Basis erzeugen durch weglassen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | K sei Körper. Gebe Vektoren [mm]v_1,...,v_{n+1} \in K^n[/mm]an, so dass nach Weglassen eines beliebigen [mm]v_i, 1 \le i \le n+1[/mm], eine Basis des [mm] K^n [/mm] entsteht. |
Hallo,
also im Prinzip habe ich schon die Lösung, ich habe jedoch keine Ahung wie ich das besonders sinnvoll aufschreiben kann.
Also ich habe 2 Fälle herausgefunden:
Fall 1 für [mm] K^1: [/mm] Da ist es [mm]v_1 = \vektor{1}[/mm] und ein linear abhängiger Vektor [mm]v_2[/mm], da [mm]\lambda * v_1 = 0 \gdw \lambda = 0[/mm] und [mm]\lambda * v_2 = 0 \gdw \lambda = 0[/mm].
Fall 2 für n > 1:
Da soll die Menge J so definiert sein: [mm]J := \{1,...,n\}[/mm], Zudem ist x ein Vektor aus [mm]K^n[/mm] bei der in jeder Spalte eine 1 steht. Dann ist die Familie der Vektoren für die das zutrifft (zumindest eine davon, mehr soll ich ja aber auch nicht finden):
[mm] (x-e_j)_{j \in J} \cap [/mm] x
Das sind genau n+1 Elemente, die Lösung der Aufgabe sind (zumindest bis [mm] k^4 [/mm] hab ich durch probiert xD). Ich denke der Beweis müsste mit vollständiger Induktion erfolgen, jedoch hab ich riesen Probleme beim Aufschreiben... Weil wenn ich davon ausgehe, dass n bewiesen sei und n+1 dann auch gelten soll, kann ich nicht so wirklich auf n zurückgreifen, weil ich dort ja eine Spalte weniger hatte? Und alle durchgehen bis unendlich... so lange habe ich nicht Zeit :)
Wie schreibt man so etwas auf?
Mit freundlichen Grüßen,
Christoph
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> K sei Körper. Gebe Vektoren [mm]v_1,...,v_{n+1} \in K^n[/mm]an, so
> dass nach Weglassen eines beliebigen [mm]v_i, 1 \le i \le n+1[/mm],
> eine Basis des [mm]K^n[/mm] entsteht.
> Hallo,
> also im Prinzip habe ich schon die Lösung, ich habe jedoch
> keine Ahung wie ich das besonders sinnvoll aufschreiben
> kann.
> Also ich habe 2 Fälle herausgefunden:
>
> Fall 1 für [mm]K^1:[/mm] Da ist es [mm]v_1 = \vektor{1}[/mm] und ein linear
> abhängiger Vektor [mm]v_2[/mm], da [mm]\lambda * v_1 = 0 \gdw \lambda = 0[/mm]
> und [mm]\lambda * v_2 = 0 \gdw \lambda = 0[/mm].
>
> Fall 2 für n > 1:
> Da soll die Menge J so definiert sein: [mm]J := \{1,...,n\}[/mm],
> Zudem ist x ein Vektor aus [mm]K^n[/mm] bei der in jeder Spalte eine
> 1 steht. Dann ist die Familie der Vektoren für die das
> zutrifft (zumindest eine davon, mehr soll ich ja aber auch
> nicht finden):
>
> [mm](x-e_j)_{j \in J} \cap[/mm] x
Hallo,
das mit diesem Schnitt kann ich jetzt leider nicht gut begreifen. (Hättest Du es doch explizit hingeschrieben, zumindest für n=4...)
Ich rate jetzt mal:
meinst Du für den Fall n=4 das:
[mm] (v_1:=\vektor{0\\1\\1\\1}, v_2:=\vektor{1\\0\\1\\1}, v_3:=\vektor{1\\1\\0\\\1}, v_4:=vektor{1\\1\\1\\0}, v_5:=vektor{1\\1\\1\\1}).
[/mm]
Das ist auf jeden Fall eine richtige Lösung - und man könnte das auch aufschreiben: für i=1,...,n ist [mm] v_i:=(\summe_{j=1}^{n}e_j) [/mm] - [mm] e_i, v_{n+1}:=(\summe_{j=1}^{n}e_j) [/mm] und dann die Linearkombinationen aus n dieser Vektoren angucken.
