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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Basis einer Matrix
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Basis einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Di 12.07.2011
Autor: Schmetterling99

Hallo,
ich soll die Matrix von U=<(1,1,1),(2,1,1),(4,3,3)> [mm] \subseteq \IR^3 [/mm]
Das habe ich jetzt in eine Matrix geschrieben.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 } [/mm]
Jetzt mit Gauß umgeformt
dann bekomme ich [mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
Ist meine Basis dann die Zeilenvektoren also [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}?? [/mm]
Ist das so richtig. Bin mir nicht so sicher ob es zeilen oder spalteneinträge sein müssen.

Eine andere Frage ist wenn ich z.b. eine 4x3 Matrix habe. z.B.
1 2 3 4
5 6 7 8
9 1 2 3

Wenn ich hier zum bsp. eine basis bilden will muss die dreiecksform so aussehen
1 2 3 4
0 6 7 8
0 0 2 3
aussehen oder
so
1 2 3 4
0 0 7 8
0 0 0 3
???
Gruß

        
Bezug
Basis einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Di 12.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Schmetterling99,

was ist die "Basis einer Matrix" (deine Überschrift) ??

Ich kenne nur Basen von Vektorräumen ...


> Hallo,
> ich soll die Matrix von U=<(1,1,1),(2,1,1),(4,3,3)>  [mm]\subseteq \IR^3[/mm]

Was? Anmalen? Bestimmen?

Da fehlt ein Verb ...

Und was ist die Matrix eines Spanns??

>  Das habe ich jetzt in eine Matrix
> geschrieben.
>  [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 }[/mm]
>  Jetzt mit
> Gauß umgeformt
> dann bekomme ich [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] [ok]
>  
> Ist meine Basis dann die Zeilenvektoren also [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 4}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}??[/mm]
>  Ist das so richtig.

Nein, du hast mit der Rechnerei nun den Rang der Matrix bestimmt.

Der ist 2

(Übrigens ist Zeilenrang=Spaltenrang)

Damit weißt du, dass aus den 3 Vektoren, die [mm]U[/mm] aufspannen, 2 linear unabh. sind, wähle dir also 2 linear unabh. Vektoren aus den dreien aus und du hast eine Basis von [mm]U[/mm]

> Bin mir nicht so sicher ob es zeilen oder spalteneinträge sein
> müssen.

Wie gesagt, musst du aus den gegebenen Vektoren entsprechend dem berechneten Rang dann 2 linear unabh. Vektoren rauspicken, die es als Basis von U tun ...


>  
> Eine andere Frage ist wenn ich z.b. eine 4x3 Matrix habe.
> z.B.
>  1 2 3 4
>  5 6 7 8
> 9 1 2 3
>  
> Wenn ich hier zum bsp. eine basis bilden will muss die
> dreiecksform so aussehen
>  1 2 3 4
>  0 6 7 8
>  0 0 2 3
>  aussehen oder
>  so
>  1 2 3 4
>  0 0 7 8
>  0 0 0 3
>  ???

Beides ist in Dreiecksform. Der Rang (=Zeilenrang=Spaltenrang) ist 3

Von den 4 Spaltenvektoren sind also 3 linear unabh., wähle 3 passende linear unabh. Spaltenvektoren (aus der Ausgangsmatrix) aus und du hast eine Basis des [mm]\IR^3[/mm]

Gruß

schachuzipus

>  Gruß


Bezug
                
Bezug
Basis einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Mi 13.07.2011
Autor: Schmetterling99

Hallo,
danke erstmal. Tut mir leid, wegen den vielen Fehlern. Ich habe gestern sehr schnell geschrieben.
Also lauten meine Basenvektoren
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm]
oder hätte ich die Spalten wählen sollen??

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Basis einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 Mi 13.07.2011
Autor: Schadowmaster

öhm, nein erstmal^^
[mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 4}[/mm] ist garnicht in U enthalten und kann somit natürlich auch kein Element der Basis sein...

