Basis des R^4 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 So 27.11.2011 | | Autor: | meldel |
| Aufgabe | Es seien [mm] \vec{v1} \pmat{ 1 \\ 3 \\ 4 \\-2 }, \vec{v2} \pmat{ -2 \\ 0 \\ 2 \\ 6 }, \vec{v3}\pmat{ 3 \\ 2 \\ -1 \\ -2 }
[/mm]
a) Weisen Sie nach, dass die Vektoren v1, v2, v3 linear unabhängig sind.
b) Warum bilden die drei Vektoren keine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ? Bestimmen Sie ferner einen Vektor v4, so dass sich einen Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergibt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo miteinander,
leider hänge ich an dieser wie mir scheint eigentlich ganz einfachen Aufgabe. Zuerst habe ich Aufgabenteil a) gelöst und bewiesen, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Mittels des Gauß-Algorithmus erhielt ich letztendlich das LGS [mm] \vmat{ 4 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 19 \\ 0 & 0 & 23} [/mm] = 0. Daraus habe ich gefolgert, dass [mm] \lambda [/mm] 1 = [mm] \lambda [/mm] 2 = [mm] \lambda [/mm] 3 = 0 ist.
Nun tue ich mich aber mit b) sehr schwer. Um eine Basis zu sein, müssten die drei Vektoren doch nicht nur linear unabhängig sein, sondern auch ein Erzeugendensystem bilden, richtig? Wie weise ich jetzt nach, dass es sich nicht um selbiges handelt? Mein erster Ansatz war folgendes LSG:
[mm] \vmat{4a & 2b & 1c \\ 0a & 2b & 4c \\ 0a & 0b & 19c \\ 0a & 0b & 23c} [/mm] = [mm] \vmat{a \\ b \\ c \\d} [/mm] und da springen mir die letzten beiden Zeilen ins Auge, aber was habe ich mit diesen denn genau gezeigt?
Oder ist es so einfach, dass man für ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^4 [/mm] 4 Vektoren braucht?
Um den Vektor v4 zu erhalten, setze ich dann in das LSG von oben einfach noch einen Vektor [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\x4} [/mm] ein und löse jeweils nach x auf?
Ich wäre wirklich für jeden Hinweis dankbar!
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Hallo meldel, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du bist auf der richtigen Spur.
> Es seien [mm]\vec{v1} \pmat{ 1 \\
3 \\
4 \\
-2 }, \vec{v2} \pmat{ -2 \\
0 \\
2 \\
6 }, \vec{v3}\pmat{ 3 \\
2 \\
-1 \\
-2 }[/mm]
>
> a) Weisen Sie nach, dass die Vektoren v1, v2, v3 linear
> unabhängig sind.
> b) Warum bilden die drei Vektoren keine Basis des [mm]\IR^4[/mm] ?
> Bestimmen Sie ferner einen Vektor v4, so dass sich einen
> Basis des [mm]\IR^4[/mm] ergibt.
>
> Hallo miteinander,
> leider hänge ich an dieser wie mir scheint eigentlich ganz
> einfachen Aufgabe. Zuerst habe ich Aufgabenteil a) gelöst
> und bewiesen, dass die Vektoren linear unabhängig sind.
> Mittels des Gauß-Algorithmus erhielt ich letztendlich das
> LGS [mm]\vmat{ 4 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 19 \\
0 & 0 & 23}[/mm]
> = 0. Daraus habe ich gefolgert, dass [mm]\lambda[/mm] 1 = [mm]\lambda[/mm] 2
> = [mm]\lambda[/mm] 3 = 0 ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun tue ich mich aber mit b) sehr schwer. Um eine Basis zu
> sein, müssten die drei Vektoren doch nicht nur linear
> unabhängig sein, sondern auch ein Erzeugendensystem
> bilden, richtig?
Korrekt.
> Wie weise ich jetzt nach, dass es sich
> nicht um selbiges handelt? Mein erster Ansatz war folgendes
> LSG:
> [mm]\vmat{4a & 2b & 1c \\
0a & 2b & 4c \\
0a & 0b & 19c \\
0a & 0b & 23c}[/mm]
> = [mm]\vmat{a \\
b \\
c \\
d}[/mm] und da springen mir die letzten
> beiden Zeilen ins Auge, aber was habe ich mit diesen denn
> genau gezeigt?
