Basis einer Galoiserweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:34 Do 30.10.2008 | | Autor: | konfuzius |
Hallo matheraum!
Ich sitze an einem Beweis in algebraischer Zahlentheorie. Dabei ist folgende Situation vorausgeschickt:
Zwei Galoissche Körpererweiterungen L|K und L'|K vom Grad n bzw. n' mit Basen [mm] \omega_1,...,\omega_n [/mm] und [mm] \omega'_1,...,\omega'_{n'}', [/mm] die relativ prim sind, d.h. L [mm] \cap [/mm] L'=K. Die erste Behauptung, dass für [mm] Gal(L|K)=\{\sigma_1,...,\sigma_{n}\} [/mm] und [mm] Gal(L'|K)=\{\sigma'_1,...,\sigma'_{n'}\} [/mm] die gemeinsame Gruppe [mm] Gal(LL'|K)=\{\sigma_i\sigma'_j\} [/mm] ist, sehe ich noch ein. (Liegt an [LL':K]=n*n' und daran, dass [mm] \sigma_i\sigma'_j [/mm] n*n' verschiedene K-Einbettungen von LL' sind, oder? Und dass die Gruppen n bzw n' Elemente haben, kommt davon, dass die Erweiterungen galoisch sind und dementsprechend separabel?).
Nun wird im zweiten Schritt behauptet (denke als Algebrawissen vorausgesetzt), dass die Produkte [mm] \omega_i*\omega'_j [/mm] eine Basis von LL':K darstellt. Ok, wir haben wieder n*n' Elemente, aber warum müssen diese über K linear unabhängig sein?
Kann mir wer auf die Sprünge helfen?
Danke euch!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Fr 31.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich sitze an einem Beweis in algebraischer Zahlentheorie.
> Dabei ist folgende Situation vorausgeschickt:
> Zwei Galoissche Körpererweiterungen L|K und L'|K vom Grad
> n bzw. n' mit Basen [mm]\omega_1,...,\omega_n[/mm] und
> [mm]\omega'_1,...,\omega'_{n'}',[/mm] die relativ prim sind, d.h. L
> [mm]\cap[/mm] L'=K. Die erste Behauptung, dass für
> [mm]Gal(L|K)=\{\sigma_1,...,\sigma_{n}\}[/mm] und
> [mm]Gal(L'|K)=\{\sigma'_1,...,\sigma'_{n'}\}[/mm] die gemeinsame
> Gruppe [mm]Gal(LL'|K)=\{\sigma_i\sigma'_j\}[/mm] ist, sehe ich noch
> ein. (Liegt an [LL':K]=n*n' und daran, dass
> [mm]\sigma_i\sigma'_j[/mm] n*n' verschiedene K-Einbettungen von LL'
> sind, oder? Und dass die Gruppen n bzw n' Elemente haben,
> kommt davon, dass die Erweiterungen galoisch sind und
> dementsprechend separabel?).
Im Prinzip ja, allerdings musst du dir noch ueberlegen wie [mm] $\sigma_i \sigma'_j$ [/mm] mit den Elementen aus $L L'$ umgeht (die sind ja nicht gerade von der Form [mm] $\ell \ell'$ [/mm] mit [mm] $\ell \in [/mm] L$, [mm] $\ell' \in [/mm] L'$), ansonsten macht [mm] $\sigma_i \sigma'_j$ [/mm] erstmal keinen Sinn als Automorphismus von $L L'$. Dazu solltest du vielleicht erstmal den zweiten Teil verstehen.
Und dass sie soviele Elemente haben liegt daran dass die Erweiterungen galoissch sind. (Die Automorphismen sind hier "gleich" (nach Einbettung von $K$ und $L$ in [mm] $\IC$) [/mm] mit den Einbettungen in [mm] $\IC$.)
