Basis eines Vektorraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Sa 05.11.2011 | | Autor: | julius93 |
| Aufgabe | Aufgabe 1: Es sei {u,v,w} eine Basis eines Vektorraums. Entscheiden Sie, ob folgende Mengen eine Basis bilden:
a) { u+v , v+w , w+u } b) { u-v , v-w, w-u } c) { u , u+v , u+v+w }
Aufgabe 2: Bestimmen Sie alle Untervektorräume des R 2, welche den Punkt (1,1) enthalten. |
Hallo Community,
ich habe wieder einmal ein Problem mit ein paar der Aufgaben aus meiner Übungsserie, ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Also zu 1. : Nach der Definiton einer Basis muss { u,v,w } linear unabhängig sein und span(u,v,w) = V. Ich denke, dass in der Aufgabe gemeint ist, dass die einzelnen gegebenen Mengen eine Basis zum selben Vektorraum bilden sollen, zu dem auch { u,v,w } eine Basis bildet.
Nun habe ich mir gedacht, falls meine Annahme stimmt, dass bei allen Aufgaben die Lineare Hülle der gegebenen Menge gleich der linearen Hülle span(u,v,w) sein muss, damit sie eine Basis bilden. Stimmt das? Also bei Teil a) span( u,v,w ) = span(u+v, v+w, w+u)
Ich weiß nur nicht wie ich weiter vorgehen soll und wie ich beweisen soll, dass die gegebenen Mengen eine Basis bilden oder nicht. Damit tue ich mich zur Zeit schwer. Kann mir jemand bei dem Beweis helfen?
Und bei Aufgabe 2 bin ich mir nicht im Klaren wie ich Herangehen soll. Da bräuchte ich vllt ein Beispiel oder ein paar Tips wie ich das Lösen soll.
Ich hoffe jemand kann helfen.
Liebe Grüße
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Hallo julius93,
> Aufgabe 1: Es sei {u,v,w} eine Basis eines Vektorraums.
> Entscheiden Sie, ob folgende Mengen eine Basis bilden:
> a) { u+v , v+w , w+u } b) { u-v , v-w, w-u } c) { u ,
> u+v , u+v+w }
>
> Aufgabe 2: Bestimmen Sie alle Untervektorräume des R 2,
> welche den Punkt (1,1) enthalten.
> Hallo Community,
> ich habe wieder einmal ein Problem mit ein paar der
> Aufgaben aus meiner Übungsserie, ich hoffe ihr könnt mir
> weiterhelfen.
> Also zu 1. : Nach der Definiton einer Basis muss { u,v,w }
> linear unabhängig sein und span(u,v,w) = V. Ich denke,
> dass in der Aufgabe gemeint ist, dass die einzelnen
> gegebenen Mengen eine Basis zum selben Vektorraum bilden
> sollen, zu dem auch { u,v,w } eine Basis bildet.
> Nun habe ich mir gedacht, falls meine Annahme stimmt, dass
> bei allen Aufgaben die Lineare Hülle der gegebenen Menge
> gleich der linearen Hülle span(u,v,w) sein muss, damit sie
> eine Basis bilden. Stimmt das? Also bei Teil a) span( u,v,w
> ) = span(u+v, v+w, w+u)
Ja.
> Ich weiß nur nicht wie ich weiter vorgehen soll und wie
> ich beweisen soll, dass die gegebenen Mengen eine Basis
> bilden oder nicht. Damit tue ich mich zur Zeit schwer. Kann
> mir jemand bei dem Beweis helfen?
Für die lineare Unabhängigkeit muss doch aus
[mm]\alpha*\left(u+v\right)+\beta\left(v+w\right)+\gamma*\left(w+u\right)=0[/mm]
folgen, daß [mm]\alpha=\beta=\gamma=0[/mm] sind.
Um das zu zeigen, führst Du die Gleichung
[mm]\alpha*\left(u+v\right)+\beta\left(v+w\right)+\gamma*\left(w+u\right)=0[/mm]
auf die lineare Unabhängigkeit von u,v,w zurück.
> Und bei Aufgabe 2 bin ich mir nicht im Klaren wie ich
> Herangehen soll. Da bräuchte ich vllt ein Beispiel oder
> ein paar Tips wie ich das Lösen soll.
> Ich hoffe jemand kann helfen.
> Liebe Grüße
Grus
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 05.11.2011 | | Autor: | julius93 |
Hallo MathePower,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Kannst du mir vllt noch erklären, was du mit "zurückführen" meinst?
Gruß, julius93
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Hallo julius93,
> Hallo MathePower,
> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> Kannst du mir vllt noch erklären, was du mit
> "zurückführen" meinst?
Mit zurückführen meine ich, daß Du die gegebenen Gleichung
auf die Form
[mm]\lambda*u+\mu*v+\nu*w=0[/mm]
bringst.
> Gruß, julius93
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Sa 05.11.2011 | | Autor: | julius93 |
Oh, ich glaube ich weiß jetzt, was du meinst. Stand ein bisschen auf dem Schlauch.. Also z.B. bei a) { u+v, v+w, w+u } umformulieren zu { (u,v,w) + ( v,w,u) }. Und dann kann man ja bei Voraussetzung 2, span(u,v,w)=V argumentieren, dass span(u,v,w)=span( (u,v,w)+(v,w,u)). Denn bei dieser linearen Hülle werden doch dieselben Elemente dargestellt, da durch das Addieren der Vektoren ja eigentlich nur der Faktor lambda um eins erhöht wird oder?