> Oder ist es so einfach, dass man für ein Erzeugendensystem
> des [mm]\IR^4[/mm] 4 Vektoren braucht?
Ja, so einfach ist es.
> Um den Vektor v4 zu erhalten, setze ich dann in das LSG
> von oben einfach noch einen Vektor [mm]\vektor{x1 \\
x2 \\
x3 \\
x4}[/mm]
> ein und löse jeweils nach x auf?
Ja, das ist ein sinnvoller Weg.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 So 27.11.2011 | | Autor: | meldel |
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe reverend!
Also ist die Antwort für b) tatsächlich nur, dass ich 4 Vektoren benötige, um den [mm] \IR^4 [/mm] aufspannen zu können? Oder kann ich noch irgendetwas sinnvolles aus meinem Gleichungssystem ablesen? Könnte ich z.B. schreiben, dass das LGS zu keiner eindeutigen Lösung führt? Oder ist das irrelevant?
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank für deine schnelle Hilfe reverend!
Na, dafür ist dieses Forum doch da... 
> Also ist die Antwort für b) tatsächlich nur, dass ich 4
> Vektoren benötige, um den [mm]\IR^4[/mm] aufspannen zu können?
Ja.
> Oder kann ich noch irgendetwas sinnvolles aus meinem
> Gleichungssystem ablesen? Könnte ich z.B. schreiben, dass
> das LGS zu keiner eindeutigen Lösung führt?
Das ist doch eine gute Beobachtung.
> Oder ist das
> irrelevant?
Nein, es ist durchaus relevant. Kennst Du den Zusammenhang zwischen Basisvektoren und Matrizen? Was weißt Du über den Rang einer solchen Matrix?
Im allgemeinen wirst Du Deinen vierten Vektor mit höchster Wahrscheinlichkeit einfach zufällig wählen können. Dabei einen zu treffen, der linear von den anderen dreien abhängig ist, ist ja "nahezu" unmöglich. Um sicher zu gehen, muss man allerdings tatsächlich das von Dir aufgestellte Gleichungssystem lösen oder die Determinante der oben angedeuteten Matrix berechnen oder aber das verallgemeinerte Kreuzprodukt anwenden - was bei Euch wahrscheinlich nicht vorausgesetzt werden wird.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 Mo 28.11.2011 | | Autor: | meldel |
Lieber reverend,
leider sind mir die Zusammenhänge alle noch nicht so klar, ich neige eher zum Auswendiglernen. Das ist wohl das Problem. Aber ich werde mich belesen müssen.
Mit dem vierten Vektor werde ich mich morgen weiter befassen,
ich wünsche erst einmal eine geruhsame Nacht und vielen Dank!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mo 28.11.2011 | | Autor: | meldel |
So, nun habe ich mir also einfach einen Vektor v4 ausgedacht. Ich habe v4 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0\\0 } [/mm] gewählt. Meine weitere Rechnung sieht so aus:
[mm] \vmat{ 4a & 2b & c & d \\ 0 & 2b & 4c & 0 \\ 0 & 0 & 19c & 0 \\ 0 & 0 & 23c & 0} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d}
[/mm]
dann d in die erste Zeile
[mm] \vmat{ 4a& 2b & c & 23c\\ 0 \\2b & 4c & 0\\ 0 & 0 & 19c & 0 } [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b \\ c }
[/mm]
daraus folgt c=0 , also ist auch d=0, dann noch den Rest auflösen:
[mm] \vmat{4a & 2b \\ 0 & 2b} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b}
[/mm]
daraus folgt b=0 eingesetz in die erste ergibt für a=0. Also a=b=c=d=0.
So weit, so gut. Nur leider habe ich keinen Schimmer, ob ich damit die lineare Unabhängigkeit oder das Erzeugendensystem oder gar nichts nachgewiesen habe. Wenn ich nämlich irgendeinen anderen Vektor nehme, der Zahlen [mm] \not= [/mm] 1, 0 enthält, komme ich auf ganz abenteuerliche Ergebnisse und das LGS lässt sich wieder nicht lösen.
