Basis eines Vektorraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
L := { [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3} [/mm] mit x+2y+3z=0, 4x+5y+6z=0,7x+8y+9z=0}
ein Untervektorraum von [mm] \IR^{3} [/mm] ist. Geben Sie eine Basis des [mm] \IR-Vektorraums [/mm] L an. |
Hallo miteinander, hier habe ich erstmal ein paar Fragen zu der Aufgabe:
1)Die beschreibenen Eigenschaften der Menge sind mit einem Komma verknüpft. Heißt das, dass die Bedindungen mit einem logischen Und verbunden sind?
Wenn das der Fall ist, dann ist mir gelungen zu zeigen, das L ein Untervektorraum von [mm] \IR^{3} [/mm] ist, indem ich Axiome für Untervektorräume für die Gleichungen gezeigt habe.
2) Bei genauerer Betrachtung fällt auf, das sich Gleichung 3 aus Gleichung 1 und 2 bilden lässt. Folgere ich daraus richtig, das Gleichung 3 für die weitere Betrachtung außer acht gelassen werden darf? Hat diese Tatsache irgendwelche Auswirkungen auf die Menge?
3) Nach meinem Verständnis hat diese Menge als Eigenschaften mehrere Ebenengleichungen gegeben. Ebenen hatten wir bisher noch nicht in der Vorlesung. Wie kann ich mir dann einen Raum aus diesen Ebene vorstellen?
Verschiedene Ebenen in einem Raum haben ja verschiedene Lagebeziehungen. Wenn ich das richtig sehe (und Gleichung 3 außer Betracht lasse) dann haben Ebene 1 und 2 eine Schnittgerade. Daraus würde folgern, das die Dimension von L = 1 ist?
4) Nach all diesen Unklarheiten ist mir leider gar nicht mehr klar, wie die Basis für diesen Vektorraum aussehen würde. Wie würde hier eine entsprechende Basis aussehen?
Ich steh grad ziemlich aufm Schlauch =) Ich hoffe mir kann jemand helfen ;)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Zeigen Sie, dass
> L := { [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit x+2y+3z=0,
> 4x+5y+6z=0,7x+8y+9z=0}
> ein Untervektorraum von [mm]\IR^{3}[/mm] ist. Geben Sie eine Basis
> des [mm]\IR-Vektorraums[/mm] L an.
> Hallo miteinander, hier habe ich erstmal ein paar Fragen
> zu der Aufgabe:
>
> 1)Die beschreibenen Eigenschaften der Menge sind mit einem
> Komma verknüpft. Heißt das, dass die Bedindungen mit
> einem logischen Und verbunden sind?
Hallo,
ja, so ist das zu verstehen.
Die gesuchte Menge L ist die Lösungsmenge eines homogenen LGS mit 3 Gleichungen und 3 Variablen.
> Wenn das der Fall ist, dann ist mir gelungen zu zeigen,
> das L ein Untervektorraum von [mm]\IR^{3}[/mm] ist, indem ich Axiome
> für Untervektorräume für die Gleichungen gezeigt habe.
Gut.
>
> 2) Bei genauerer Betrachtung fällt auf, das sich Gleichung
> 3 aus Gleichung 1 und 2 bilden lässt. Folgere ich daraus
> richtig, das Gleichung 3 für die weitere Betrachtung
> außer acht gelassen werden darf?
Ja.
> Hat diese Tatsache
> irgendwelche Auswirkungen auf die Menge?
Ja: das Gleichungssystem hat eine von [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] verschiedene Lösung, ist also nicht eindeutig lösbar.
>
> 3) Nach meinem Verständnis hat diese Menge als
> Eigenschaften mehrere Ebenengleichungen gegeben. Ebenen
> hatten wir bisher noch nicht in der Vorlesung. Wie kann ich
> mir dann einen Raum aus diesen Ebene vorstellen?
In die Ebenensprache übersetzt:
gesucht sind hier die Punkte des [mm] \IR^3, [/mm] die auf allen 2 bzw. 3 Ebenen gleichzeitig liegen.
Also das Schnittgebilde der Ebenen. Hier: die Schnittgerade.
> Verschiedene Ebenen in einem Raum haben ja verschiedene
> Lagebeziehungen. Wenn ich das richtig sehe (und Gleichung 3
> außer Betracht lasse) dann haben Ebene 1 und 2 eine
> Schnittgerade. Daraus würde folgern, das die Dimension von
> L = 1 ist?
Richtig.
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> 4) Nach all diesen Unklarheiten ist mir leider gar nicht
> mehr klar, wie die Basis für diesen Vektorraum aussehen
> würde. Wie würde hier eine entsprechende Basis aussehen?
