Basis einer symm. Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Mi 10.03.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | 1 Geben Sie eine Basis für eine symmetrische Matrix an.
2 Nenne Sie eine Basis einer spurfreien Matrix.
3 Nennen Sie eine nicht diagonalisierbare Matric über C
4 Geben Sie die Dimension spurfreier nxn Matrizen an. |
Hallo,
ich lerne gerade für meine ZP und gehe alte Prüfungsprotokolle durch:
Dabei bin ich auf folgende Frage gestoßen:
1 "Geben Sie eine Basis für eine symmetrische Matrix an?"
Meine Frage ist, gibt es dazu eine allgemeine Vorschrift? Weil man kann ja immer die kanonische Basis nehmen, sofern die Matrix vollen Rang hat. Aber es gibt ja 1000 Beispiele für symmetrische Matrizen die nicht volen Rang haben und daher nicht die kanonische Basis als Basis.
2 Ähnliches gilt ja auch für eine spurfreie Matrix, gibt es dort eine Vorschrift zu einer Basis?
3 Gibt es dort eine Matrix, ich habe eine gefunden, aber die war über R, klar liegt R in C aber gibt es noch eine die auch in C liegt?
4 Hier gibt es doch auch Matrizen die spurfrei sind, aber linear abhängige Spalten/Zeilen haben, da gibt es doch auch keine allgemeine Vorschrift, oder?
Danke
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Hallo Peon,
nur eine teilweise Antwort, da ich nicht sicher bin, was "spurfrei" bedeutet...
Spur=0?
Kläre uns (mich) mal auf ...
> 1 Geben Sie eine Basis für eine symmetrische Matrix an.
> 2 Nenne Sie eine Basis einer spurfreien Matrix.
> 3 Nennen Sie eine nicht diagonalisierbare Matric über C
> 4 Geben Sie die Dimension spurfreier nxn Matrizen an.
> Hallo,
>
> ich lerne gerade für meine ZP und gehe alte
> Prüfungsprotokolle durch:
> Dabei bin ich auf folgende Frage gestoßen:
>
> 1 "Geben Sie eine Basis für eine symmetrische Matrix an?"
>
> Meine Frage ist, gibt es dazu eine allgemeine Vorschrift?
> Weil man kann ja immer die kanonische Basis nehmen, sofern
> die Matrix vollen Rang hat.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was meinst du ?
> Aber es gibt ja 1000 Beispiele
> für symmetrische Matrizen die nicht volen Rang haben und
> daher nicht die kanonische Basis als Basis.
Wie sieht denn eine symmetrische Matrix aus?
Mache es dir an Bspen klar. Schauen wir uns [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen an.
Symmetrisch sind diese [mm] $\pmat{x&y\\y&z}$
[/mm]
Und die kannst du darstellen als [mm] $x\cdot{}\pmat{1&0\\0&0}+y\cdot{}\pmat{0&1\\1&0}+z\cdot{}\pmat{0&0\\0&1}$
[/mm]
Schreib's mal für [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen hin, dann siehst du, wie es läuft ...
> 2 Ähnliches gilt ja auch für eine spurfreie Matrix, gibt
> es dort eine Vorschrift zu einer Basis?
>
> 3 Gibt es dort eine Matrix, ich habe eine gefunden, aber
> die war über R, klar liegt R in C aber gibt es noch eine
> die auch in C liegt?
Wie ist denn "diagonalisierbar" definiert?
[mm] $A=\pmat{1&1\\0&1}$ [/mm] hat das char. Polynom [mm] $(1-\lambda)^2$
[/mm]
Also ist [mm] $\lambda=1$ [/mm] Eigenwert der Vielfachheit 2 (=algebraische VFH)
Wie sieht's mit dem zugeh. Eigenraum aus und dessen Dimension (=geometr. VFH) ?
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> 4 Hier gibt es doch auch Matrizen die spurfrei sind, aber
> linear abhängige Spalten/Zeilen haben, da gibt es doch
> auch keine allgemeine Vorschrift, oder?
>
> Danke
LG
schachuzipus
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> 1 Geben Sie eine Basis für eine symmetrische Matrix an.
> 2 Nenne Sie eine Basis einer spurfreien Matrix.
> 4 Geben Sie die Dimension spurfreier nxn Matrizen an.
Hallo,
die ganze Aufgabenstellung ist eigentlich für die Tonne, denn Matrizen haben überhaupt keine Basis - insofern sind die Aufgaben schnell abgearbeitet.
Vektorräume haben Basen.
Und deshalb ist oben wohl eher gemeint, daß Du eine Basis des Vektorraumes der symmetrischen Matrizen angeben sollst.
Ich hoffe, Dir ist das klar, denn für das Verständnis dessen, was Du tust, ist der Unterschied durchaus wichtig.
Nun zu den spurfreien Matrizen, also zu den Matrizen mit Spur=0. ("spurfrei" ist doch eine echt blöde Bezeichnung...)
Zunächst einmal könnte und sollte man, obgleich dies nicht Bestandteil der Aufgabe ist, darüber nachdenken, ob diese wirklich einen Vektorraum bilden.
Ergebnis: ja. Damit ist das Grübeln über Basis und Dimension sinnvoll.
Nun überlegen wir mal, wie spurfreie Matrizen gemacht sind: die Summe der Diagonalelemente ergibt 0. Ansonsten gibt es keine Einschränkungen.
Gucken wir uns die Sache für spurfreie [mm] 3\times [/mm] 3-Matrizen an.
Sie sind von dieser Machart:
[mm] \pmat{a_1_1&a_1_2&a_1_3\\a_2_1&a_2_2&a_2_3\\a_3_1&a_3_2&-a_1_1-a_2_2}.
[/mm]
Nun überleg mal, was eine Basis des besagten Raumes sein könnte. Sicher enthält sie weniger als 9 Elemente. (Warum?)
Gruß v. Angela
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Ich würde sagen, die Basis des Raumes aller symmetrischen Matrizen [mm] ($S:={A\in \IR^{n\times n} : A=A^T}$) [/mm] kann man mit weniger Schreibarbeit angeben. Die symmetrischen Matrizen bilden einen Untervektorraum von ganz [mm] $\IR^{n\times n}$.
[/mm]
[mm] $P\in \IR^{n\times n}$ [/mm] Man bezeichnet mit [mm] $P_{xy}=(p_{ik})$ [/mm] die Matrix, die an den Stellen [mm] $p_{xy}=p_{yx}=1$ [/mm] und sonst lauter Nullen enthält, also sonst [mm] $p_{ik}=0$. [/mm] Dann kann man alle Symmetrische Matrizen durch [mm] $P_{xy}$ [/mm] mit [mm] $1\leq x\leq y\leq [/mm] n$
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