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> So, nun habe ich mir also einfach einen Vektor v4
> ausgedacht. Ich habe v4 = [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0\\
0 }[/mm]
> gewählt.
Hallo,
mal vorweg: wenn Du vier linear unabhängige Vektoren des [mm] \IR^4 [/mm] hast, dann sind diese automatisch eine Basis, denn der [mm] \IR^4 [/mm] hat die Dimension 4.
Der Dimensionsbegriff war doch dran, oder?
Nun solltest Du die Unabhängigkeit prüfen, also herausfinden, ob aus
[mm] a*\pmat{ 1 \\ 3 \\ 4 \\ -2 }+b*\pmat{ -2 \\ 0 \\ 2 \\ 6 }+c*\pmat{ 3 \\ 2 \\ -1 \\ -2 }+d*\vektor{1\\0\\0\\0} [/mm] folgt, daß a=b=c=d=0.
>Meine weitere Rechnung sieht so aus:
Du mußt Dich mal entscheiden, ob Du mit ausgeschriebenen Gleichungen arbeiten möchtest oder mit dem üblichen Matrixschema.
Im Matrixschema haben die a,b,c,d nichts zu suchen,
und bei Gleichungen müßten Rechenzeichen stehen.
Ich verstehe aber (glaube ich), wie's gemeint ist.
>
> [mm]\vmat{ 4a & 2b & c & d \\
0 & 2b & 4c & 0 \\
0 & 0 & 19c & 0 \\
0 & 0 & 23c & 0}[/mm] = [mm]\vektor{a \\
b \\
c \\
d}[/mm]
Ich weiß nicht recht, was Du hier planst.
Möglicherweise möchtest Du nachweisen, daß die 4 Vektoren ein Erzeugendensystem sind.
(Wie gesagt: falls der Dimensionsbegriff eingeführt wurde, ist das nicht nötig.)
Zum Erzeugendensystem:
hier mußt Du vorrechnen, daß Du zu jedem beliebigen [mm] Vektor{x\\y\\z\\t} [/mm] passende Koeffizienten a,b,c,d findest, so daß
[mm] a*\pmat{ 1 \\ 3 \\ 4 \\ -2 }+b*\pmat{ -2 \\ 0 \\ 2 \\ 6 }+c*\pmat{ 3 \\ 2 \\ -1 \\ -2 }+d*\vektor{1\\0\\0\\0}=\vektor{x\\y\\z\\t}.
[/mm]
Die a,b,c,d werden natürlich von x,y,z,t abhängen.
Gruß v. Angela
>
> dann d in die erste Zeile
>
> [mm]\vmat{ 4a& 2b & c & 23c\\
0 \\
2b & 4c & 0\\
0 & 0 & 19c & 0 }[/mm]
> = [mm]\vektor{a \\
b \\
c }[/mm]
> daraus folgt c=0 , also ist auch
> d=0, dann noch den Rest auflösen:
>
> [mm]\vmat{4a & 2b \\
0 & 2b}[/mm] = [mm]\vektor{a \\
b}[/mm]
>
> daraus folgt b=0 eingesetz in die erste ergibt für a=0.
> Also a=b=c=d=0.
>
> So weit, so gut. Nur leider habe ich keinen Schimmer, ob
> ich damit die lineare Unabhängigkeit oder das
> Erzeugendensystem oder gar nichts nachgewiesen habe. Wenn
> ich nämlich irgendeinen anderen Vektor nehme, der Zahlen
> [mm]\not=[/mm] 1, 0 enthält, komme ich auf ganz abenteuerliche
> Ergebnisse und das LGS lässt sich wieder nicht lösen.
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Mo 28.11.2011 | | Autor: | meldel |
Vielen Dank, Angela.
Also werde ich nur noch beweisen, dass die vier Vektoren linear unabhängig sind (was ich ja indirekt schon getan hab) und es dabei belassen.
Die Gleichungen habe ich übrigens auf dem Papier in richtiger Form, war mir nicht sicher, wie ich es hier am besten übersichtlich darstelle.
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