Basis eines Erzeugniss/Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] v_1 [/mm] ,..., [mm] v_m [/mm] Vektoren aus [mm] \IR^{n}. [/mm] Um eine Basis des Erzeugnisses U=< [mm] v_1 [/mm] ,..., [mm] v_m [/mm] > zu bestimmen, kann man die [mm] v_i [/mm] zu den Zeilen einer Matrix A machen. Dann bringt man die MAtrix auf Zeilenstufenform und streicht die Nullzeilen, sofern vorhanden. Die verbleibenden Zeilen bilden eine Basis von U.
Bestimmung einer Basis für:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -4 \\ 2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_3 [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_4 [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -1 \\ 9 \\ 1 \\ 4 \\ 2}
[/mm]
[mm] v_5 [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ -4 \\ 5 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
[mm] v_6 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -3 \\ 3 \\ 0 \\ 1} [/mm] |
Also ich hab jetzt die Vektoren zu den Zeilen einer Matrix A [mm] \in \IR^{6x6} [/mm] zusammengefasst und in Zeilenstufenform umgeformt, wie ihr unten sehen könnt... ich bin mir aber nicht sicher bei dem Schritt, wo ich das ( [mm] \bruch{1}{8} [/mm] ) - fache einer Zeile zu einer anderen addiere...
Ich bin mir da unsicher ob ich das darf? also wegen dem [mm] \bruch{1}{8} [/mm] ...
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -4 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 9 & 1 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & -4 & 5 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & -3 & 3 & 0 & 1}
[/mm]
durch elementarische Umformungen komm ich dann zu folgender Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -5 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{2} & - \bruch{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & -2} [/mm]
Nun will ich in Zeile 5 Stelle 5 zu einer 1 machen, dazu habe ich das [mm] \bruch{1}{8} [/mm] - fache von Zeile 6 zu Zeile 5 addiert... Dort ist nun meine Frage. ;)
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Huhu,
> Seien [mm]v_1[/mm] ,..., [mm]v_m[/mm] Vektoren aus [mm]\IR^{n}.[/mm] Um eine Basis des
> Erzeugnisses U=< [mm]v_1[/mm] ,..., [mm]v_m[/mm] > zu bestimmen, kann man die
> [mm]v_i[/mm] zu den Zeilen einer Matrix A machen. Dann bringt man
> die MAtrix auf Zeilenstufenform und streicht die
> Nullzeilen, sofern vorhanden. Die verbleibenden Zeilen
> bilden eine Basis von U.
>
> Bestimmung einer Basis für:
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> [mm]v_2[/mm] =
> [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -4 \\ 2 \\ -1 \\ 1}[/mm]
> [mm]v_3[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]v_4[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ -1 \\ 9 \\ 1 \\ 4 \\ 2}[/mm]
> [mm]v_5[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ -4 \\ 5 \\ 0 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]v_6[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -3 \\ 3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> Also ich hab
> jetzt die Vektoren zu den Zeilen einer Matrix A [mm]\in \IR^{6x6}[/mm]
> zusammengefasst und in Zeilenstufenform umgeformt, wie ihr
> unten sehen könnt... ich bin mir aber nicht sicher bei dem
> Schritt, wo ich das ( [mm]\bruch{1}{8}[/mm] ) - fache einer Zeile zu
> einer anderen addiere...
> Ich bin mir da unsicher ob ich das darf? also wegen dem
> [mm]\bruch{1}{8}[/mm] ...
Wieso solltest du das nicht dürfen? Anscheinend machst du doch die ganze Zeit schon elementar Umformungen. Klar dürftest du das machen.
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -4 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 9 & 1 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & -4 & 5 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & -3 & 3 & 0 & 1}[/mm]
>
> durch elementarische Umformungen komm ich dann zu folgender
> Matrix
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -5 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{2} & - \bruch{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & -2}[/mm]
>
> Nun will ich in Zeile 5 Stelle 5 zu einer 1 machen, dazu
> habe ich das [mm]\bruch{1}{8}[/mm] - fache von Zeile 6 zu Zeile 5
> addiert... Dort ist nun meine Frage. ;)
>
Ich weiß nicht , ob deine bisherigen Umformungen richtig sind habs nur so überflogen, aber klar darfst dus machen, dann wirst du feststelllen, (oder schon vor der Umformung) , dass deine 5. und 6. Zeile sich ziemlich ähnlich sind....
Lg,
Eve
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Ich habe noch eine Frage zu der obigen Aufgabe...
Und zwar soll ich noch begründen, wieso dieses Verfahren funktioniert...
Hat das was mit Zeilenraum und Spaltenraum zu tun?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 04.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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