[/mm]
> Nun wird im zweiten Schritt behauptet (denke als
> Algebrawissen vorausgesetzt), dass die Produkte
> [mm]\omega_i*\omega'_j[/mm] eine Basis von LL':K darstellt. Ok, wir
> haben wieder n*n' Elemente, aber warum müssen diese über K
> linear unabhängig sein?
Dass sie ein Erzeugendensystem sind kannst du dir relativ leicht ueberlegen. Und wenn du noch weisst dass $[L L' : K] = n n'$ ist folgt daraus bereits, dass es eine Basis ist.
Ok, jetzt fehlt noch $[L L' : K] = n n'$. Da fehlt mir grad die passende Idee, ich hab aber auch nicht wirklich Zeit drueber nachzudenken. Insofern antworte ich entweder spaeter oder jemand anders hat dann schon geantwortet ;)
LG Felix
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> Im Prinzip ja, allerdings musst du dir noch ueberlegen wie
> [mm]\sigma_i \sigma'_j[/mm] mit den Elementen aus [mm]L L'[/mm] umgeht (die
> sind ja nicht gerade von der Form [mm]\ell \ell'[/mm] mit [mm]\ell \in L[/mm],
> [mm]\ell' \in L'[/mm]), ansonsten macht [mm]\sigma_i \sigma'_j[/mm] erstmal
> keinen Sinn als Automorphismus von [mm]L L'[/mm]. Dazu solltest du
> vielleicht erstmal den zweiten Teil verstehen.
Nun, ist es nicht so, dass [mm] \sigma_i\sigma'_j [/mm] Elemente aus K festletzt [mm] (\sigma_i [/mm] die aus L, [mm] \sigma'_j [/mm] die aus L', und beide zusammen dann die aus [mm] L\cap [/mm] L'=K), und dass sie als Hintereinanderausführung von Automorphismen wieder solche sind? Und damit sind sie K-Einbettungen von LL', paarweise verschieden.
> Und dass sie soviele Elemente haben liegt daran dass die
> Erweiterungen galoissch sind. (Die Automorphismen sind hier
> "gleich" (nach Einbettung von [mm]K[/mm] und [mm]L[/mm] in [mm]\IC[/mm]) mit den
> Einbettungen in [mm]\IC[/mm].)
Was genau machst du hier mit [mm] \IC? [/mm] Ich habe doch gar nichts mit [mm] \IC [/mm] hier gesagt?!
> Dass sie ein Erzeugendensystem sind kannst du dir relativ
> leicht ueberlegen. Und wenn du noch weisst dass [mm][L L' : K] = n n'[/mm]
> ist folgt daraus bereits, dass es eine Basis ist.
Und wie genau sieht man "relativ leicht", dass es ein EZS ist? Vielleicht liegt es daran, dass ich nicht die Definition von einem Produkt von Körpern habe. Wie ist LL' definiert? Wie bei Idealen als Menge der endlichen Summen über ll' mit [mm] l\in [/mm] L und [mm] l'\in [/mm] L'? Sorry...
> Ok, jetzt fehlt noch [mm][L L' : K] = n n'[/mm]. Da fehlt mir grad
> die passende Idee, ich hab aber auch nicht wirklich Zeit
> drueber nachzudenken. Insofern antworte ich entweder
> spaeter oder jemand anders hat dann schon geantwortet ;)
Geht nicht [LL':K]=[LL':L][L:K]?
Aber vielen Dank für deine Bemühungen und Antworten! Vielleicht kann das noch jemand für mich vollends verständlich ergänzen..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Fr 31.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Im Prinzip ja, allerdings musst du dir noch ueberlegen wie
> > [mm]\sigma_i \sigma'_j[/mm] mit den Elementen aus [mm]L L'[/mm] umgeht (die
> > sind ja nicht gerade von der Form [mm]\ell \ell'[/mm] mit [mm]\ell \in L[/mm],
> > [mm]\ell' \in L'[/mm]), ansonsten macht [mm]\sigma_i \sigma'_j[/mm] erstmal
> > keinen Sinn als Automorphismus von [mm]L L'[/mm]. Dazu solltest du
> > vielleicht erstmal den zweiten Teil verstehen.
