Basis des Bildraumes < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist $ [mm] Y:=\{ Ax=y | y, x\in R^3\}$. [/mm] Bestimmen Sie die Basis des Bildraumes. |
Hallo zusammen,
also laut Skript überführe ich A in ZSF und nehme die entstehenden Zeilenvektoren [mm] (\not [/mm] 0) als Basis des Bildraumes. Was ich nicht finde/verstehe: Wieso ist dies so? Was hat das für eine Bedeutung.
Vielen Dank!
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> Gegeben ist [mm]Y:=\{ Ax=y | y, x\in R^3\}[/mm]. Bestimmen Sie die
> Basis des Bildraumes.
> Hallo zusammen,
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> also laut Skript überführe ich A in ZSF und nehme die
> entstehenden Zeilenvektoren [mm](\not[/mm] 0) als Basis des
Wohl eher Spaltenvektoren. Die Anzahl der Nichtnullzeilen ist der Rang und damit die Dimension des Bildes.
> Bildraumes. Was ich nicht finde/verstehe: Wieso ist dies
> so? Was hat das für eine Bedeutung.
>
> Vielen Dank!
Wenn du die Matrix in reduzierter Zeilenstufenform dir anschaust, dann siehst du, wo die fehlenden führenden Einsen stehen. Da sind deine freien Variablen versteckt.
Beispiel:
[mm] $\pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 1&1\\0&0&0 }\vektor{x \\ y\\z}=\vektor{a \\ b\\c}\neq [/mm] 0$
Dann fehlt hier die fehlende Eins bei der dritten Zeile/Spalte. z ist also frei wählbar. Der Bildraum ist die Menge aller Vektoren die mit Hilfe von A nicht auf die Null abgebildet werden. Hier wäre es jede Linearkombination.
[mm] $Bld(f)=span(\vektor{1 \\ 0\\0},\vektor{0 \\ 1\\0})$
[/mm]
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