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Hallo julius93,
> Oh, ich glaube ich weiß jetzt, was du meinst. Stand ein
> bisschen auf dem Schlauch.. Also z.B. bei a) { u+v, v+w,
> w+u } umformulieren zu { (u,v,w) + ( v,w,u) }. Und dann
> kann man ja bei Voraussetzung 2, span(u,v,w)=V
> argumentieren, dass span(u,v,w)=span( (u,v,w)+(v,w,u)).
> Denn bei dieser linearen Hülle werden doch dieselben
> Elemente dargestellt, da durch das Addieren der Vektoren ja
> eigentlich nur der Faktor lambda um eins erhöht wird oder?
Es entsteht doch zunächst ein Gleichungssystem,
da [mm]\lambda, \ \mu, \ \nu[/mm] abhängig von [mm]\alpha, \beta, \gamma[/mm] sind.
Da u,v,w linear unabhängig sind, muß [mm]\lambda=\mu=\nu=0[/mm] gelten.
Zu zeigen ist daher, daß aus dem entstehenden Gleichungssystem
ebenfalls [mm]\alpha=\beta=\gamma=0[/mm] folgt.
Und stelle Fragen als Fragen nicht als Mitteilungen.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du zeigst, wenn es für die gl. mit den neuen vektoren ne lösung mit Koeff ungleich 0 gibt, dann auch mit den alten.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Sa 05.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Julius,
ist ein Vektorraum bei euch ein Vektorraum über dem Körper [mm] $\IR$ [/mm] oder einem beliebigen Körper K?
(In letzterem Fall ist bei 1 a) mehr zu beachten als in ersterem Fall.)
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Sa 05.11.2011 | | Autor: | julius93 |
Also da bin ich mir bei der Aufgabe auch nicht sicher. Eigentlich haben wir bis jetzt immer nur Vektorräume über R behandelt. Aber in der Aufgabe steht ja nur " Es sei { u,v,w } eine Basis eines Vektorraums. Also ist wahrscheinlich ein allgemeiner Körper K gemeint
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Sa 05.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Ich weiß nicht, was ihr schon an Theorie zur Dimension von Vektorräumen hattet. Vorausgesetzt, ihr hattet schon einiges dazu:
Bei Aufgabe 1 genügt es, eine der beiden Eigenschaften "linear unabhängig" und "Erzeugendensystem" nachzurechnen, da die Dimension des Vektorraumes 3 ist und jeweils genau drei Vektoren in den Systemen sind.
Zu Aufgabe 2: Der kleinste Untervektorraum von [mm] $\IR^2$, [/mm] der (1,1) enthält, ist $<(1,1)>$ (lineare Hülle). Er hat Dimension 1. Für alle anderen Untervektorräume U, die (1,1) enthalten, gilt somit [mm] $<(1,1)>\subsetneq [/mm] U$ und damit [mm] $1<\operatorname{dim}U$. [/mm] Also kann U nur wie aussehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Sa 05.11.2011 | | Autor: | julius93 |
Also Dimensionen haben wir leider erst sehr kurz in den Vorlesungen gemacht, deswegen wunderts mich, dass dazu eine Aufgabe in der Übungsserie ist. Also die Dimension von U ist größer als 1. Heißt das U ist z.B. {(1,1,0)}?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 So 06.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn 3 Vektoren die Basis bilden ist der VR 3 dimensional; Dimension= minimalzahl linear unabh, vektoren!
und deine schreibwiese { (u,v,w) + ( v,w,u) } gibt es so wohl nicht. du musst schon wie oben gesagt die lin Unabh. der 3 vektoren zeigen aus der von u,v,w . das ist wirklich leicht, wenn dus nur mal hinschreibst.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 So 06.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Also Dimensionen haben wir leider erst sehr kurz in den
> Vorlesungen gemacht, deswegen wunderts mich, dass dazu eine
> Aufgabe in der Übungsserie ist. Also die Dimension von U
> ist größer als 1. Heißt das U ist z.B. {(1,1,0)}?
Nein. Wir sind im [mm] $\IR^2$, [/mm] da haben alle Vektoren nur zwei Komponenten.
Gehen wir die Aufgabe 2 also elementar ohne den Dimensionsbegriff an:
Sei $U$ ein Untervektorraum von [mm] $\IR^2$, [/mm] der $(1,1)$ enthält. Dann gilt [mm] $U\supseteq [/mm] <(1,1)>$. Unterscheiden wir zwei Fälle:
1. Fall: $U=<(1,1)>$. Dann wissen wir, wie U aussieht.
2. Fall: [mm] $U\supsetneq [/mm] <(1,1)>$. Dann existiert ein [mm] $(w_1,w_2)\in U\setminus [/mm] <(1,1)>$. Es folgt [mm] $U\supseteq <(1,1),(w_1,w_2)>$.
[/mm]
Wie sieht [mm] $<(1,1),(w_1,w_2)>$ [/mm] aus? Untersuche also, für welche [mm] $(v_1,v_2)\in \IR^2$ [/mm] gilt, dass [mm] $(v_1,v_2)\in <(1,1),(w_1,w_2)>$.
[/mm]
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