Aber nimm doch eine einfachere Möglichkeit solche einer Basis: für [mm] v_1 [/mm] bis [mm] v_n [/mm] die Standardbasisvektoren, und als [mm] v_{n+1} [/mm] die Summe dieser Vektoren.
So bleibt die Sache übersichticher.
Daß die ersten n Vektoren eine basis sind, ergibt sich aus ihrer Definition.
Nun guckst Du
[mm] 0=\lambda_1v_1 [/mm] + [mm] ...+\lambda_{k-1}v_{k-1}+\lambda_{k+1}v_{k+1}+...+\lambda_{n+1}v_{n+1} [/mm] an, ersetzt [mm] v_{n+1} [/mm] durch die Summe verwendest die Unabhängigkeit von [mm] (v_1,...v_n) [/mm] und rechnest so vor, daß die [mm] \lambda [/mm] alle =0 sind.
Danach kannst Du ja auch Deins nochmal probieren.
Gruß v. Angela
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Hallo, also ich glaube, deine Lösung habe ich bewiesen bekommen und zwar:
Ich definieren [mm]v_1,...,v_n [/mm] als Standardbasisvektoren und [mm]v_{n+1} := (\summe_{j=1}^{n}e_j)[/mm] wie du es gesagt hast.
Dann sei [mm]0 = \lambda_1*v_1 + ... + \lambda_n * v_n + \lambda_{n+1} * v_{n+1} = [/mm] (*1) [mm]\summe_{j=1}^n \lambda_j * e_j + \lambda_{n+1} * \summe_{j=1}^n e_j = \summe_{j=1}^n \lambda_j * e_j + \summe_{j=1}^n \lambda_{n+1} * e_j =
\summe_{j=1}^n \lambda_j * e_j + \lambda_{n+1} * e_j = \summe_{j=1}^n e_j (\lambda_j + \lambda_{n+1})[/mm].
(**): Weil alle [mm]e_j[/mm] laut Definition eine Basis sind, folgt daraus, dass [mm]\lambda_1 + \lambda_{n+1} = \lambda_2 + \lambda_{n+1} = ... = \lambda_n + \lambda_{n+1} = 0[/mm].
Da jedoch aus [mm]\summe_{j=1}^n \lambda_j * e_j = 0 \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_n = 0[/mm], muss auch [mm]0 + \lambda_{n+1} = 0 + \lambda_{n+1} = ... = 0 + \lambda_{n+1} = 0 \Rightarrow \lambda_{n+1} = 0[/mm]
(*1) Einsetzen meiner Wahl für [mm]v_1,...,v_{n+1}[/mm]
Nun zu meiner Lösung:
dort definiere ich [mm]v_s = (\summe_{k=1}^n e_j) - e_s[/mm] für [mm]s = 1,...,n[/mm] und [mm]v_{n+1} := (\summe_{j=1}^{n}e_j)[/mm].
Dann soll wieder [mm]0 = \lambda_1*v_1 + ... + \lambda_n * v_n + \lambda_{n+1} * v_{n+1} = [/mm] (*2) [mm]
\summe_{j=1}^n \lambda_j * ((\summe_{i=1}^n e_i) - e_j) + \lambda_{n+1} \summe_{j=1}^n e_j =
\summe_{j=1}^n \lambda_j * ((\summe_{i=1}^n e_i) - e_j) + \summe_{j=1}^n \lambda_{n+1} * e_j =
\summe_{j=1}^n \lambda_j * ((\summe_{i=1}^n e_i) - e_j) + \lambda_{n+1} * e_j =
\summe_{j=1}^n ( (\summe_{i=1}^n \lambda_j * e_i) - \lambda_j * e_j) + \lambda_{n+1} * e_j =[/mm][mm]
= \summe_{j=1}^n ( (\summe_{i=1}^n \lambda_j * e_i) - (\lambda_j + \lambda_{n+1}) * e_j) =
- \summe_{j=1}^n ( e_j * (\lambda_j + \lambda_{n+1}) - (\summe_{i=1}^n \lambda_j * e_i))
[/mm]
(*2) Einsetzen meiner neuen Definitionen für [mm]v_1,...,v_{n+1}[/mm].
Nun muss beim 2. Summand, also [mm]\summe_{i=1}^n \lambda_j * e_i[/mm] [mm]\lambda_0 = \lambda_1 = ... = \lambda_n = 0[/mm] sein, da die [mm]e_i[/mm] wieder die Standardbasisvektoren sind.
