Basis eines Unterraums < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A = [mm] \pmat{ 7 & 6 & 5 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ 3 & -2 & 4 & 0 & 1 \\ 5 & 8 & 3 & 3 & 3}
[/mm]
Geben Sie eine Basis des von den Spltenvektoren von A in [mm] \IR^{4} [/mm] erzeugten Unterraum. |
hallo Leute!
Und wieder mal Sitze ich vor einem Rätsel, welches ich anscheinend leider nicht vermag aus eigener Kräft zu lösen:-(
Ich verstehe den passus "von A in [mm] \IR^{4} [/mm] erzeugten Unterraum" einfach nicht....weiß nicht so ganz wie ich an die sache rangehen soll. Es sind ja auch 5 Vektoren aber in [mm] \IR^{4} [/mm] erzeugter Unterraum. Hä?
Vielleicht kann ja jemand Licht ins Dunkle bringen(vielleicht ja auch Angela?? ). Viele Ließe Grüße der mathedepp_No.1
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Naja, bin mir net sicher, aber Du hast 5 Vektoren - Du weisst aber das nur 4 davon linear unabhängig sein können , d.h. Du musst Dir im Endeffekt 4 linear unabhängige Vektoren suchen, die in A sind - diese 4 bilden dann ein (lin. unabhängiges) Erzeugendensystem, d.h. die Basis . Schau also einfach nach, welche 4 Vektoren davon linear unabhängig sind, d.h. am Besten wählst Du dir 3 offensichtlich linear unabhängige und suchst dir einen vierten der ebenfalls in A liegt .
Ach ja - ist das eine erweiterte Matrix, ist mir nicht ganz klar ?
Naja, Bsp.:
Die ersten vier Spaltenvektoren müssten linear unabhängig sein (habs jetzt net überprüft) , d.h. die würden dann Deine Basis sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 09.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> Naja, bin mir net sicher, aber Du hast 5 Vektoren - Du
> weisst aber das nur 4 davon linear unabhängig sein können ,
soweit ist es richtig
> d.h. Du musst Dir im Endeffekt 4 linear unabhängige
> Vektoren suchen, die in A sind - diese 4 bilden dann ein
> (lin. unabhängiges) Erzeugendensystem, d.h. die Basis .
man weiß aber vorher nicht, dass es wirklich 4 linear unabhängige Vektoren im Spaltenraum gibt, also muss man hier maximal viele linear unabhängige Vektoren suchen !
> Schau also einfach nach, welche 4 Vektoren davon linear
> unabhängig sind, d.h. am Besten wählst Du dir 3
> offensichtlich linear unabhängige und suchst dir einen
> vierten der ebenfalls in A liegt .
das könnte zufällig richtig sein, aber so sollte man nicht allgemein vorgehen, stell dir mal eine 17x26 Matrix vor und versuch daran dieses Verfahren anzuwenden
> Die ersten vier Spaltenvektoren müssten linear unabhängig
> sein (habs jetzt net überprüft) , d.h. die würden dann
> Deine Basis sein.
wie jetzt? du hast nicht überprüft ob sie linear unabhängig sind, aber gehst erstmal davon aus?
das bedeutet aber sehr viel rechenarbeit, wenn es schief läuft...
(insbesondere weil man vorher nicht weiß, wieviele wirklich linear unabhängig sind)
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Sa 09.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
deine Spaltenvektoren sind ja Vektoren aus dem [mm] $\IR^4$ [/mm] also können diese ja dann auch nur einen UVR vom [mm] $\IR^4$ [/mm] erzeugen...
(dir ist schon klar, was ein Erzeugnis von Vektoren ist, oder?)
Allerdings weißt du vorher nicht, wieviele lienear unabhängige Vektoren du suchst, das müsste man über den Rang bestimmen - aber wenn du ehh Gauß benutzen musst, kannst du dir auch gleich eine Basis mitberechnen:
transponiere am besten die Matrix zuerst (su dass deine Vektoren nun als ZEILEN da stehen)
Danach bildest du einfach die Zeilenstufenform indem du nur Zeilentransformationen durchführst (so bleibst du im selben erzeugnis)
Wenn zeilenstufenform erreicht ist, dann sind alle Nicht-NullZeilen Vektoren deiner Basis !
