12.2023
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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