Beim ersten Summand ist die gleiche Begründung wie bei (**).
Beide Summanden zusammen können sonst auch nicht miteinander kombiniert 0 werden, falls [mm]\lambda_1 \not= 0[/mm] oder [mm]\lambda_2 \not= 0[/mm] oder ... oder [mm]\lambda_n+1 \not= 0[/mm], da .... naja unmathematisch: [mm]e_j[/mm] sieht im [mm]\mathbb{R}^3[/mm] z.B. so aus [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] für [mm]j=2[/mm]. [mm] (\summe_{i=1}^n \lambda_j * e_i)[/mm] ist jedoch sowas: [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 3}[/mm]. Mit denen bekommt man, wenn man durch die j durchzählt keine Möglichkeit auf 0 zu kommen, bis auf die triviale Lösung [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_{n+1} = 0[/mm].
Die letzten Sätze müsste man noch beweisen?
Ansonten stimmt der Weg bisher so einigermaßen, oder?
Mfg
Christoph
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> Hallo, also ich glaube, deine Lösung habe ich bewiesen
> bekommen und zwar:
>
> Ich definieren [mm]v_1,...,v_n[/mm] als Standardbasisvektoren und
> [mm] v_{n+1} [/mm] := [mm] (\summe_{j=1}^{n}e_j)[/mm] [/mm] wie du es gesagt hast.
> Dann sei 0 = [mm] \lambda_1*v_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_n [/mm] * [mm] v_n [/mm] + [mm] \lambda_{n+1} [/mm] * [mm] v_{n+1}
[/mm]
Hallo,
Du machst hier einen ganz entscheidenden gedanklichen Fehler: Du schickst Dich an zu beweisen, daß es im [mm] K^n [/mm] n+1 linear unabhängige Vektoren gibt, was natürlich aufgrund der Dimension n überhaupt nicht sein. (Lies nicht weiter, bevor Dir dies klar ist.)
Wenn Du nun am Ende tatsächlich irgendwie herausbekommst, daß [mm] \lambda_i=0 [/mm] für alle i folgt, so hast Du in dem Bestreben, dieses Ergebnis zu erzielen, irgendwo einen gravierenden Fehler gemacht.
Den suche ich jetzt.
> =
> (*1) [mm]\summe_{j=1}^n \lambda_j * e_j + \lambda_{n+1} * \summe_{j=1}^n e_j = \summe_{j=1}^n \lambda_j * e_j + \summe_{j=1}^n \lambda_{n+1} * e_j =
\summe_{j=1}^n \lambda_j * e_j + \lambda_{n+1} * e_j = \summe_{j=1}^n e_j (\lambda_j + \lambda_{n+1})[/mm].
>
> (**): Weil alle [mm]e_j[/mm] laut Definition eine Basis sind, folgt
> daraus, dass [mm]\lambda_1 + \lambda_{n+1} = \lambda_2 + \lambda_{n+1} = ... = \lambda_n + \lambda_{n+1} = 0[/mm].
Bis hierher stimmt alles.
>
> Da jedoch aus [mm] \summe_{j=1}^n \lambda_j [/mm] * [mm] e_j [/mm] = 0
Es war nie die Rede davon, daß dies gilt.
Es gilt, daß aus [mm] \summe_{j=1}^n \lambda_j [/mm] * [mm] e_j [/mm] = 0 folgt [mm] \lambda_1=...=\lambda_n=0, [/mm] aber wie gesagt: von [mm] \summe_{j=1}^n \lambda_j [/mm] * [mm] e_j [/mm] = 0 ist nirgendwo die Rede.
Weil Du dies falsch gemacht hast, konntest Du "zeigen", daß es im [mm] K^n [/mm] (n+1) linear unabhängige Vektoren gibt.
Du sollst aber zeigen, daß [mm] \{v_1,...,v_n, v_{n+1}\} [/mm] \ [mm] \{v_k\} [/mm] für k=1,2,...,n+1 linear unabhängig, also eine Basis des [mm] K^n, [/mm] ist.
Schau Dir nochmal meine Vorlage an im anderen Post. Ich habe den Vektor [mm] v_k [/mm] fortgelassen.
Durchdenke naochmal die Aufgaenstellung und starte erneut, Du bist fast auf dem richtigen Weg, und wenn Du einen der Vektoren wegläßt, bekommst Du auch das gewünschte Ergebnis, ohne daß Du dubiose und falsche Voraussetzungen ins Spiel bringst.