>
> Nun, ist es nicht so, dass [mm]\sigma_i\sigma'_j[/mm] Elemente aus
> K festletzt [mm](\sigma_i[/mm] die aus L, [mm]\sigma'_j[/mm] die aus L', und
> beide zusammen dann die aus [mm]L\cap[/mm] L'=K), und dass sie als
> Hintereinanderausführung von Automorphismen wieder solche
> sind? Und damit sind sie K-Einbettungen von LL', paarweise
> verschieden.
Naja, wenn du ein Element aus $L L'$ hast was weder in $L$ noch in $L'$ liegt, wie willst du dann [mm] $\sigma_i \sigma_j'$ [/mm] darauf anwenden? Denn [mm] $\sigma_i$ [/mm] nimmt ja nur Elemente aus $L$ und [mm] $\sigma_j'$ [/mm] nur Elemente aus $L'$.
> > Und dass sie soviele Elemente haben liegt daran dass die
> > Erweiterungen galoissch sind. (Die Automorphismen sind hier
> > "gleich" (nach Einbettung von [mm]K[/mm] und [mm]L[/mm] in [mm]\IC[/mm]) mit den
> > Einbettungen in [mm]\IC[/mm].)
>
> Was genau machst du hier mit [mm]\IC?[/mm] Ich habe doch gar nichts
> mit [mm]\IC[/mm] hier gesagt?!
Du redest von Zahlkoerpern und Einbettungen. Normalerweise betrachtet man bei Zahlkoerpern immer Einbettungen in [mm] $\IC$, [/mm] wenn man einfach nur von Einbettungen spricht.
> > Dass sie ein Erzeugendensystem sind kannst du dir
> > relativ
> > leicht ueberlegen. Und wenn du noch weisst dass [mm][L L' : K] = n n'[/mm]
> > ist folgt daraus bereits, dass es eine Basis ist.
>
> Und wie genau sieht man "relativ leicht", dass es ein EZS
> ist? Vielleicht liegt es daran, dass ich nicht die
> Definition von einem Produkt von Körpern habe. Wie ist LL'
> definiert? Wie bei Idealen als Menge der endlichen Summen
> über ll' mit [mm]l\in[/mm] L und [mm]l'\in[/mm] L'? Sorry...
Na, wenn du schon nicht weisst was $L L'$ ist waer's vielleicht ein guter Startpunkt erstmal das nachzugucken, bevor du ueberhaupt irgendwas versuchst hier zu verstehen :)
$L L'$ ist der kleinste Unterkoerper von dem Oberkoerper, wo $L$, $L'$ und $K$ drinnen leben, der sowohl $L$ als auch $L'$ umfasst.
Oder anders gesagt: ist $L = [mm] K(\alpha_1, \dots, \alpha_j)$ [/mm] und $L' = [mm] K(\beta_1, \dots, \beta_\ell)$, [/mm] so ist $L L' = [mm] K(\alpha_1, \dots, \alpha_j, \beta_1, \dots, \beta_\ell)$.
[/mm]
Insbesondere kann der Grad von $L L'$ ueber $L$ nicht groesser sein als der von $L'$ ueber $K$, und analog der von $L L'$ ueber $L'$ nicht groesser sein als der von $L$ ueber $K$.
> > Ok, jetzt fehlt noch [mm][L L' : K] = n n'[/mm]. Da fehlt mir grad
> > die passende Idee, ich hab aber auch nicht wirklich Zeit
> > drueber nachzudenken. Insofern antworte ich entweder
> > spaeter oder jemand anders hat dann schon geantwortet ;)
> Geht nicht [LL':K]=[LL':L][L:K]?
Klar. Aber wie willst du $[LL':L]$ bestimmen?
LG Felix
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