Basis eines Untervektorraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] $\IQ$-Vektorräume $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] von [mm] $\IQ^{2x2}$ [/mm] gegeben durch
[mm] $U_1=<\pmat{ -1 & 2 \\ 1 & 3 }$, $\pmat{ 3 & -4 \\ -1 & -5 }>, U_2=<\pmat{ -3 & 2 \\ 1 & 1 }, \pmat{ 1 & -2 \\ 1 & -3 }>$.
[/mm]
Bestimmen Sie je eine Basis von [mm] $U_1 \cap U_2$ [/mm] und [mm] $U_1+U_2$. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei der Schnittmenge habe ich zuerst die beiden Linearkombinationen gleichgesetzt, da ja nur Elemente, die mit beiden Linearkombinationen gebildet werden können, in der Menge enthalten sind.
Die Matrizen schreibe ich als [mm] $\IQ^4$ [/mm] Vektoren.
[mm] $a\vektor{-3 \\ 1 \\ 2 \\ 1}+b\vektor{1 \\ 1 \\ -2 \\ -3}=c\vektor{-1 \\ 1 \\ 2 \\ 3}+d\vektor{3 \\ -1 \\ -4 \\ -5}$
[/mm]
Aus dem LGS erhalte ich $b=-a, c=-2a, d=-2a$
Jetzt weiß ich nicht weiter. War dieser Weg überhaupt in die richtige Richtung?
Vielen Dank im Voraus!
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> Es seien [mm]\IQ[/mm]-Vektorräume [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] von [mm]\IQ^{2x2}[/mm] gegeben
> durch
> [mm]U_1=<\pmat{ -1 & 2 \\ 1 & 3 }[/mm], [mm]\pmat{ 3 & -4 \\ -1 & -5 }>, U_2=<\pmat{ -3 & 2 \\ 1 & 1 }, \pmat{ 1 & -2 \\ 1 & -3 }>[/mm].
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> Bestimmen Sie je eine Basis von [mm]U_1 \cap U_2[/mm] und [mm]U_1+U_2[/mm].
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Bei der Schnittmenge habe ich zuerst die beiden
> Linearkombinationen gleichgesetzt, da ja nur Elemente, die
> mit beiden Linearkombinationen gebildet werden können, in
> der Menge enthalten sind.
Ja.
>
> Die Matrizen schreibe ich als [mm]\IQ^4[/mm] Vektoren.
>
> [mm]a\vektor{-3 \\ 1 \\ 2 \\ 1}+b\vektor{1 \\ 1 \\ -2 \\ -3}=c\vektor{-1 \\ 1 \\ 2 \\ 3}+d\vektor{3 \\ -1 \\ -4 \\ -5}[/mm]
>
> Aus dem LGS erhalte ich [mm]b=-a, c=-2a, d=-2a[/mm]
Das habe ich nicht nachgerechnet.
Du weißt nun: alle Vektoren des Schnittes sind von der Bauart
[mm] a\vektor{-3 \\ 1 \\ 2 \\ 1}+(-a)\vektor{1 \\ 1 \\ -2 \\ -3}=a*\vektor{-4\\0\\4\\4},
[/mm]
und damit solltest Du eine Basis des Schnittes erkennen.
LG Angela
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> Jetzt weiß ich nicht weiter. War dieser Weg überhaupt in
> die richtige Richtung?
>
> Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
genau da habe ich ein Brett vor dem Kopf. Was fange ich jetzt mit dieser Gleichung an?
Ich kann mir nicht vorstellen, wie ich damit überprüfen kann, ob bestimmte Vektoren in der Schnittmenge sind, geschweige denn eine Basis aufstellen.
Was genau repräsentiert die Gleichung denn in dieser Form?
Gruß
Max
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> genau da habe ich ein Brett vor dem Kopf. Was fange ich
> jetzt mit dieser Gleichung an?
> Ich kann mir nicht vorstellen, wie ich damit überprüfen
> kann, ob bestimmte Vektoren in der Schnittmenge sind,
> geschweige denn eine Basis aufstellen.
>
> Was genau repräsentiert die Gleichung denn in dieser
> Form?
Angela schrieb: "alle Vektoren des Schnittes sind von der Bauart
[mm] $a\cdot{}\vektor{-4\\0\\4\\4} [/mm] $"
Daraus kann man machen: "alle Vektoren des Schnittes sind von der Bauart
[mm] $a\cdot{}\vektor{-1\\0\\1\\1} [/mm] $"
In [mm] \IQ^4 [/mm] - Schreibweise ist der Schnitt=
[mm] \{a*\vektor{-1\\0\\1\\1}: a \in \IQ\}
[/mm]
Eine Basis des Schnittes ist dann [mm] \{\vektor{-1\\0\\1\\1} \}
[/mm]
Du formulierst das jetzt in Matrizenschreibweise.
FRED
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> Gruß
> Max
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