Basis des Bildes und Kerns(LA) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 So 27.01.2013 | | Autor: | Gigan |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR_{4}\to IR_{4} [/mm] die lineare Abbildung gegeben durch
[mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d} \mapsto \pmat{ 1 & 1 & 3 & -3 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 2 \\ -2 & 5 & 1 & -8 } [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d}
[/mm]
Berechnen Sie eine Basis des Bildes und eine Basis des Kerns von f |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich lerne momentan für eine Mathe Klausur und habe mich an dieses Aufgabe versucht. Als erstes habe ich die Basis des Kerns wie folgt berechnet:
Zeilenumformung der Matrix zu:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Dies habe ich in ein Gleichungssystem geschrieben:
a+b+3*c-3*d = 0 [mm] \Rightarro [/mm] (einsetzen von b) a = -2*c+d
-b -c+2*d = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] b = -c+2*d
also Ker(f) = [mm] \vektor{-2c+d \\ -c+2d\\ c \\ d} [/mm] = c * [mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + d* [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Also ist die Basis des Kerns [mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ 1 \\ 0} [/mm] ; [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Stimmt es bis hier hin oder liege ich schon völlig falsch?
Bei der basis des Bildes musste ich etwas länger überlegen und habe es nun wie folgt gemacht:
Transponieren der Matrix (Komme besser mit Zeilenumformung klar) zu :
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & -1 & 5 \\ 3 & 1 & -1 & 1 \\ -3 & 1 & 2 & -8 }
[/mm]
Dann Zeilenumformung zu:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Und als Basis des Bildes hätte ich dann [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ -2} [/mm] ; [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ -1 \\ 7}
[/mm]
Bin ich hier auf dem Holzweg?
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Hallo Gigan,
> Sei [mm]f:\IR_{4}\to IR_{4}[/mm] die lineare Abbildung gegeben
> durch
> [mm]\vektor{a \\ b \\ c \\ d} \mapsto \pmat{ 1 & 1 & 3 & -3 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 2 \\ -2 & 5 & 1 & -8 }[/mm]
> * [mm]\vektor{a \\ b \\ c \\ d}[/mm]
> Berechnen Sie eine Basis des
> Bildes und eine Basis des Kerns von f
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> Ich lerne momentan für eine Mathe Klausur und habe mich
> an dieses Aufgabe versucht. Als erstes habe ich die Basis
> des Kerns wie folgt berechnet:
>
> Zeilenumformung der Matrix zu:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Dies habe ich in ein Gleichungssystem geschrieben:
>
> a+b+3*c-3*d = 0 [mm]\Rightarro[/mm] (einsetzen von b) a = -2*c+d
> -b -c+2*d = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] b = -c+2*d
>
> also Ker(f) = [mm]\vektor{-2c+d \\ -c+2d\\ c \\ d}[/mm] = c *
> [mm]\vektor{-2 \\ -1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + d* [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Also ist die Basis des Kerns [mm]\vektor{-2 \\ -1 \\ 1 \\ 0}[/mm] ;
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Stimmt es bis hier hin oder liege ich schon völlig
> falsch?
>
Die Basis des Kerns hast Du richtig bestimmt.
> Bei der basis des Bildes musste ich etwas länger
> überlegen und habe es nun wie folgt gemacht:
>
> Transponieren der Matrix (Komme besser mit Zeilenumformung
> klar) zu :
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & -1 & 5 \\ 3 & 1 & -1 & 1 \\ -3 & 1 & 2 & -8 }[/mm]
>
> Dann Zeilenumformung zu:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Und als Basis des Bildes hätte ich dann [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ -2}[/mm]
> ; [mm]\vektor{0 \\ -2 \\ -1 \\ 7}[/mm]
>
Auch das ist richtig.
> Bin ich hier auf dem Holzweg?
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 So 27.01.2013 | | Autor: | Gigan |
Vielen dank für die schnelle Antwort, es beruhigt mich sehr, dass es alles richtig ist.
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