Du gehst die ganze Sache falsch an.
Überleg dir erstmal was genau lineare Abhängigkeit bedeutet.
Deine drei Vektoren [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] sind linear abhängig, wenn es a,b,c [mm]\in \IR[/mm] gibt mit [mm]a*x_1 + b*x_2 + c*x_3 = 0[/mm] und mindestens einer der a,b,c ungleich 0 ist.
Nun solltest du zu erst mal a,b,c berechnen.
Dafür am besten folgendes lineares Gleichungssystem lösen:

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 } * \vektor{a \\ b \\ c} = 0[/mm]

Dann kriegst du Werte für a,b,c und mindestens einer davon ist ungleich 0.
Den Vektor dessen Vorfaktor ungleich 0 ist kannst du dann wegfallen lassen.
Also wenn du zB a = 5, b = 3, c = 0 rauskriegst darfst du entweder [mm]x_1[/mm] oder [mm]x_2[/mm] wegfallen lassen, nicht aber [mm]x_3[/mm].

Also rechne mal a,b,c aus und lasse dann einen wegfallen.
Du hast ja bereits gezeigt (da der Rang der Matrix 2 ist), dass du genau einen wegfallen lassen kannst, also wenn du noch zwei Vektoren übrig hast dann sind die eine Basis von U.

Also nochmal kurz und knapp:
Du musst mit einem linearen Gleichungssystem die Vorfaktoren für [mm]\summe a_i*x_i = 0[/mm] ausrechnen.
Sind die alle gleich 0 so sind deine Vektoren linear unabhängig und du hast bereits eine Basis.
Ist eines der [mm]a_i[/mm] ungleich 0 so lässt du das entsprechende [mm]x_i[/mm] (nur eins auf einmal!) wegfallen und fängst wieder von vorne an, so lange bis deine Vektoren alle linear unabhängig sind; dann hast du eine Basis.

MfG

Schadowmaster


Bezug
                                
Bezug
Basis einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:10 Mi 13.07.2011
Autor: Schmetterling99

Hallo, danke.
Also habe ich das das GS
a+2b+4c=0
a+b+3c=0
a+b+3c=0

Und wenn ich jetzt die zweite Zeile mit der dritten subtrahiert. Dann bekomme ich ja
a+2b+4c=0
0=0

0=0 sagt mir ja das das Gleichungssystem linear abhängig ist. Aber meine Basis kann ich jetzt doch immer noch nicht ablesen. Oder mache iche etwas falsch??
Gruß  

Bezug
                                        
Bezug
Basis einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:47 Do 14.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Hallo, danke.
>  Also habe ich das das GS
>  a+2b+4c=0
>  a+b+3c=0
>  a+b+3c=0
>  
> Und wenn ich jetzt die zweite Zeile mit der dritten
> subtrahiert. Dann bekomme ich ja
> a+2b+4c=0
>  0=0
>  
> 0=0 sagt mir ja das das Gleichungssystem linear abhängig
> ist.

Genau, du hast mit $c$ eine frei wählbare Variable, die kannst du zB. auf $c=1$ setzen.

Damit ist $a=b=c=0$ nicht die einzige Lösung des LGS, also sind die 3 Vektoren linear abh.

> Aber meine Basis kann ich jetzt doch immer noch nicht
> ablesen. Oder mache iche etwas falsch??


Na, du hast doch den Rang der Matrix schon zu 2 bestimmt.

Damit ist $U$ ein 2-dimensionaler UVR des [mm] $\IR^3$ [/mm]

Du musst lediglich aus den 3 Vektoren, die $U$ aufspannen, 2 auswählen, die linear unabh. sind, diese bilden dann eine Basis von $U$

Die Auswahl ist aber doch ein Klacks, denn 2 Vektoren sind genau dann linear abh., wenn sie Vielfache voneinander sind.

Suche dir also 2 Vektoren aus, die KEINE Vielfachen voneinander sind, und du bist schon fertig!

>  Gruß    

LG

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Basis einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Fr 15.07.2011
Autor: Schmetterling99

Hallo, danke nochmal.
Also lauten meine Basisvektoren [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] ??

Gruß

Bezug
                                                        
Bezug
Basis einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Fr 15.07.2011
Autor: Schadowmaster

jupp ;)

Bezug
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