wenn du mehr dazu lesen möchtest, schau mal HIER (hinweis: das Bild wird durch die Spalten der Matrix erzeugt...)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Salvathras |
Das war nur als kleiner Denkanstoß gedacht - der Gaußalgorithmus hat seine Vorteile, allerdings hilft es relativ oft bei kleineren Matrizen (wie hier) sich einfach die Spaltvektoren anzusehen - das bringt einem , doch relativ oft eine gute Orientierung... natürlich müssen es nicht vier Vektoren sein (sonst hätten wir auch nicht die nette Dimensionsformel bzw. Formel für den Rang einer Matrix), das war nur als Denkanstoß gemeint. Aber wie gesagt - Der Gaußalgorithmus bzw. die Zeilenumformungen sind schön und gut und sicherlich in vielen Fällen gut, wenn man jedoch in einer Klausur hockt oder in einer Prüfung ist, kann es extrem hilfreich sein, einfach schnell auch mal direkt eine geringere Anzahl an Spaltvektoren auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen (sofern man einige Vektoren bereits ausschliessen kann).
Dennoch entschuldige ich mich, falls mein Post verwirrt haben sollte - die Antwort des anderen Autors ist auf jeden Fall korrekt.
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Hallo zusammen,
erstmal vielen Dank für eure ausfühlichen Hilfestellungen und Erläuterungen. Bin jetzt dem Rat Die matrix A zu Transponieren und dann die Transponiere auf Zeilenstufenform zu bringen!
Leider stoße ich neach einigen schritten auf die Matrix:
[mm] \pmat{ 7 & -1 & 3 & 5 \\ 0 & 13 & -32 & 26 \\ 0 & 0 & 90 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9900 \\ 0 & 0 & 0 & -1320 } [/mm]
Ich seh doch jetzt schon das nicht eine Zeile Nullzeile wird....
was mach ich jetzt???
Also verrechnet habe ich mir glaub ich nicht, habs zweimal nachgerechnet....ich brauche nochmal Hilfe!!! Viele Grüße mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 So 10.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Rechng hab ich nicht überprüft, aber du kannst doch von der letzten Zeile ein Vielfaches der 4. abziehen, dann stehen in der letzten Zeile =en.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:42 So 10.12.2006 | | Autor: | Creep |
Try 4. Zeile mal 7,5 + 3. Zeile oder 3. Zeile geteilt durch 7,5 + 4. Zeile. Würd das zweite vorziehen
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Achso ja, danke! Also erhalte ich dann folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 7 & -1 & 3 & 5 \\ 0 & 13 & -32 & 26 \\ 0 & 0 & 90 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9900 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]
Heißt das jetzt das die ersten 4 Zeilen meiner Transponieren Matrix meine Basisbilden? viele grüße der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 So 10.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
auch ich habe dein Ergebnis nicht nachgerechnet (dass kan man mit Programmen machen oder so), aber wenn du keine Rechenfehler gemacht hast, dann stimmt es.
(also dass die zeilen als vektoren gesehen eine Basis bilden)
viele Grüße
DaMenge
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Tut mir leid, aber ich muss nochmal nachharken:
Also bildet (in seinem Fall)
[mm] \left\{ \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 13 \\ -32 \\ 26 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 90 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9900 \end{pmatrix} \right\} [/mm] eine Basis des von den Spaltenvektoren von A in [mm] \IR^4 [/mm] erzeugten Unterraums?
mfG Mathezwerg
p.s.: Danke stak genau das wollte ich wissen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 So 10.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, wenn er richtig gerechnet hat. da das aber der ganze [mm] R^4 [/mm] ist kann man auch die Standardbasis nehmen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Blueman |
Hallo
Leider hast du dich trotz Nachrechnen doch verrechnet.. der Rang der Matrix ist 3, die Basis besteht also auch nur aus 3 Vektoren.
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Hallo zusammen,
> Danach bildest du einfach die Zeilenstufenform indem du
> nur Zeilentransformationen durchführst (so bleibst du im
> selben erzeugnis)
Sorry wenn sich die Frage blöd anhört aber: was genau soll das heißen? Was darf man dann und was nicht? darf man z.B Zeilen mit Skalaren multiplizieren?
mfG Mathezwerg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 So 10.12.2006 | | Autor: | stak44 |
Hi,
Du darfst:
1. Zeilen zueinander addieren
2. Zeilen mit skalaren multiplizieren
3. Zeilen vertauschen
Du darfst nicht:
1. Spalten vertauschen
--> Du darfst ganz 'normal' rechnen wie in einer nicht tronsponierten Matrix.
Ich hoffe das hilft dir.
LG stak
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