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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Di 21.03.2017 | | Autor: | hannah27 |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und U1,...,Un Untervektorräume von V mit
V = U1 ⊕···⊕ Un
Weiterhin haben wir für jedes j [mm] \in [/mm] {1,...,n} eine ganze Zahl kj [mm] \ge [/mm] 0 und eine Basis (vj,1,...,vj,kj) von Uj gegeben. Zeigen Sie, dass (v1,1,...,v1,k1,v2,1,...,v2,k2,...,vn,1,...,vn,kn) eine Basis von V ist. |
Meine Idee war:
da V = U1 ⊕···⊕ Un gilt:
Ui [mm] \cap [/mm] Summe von Uj = 0
wobei j ungleich i
für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n
daraus folgt:
(v1,1,...,v1,k1,v2,1,...,v2,k2,...,vn,1,...,vn,kn)
ist linear unabhängig
und damit eine Basis von Ui + ...+ Un
und da Ui + ... + Un = U1 ⊕···⊕ Un = V ist es ein Basis von V.
Meine Frage: Reicht das aus?
Danke für Antworten!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei V ein K-Vektorraum und [mm] U_1,...,U_n [/mm] Untervektorräume von
> V mit
> V = [mm] U_1 [/mm] ⊕···⊕ [mm] U_n
[/mm]
> Weiterhin haben wir für jedes j [mm]\in[/mm] {1,...,n} eine ganze
> Zahl [mm] k_j[/mm] [mm]\ge[/mm] 0 und eine Basis [mm] (v_{j,1},...,v_{j,k_j}) [/mm] von [mm] U_j [/mm]
> gegeben. Zeigen Sie, dass
> [mm] (v_{1,1},...,v_{1,k_1},v_{2,1},...,v_{2,k_2},...,v_{n,1},...,v_{n,k_n}) [/mm] eine
> Basis von V ist.
>
> Meine Idee war:
> da V = [mm] U_1 [/mm] ⊕···⊕ [mm] U_n [/mm] gilt:
> [mm] U_i[/mm] [mm]\cap[/mm] Summe von [mm] U_j [/mm] = 0
> wobei j ungleich i
> für alle 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n
>
> daraus folgt:
> [mm] (v_{1,1},...,v_{1,k_1},v_{2,1},...,v_{2,k_2},...,v_{n,1},...,v_{n,k_n}) [/mm]
> ist linear unabhängig
> und damit eine Basis von Ui + ...+ Un
> und da Ui + ... + Un = U1 ⊕···⊕ Un = V ist es ein
> Basis von V.
>
> Meine Frage: Reicht das aus?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Idee ist völlig richtig, aber ausreichen tut es so nicht.
Zunächst mal ist erwähnenswert, daß [mm] (v_{1,1},...,v_{1,k_1},v_{2,1},...,v_{2,k_2},...,v_{n,1},...,v_{n,k_n}) [/mm]
offensichtlich ein Erzeugendensystem von V ist.
Zu prüfen bleibt also die lineare Unabhängigkeit.
Seien [mm] \lambda_i_j\in [/mm] K mit
[mm] \lambda_{1,1}v_{1,1}+...+\lambda_{1,k_1}v_{1,k_1}+\lambda_{2,1}v_{2,1}+...+\lambda_{2,k_2}v_{2,k_2}+...+\lambda_{n,1}v_{n,1}+...+....+...+\lambda_{n,k_n}v_{n,k_n}=0
[/mm]
Da die Summe der [mm] U_i [/mm] direkt ist,
ist [mm] U_1\bigcap_{i=2}^{n}U_i={0}.
[/mm]
Also ist [mm] \lambda_{1,1}v_{1,1}+...+\lambda_{1,k_1}v_{1,k_1}=0.
[/mm]
Was folgt daraus für die [mm] \lambda_{1,j}? [/mm] Weshalb?
Analog erhältst Du für die anderen Lambdas, daß sie alle =0 sind,
und damit ist die Menge linear unabängig.
> Danke für Antworten!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 22.03.2017 | | Autor: | hannah27 |
Hallo :)
Danke für die Antwort!
Ich habe jetzt geschrieben:
1.) z.Z. dass es ein Erzeugendensystem ist.
Das ist es, weil es aus den Basen von U1 bis Un besteht
und gilt: U1 + ... + Un = U1 ⊕···⊕ Un = V
2.) z.Z. linerare Unabhängigkeit:
da (v1,1, ..., v1,k1) Basis von U1 gilt: v1,1,...,v1,k1 sind ungleich 0
analog für die anderen Basen von U2 bis Un
damit gilt
Lambda1,1 bis Lambda n,kn = 0
Stimmt das so?
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> 1.) z.Z. dass es ein Erzeugendensystem ist.
> Das ist es, weil es aus den Basen von U1 bis Un besteht
> und gilt: U1 + ... + Un = U1 ⊕···⊕ Un = V
>
> 2.) z.Z. linerare Unabhängigkeit:
> da (v1,1, ..., v1,k1) Basis von U1 gilt: v1,1,...,v1,k1
> sind ungleich 0
> analog für die anderen Basen von U2 bis Un
> damit gilt
> Lambda1,1 bis Lambda n,kn = 0
>
> Stimmt das so?
Nein. Jedenfalls gewinnst Du so keinen Blumentopf.
Ich hatte doch schon angefangen:
Seien $ [mm] \lambda_i_j\in [/mm] $ K mit
$ [mm] \lambda_{1,1}v_{1,1}+...+\lambda_{1,k_1}v_{1,k_1}+\lambda_{2,1}v_{2,1}+...+\lambda_{2,k_2}v_{2,k_2}+...+\lambda_{n,1}v_{n,1}+...+....+...+\lambda_{n,k_n}v_{n,k_n}=0 [/mm] $
(Zu zeigen ist, daß alle Lambdas =0 sind.)
Da die Summe der $ [mm] U_i [/mm] $ direkt ist, ist für alle [mm] j\in\{1,2,...,n\}
[/mm]
$ [mm] U_j\bigcap_{i=1 \atop i\not= j}^{n}U_i={0}. [/mm] $
Also ist $ [mm] \lambda_{j,1}v_{j,1}+...+\lambda_{j,k_j}v_{j,k_j}=0. [/mm] $
Da [mm] (v_{j,1},...,v_{j,k_j}) [/mm] Basis von [mm] U_j, [/mm] sind [mm] v_{j,1},...,v_{j,k_j} [/mm] linear unabängig.
Also folgt [mm] \lambda_{j,1}= [/mm] ... [mm] =\lambda_{j,k_j}=0.
[/mm]
Damit sind alle Lambdas=0, und die lineare Unabängigkeit ist gezeigt.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Do 23.03.2017 | | Autor: | hannah27 |
Danke!
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