Kannst Du die Schnittgerade ausrechnen, bzw. das GS
x+2y+3z=0
4x+5y+6z=0
7x+8y+9z=0
lösen?
Gruß v. Angela
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Nabend,
ich danke dir für deine Hilfe am späten Abend ;) Nun wirkt das ganze doch um einiges klarer.
> Kannst Du die Schnittgerade ausrechnen, bzw. das GS
> x+2y+3z=0
> 4x+5y+6z=0
> 7x+8y+9z=0
> lösen?
I := x + 2y + 3z = 0
II := 4x + 5y + 6z = 0
2*I - II = - 2x - y = 0
Setze y = t
[mm] \Rightarrow [/mm] -2x = t
[mm] \gdw [/mm] x = - [mm] \frac{t}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 4 * ( - [mm] \frac{t}{2} [/mm] ) + 5t + 6z = 0
[mm] \gdw [/mm] = z = [mm] \frac{-1}{2} [/mm] * t
[mm] \Rightarrow \vektor{\frac{-1}{2} \\ 1 \\ \frac{-1}{2}} [/mm] * t = [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ -1} [/mm] * t
Nun habe ich eine Geradengleichung.
Daraus würde dann folgern, das eine mögliche Basis von L diese hier ist: [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
Ich denke, das ich das soweit richtig gemacht habe. (Wenn nicht, dann korrigiere mich bitte)
Wie würde das ganze denn aussehen, wenn meine Geradengleichung noch einen Stützvektor hätte?
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> Nabend,
> ich danke dir für deine Hilfe am späten Abend ;) Nun
> wirkt das ganze doch um einiges klarer.
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> > Kannst Du die Schnittgerade ausrechnen, bzw. das GS
> > x+2y+3z=0
> > 4x+5y+6z=0
> > 7x+8y+9z=0
> > lösen?
>
> I := x + 2y + 3z = 0
> II := 4x + 5y + 6z = 0
> 2*I - II = - 2x - y = 0
> Setze y = t
> [mm]\Rightarrow[/mm] -2x = t
> [mm]\gdw[/mm] x = - [mm]\frac{t}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 4 * ( - [mm]\frac{t}{2}[/mm] ) + 5t + 6z = 0
> [mm]\gdw[/mm] = z = [mm]\frac{-1}{2}[/mm] * t
> [mm]\Rightarrow \vektor{\frac{-1}{2} \\ 1 \\ \frac{-1}{2}}[/mm] * t
> = [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ -1}[/mm] * t
>
> Nun habe ich eine Geradengleichung.
> Daraus würde dann folgern, das eine mögliche Basis von L
> diese hier ist: [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ -1}[/mm]
Hallo,
richtig.
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> Ich denke, das ich das soweit richtig gemacht habe. (Wenn
> nicht, dann korrigiere mich bitte)
> Wie würde das ganze denn aussehen, wenn meine
> Geradengleichung noch einen Stützvektor hätte?
Da wir es in der Aufgabe mit einem Untervektorraum L des [mm] \IR^3 [/mm] zu tun haben, kann es überhaupt nicht vorkommen, daß der Raum L den Nullvektor nicht enthält, also als Schnittgebilde eine Gerade herauskommt, die nicht durch den Koordinatenursprung läuft.
Aber bei Schnitten von Ebenen, die nicht durch den Ursprung gehen, kann das selbstverständlich vorkommen.
Sagen wir, wir haben dies:
x+2y+3z=4
y+2z=5.
Wir wählen z frei, also
z=t, und erhalten
y=5-2t
x=4-2y-3z=4-10+4t-3t=-6+t.
Damit haben wir für die Lösungen [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{-6+t\\5-2t\\t}=\vektor{-6\\5\\0}+t*\vektor{1\\-2\\1}
[/mm]
Gruß v. Angela
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Es wird alles viel klarer ;)
Ich habe noch eine letzte Frage: Wie würde denn nun eine Basis eines Vektorraums aufschreiben, die die von dir gepostete Schnittgerade beschreibt?
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> Es wird alles viel klarer ;)
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> Ich habe noch eine letzte Frage: Wie würde denn nun eine
> Basis eines Vektorraums aufschreiben, die die von dir
> gepostete Schnittgerade beschreibt?
Hallo,
wie gesagt: die Gerade, die nicht durch den Nullpunkt geht, ist ja gar kein VR.
Für die andere schreibt man: es ist Vektor [mm] \vektor{\\\\\\} [/mm] eine Basis des Raumes L.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 So 10.01.2010 | | Autor: | Soinapret |
Gut, dann habe ich alles verstanden. Ich danke dir nochmal recht herzlich für deine Hilfe =)
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