Im anderen Teil machst Du denselben Fehler wieder, ich zerpflücke das jetzt nicht, sondern warte auf die korrigierte Version, bei welcher man dann hoffentlich nur noch nicken muß.
Gruß v. Angela
[mm] \Rightarrow \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = ... = [mm] \lambda_n [/mm] = 0[/mm],
> muss auch [mm]0 + [mm] \lambda_{n+1} [/mm] = 0 + [mm] \lambda_{n+1} [/mm] = ... = 0 + [mm] \lambda_{n+1} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \lambda_{n+1} [/mm] = 0
>
> (*1) Einsetzen meiner Wahl für [mm]v_1,...,v_{n+1}[/mm]
>
>
> Nun zu meiner Lösung:
> dort definiere ich [mm]v_s = (\summe_{k=1}^n e_j) - e_s[/mm] für [mm]s = 1,...,n[/mm]
> und [mm]v_{n+1} := (\summe_{j=1}^{n}e_j)[/mm].
> Dann soll wieder [mm]0 = \lambda_1*v_1 + ... + \lambda_n * v_n + \lambda_{n+1} * v_{n+1} =[/mm]
> (*2) [mm]
\summe_{j=1}^n \lambda_j * ((\summe_{i=1}^n e_i) - e_j) + \lambda_{n+1} \summe_{j=1}^n e_j =
\summe_{j=1}^n \lambda_j * ((\summe_{i=1}^n e_i) - e_j) + \summe_{j=1}^n \lambda_{n+1} * e_j =
\summe_{j=1}^n \lambda_j * ((\summe_{i=1}^n e_i) - e_j) + \lambda_{n+1} * e_j =
\summe_{j=1}^n ( (\summe_{i=1}^n \lambda_j * e_i) - \lambda_j * e_j) + \lambda_{n+1} * e_j =[/mm][mm]
= \summe_{j=1}^n ( (\summe_{i=1}^n \lambda_j * e_i) - (\lambda_j + \lambda_{n+1}) * e_j) =
- \summe_{j=1}^n ( e_j * (\lambda_j + \lambda_{n+1}) - (\summe_{i=1}^n \lambda_j * e_i))
[/mm]
>
> (*2) Einsetzen meiner neuen Definitionen für
> [mm]v_1,...,v_{n+1}[/mm].
>
> Nun muss beim 2. Summand, also [mm]\summe_{i=1}^n \lambda_j * e_i[/mm]
> [mm]\lambda_0 = \lambda_1 = ... = \lambda_n = 0[/mm] sein, da die
> [mm]e_i[/mm] wieder die Standardbasisvektoren sind.
> Beim ersten Summand ist die gleiche Begründung wie bei
> (**).
>
> Beide Summanden zusammen können sonst auch nicht
> miteinander kombiniert 0 werden, falls [mm]\lambda_1 \not= 0[/mm]
> oder [mm]\lambda_2 \not= 0[/mm] oder ... oder [mm]\lambda_n+1 \not= 0[/mm],
> da .... naja unmathematisch: [mm]e_j[/mm] sieht im [mm]\mathbb{R}^3[/mm] z.B.
> so aus [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] für [mm]j=2[/mm]. [mm](\summe_{i=1}^n \lambda_j * e_i)[/mm]
> ist jedoch sowas: [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 3}[/mm]. Mit denen bekommt
> man, wenn man durch die j durchzählt keine Möglichkeit auf
> 0 zu kommen, bis auf die triviale Lösung [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_{n+1} = 0[/mm].
>
> Die letzten Sätze müsste man noch beweisen?
>
> Ansonten stimmt der Weg bisher so einigermaßen, oder?
>
> Mfg
> Christoph
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Hallo,
> Du machst hier einen ganz entscheidenden gedanklichen
> Fehler: Du schickst Dich an zu beweisen, daß es im [mm]K^n[/mm] n+1
> linear unabhängige Vektoren gibt, was natürlich aufgrund
> der Dimension n überhaupt nicht sein. (Lies nicht weiter,
> bevor Dir dies klar ist.)
Oh... ist klar.. peinlich :-x
> Schau Dir nochmal meine Vorlage an im anderen Post. Ich
> habe den Vektor [mm]v_k[/mm] fortgelassen.
Stimmt, hatte ich total übersehen, aber ist eigentlich klar...
>
> Durchdenke naochmal die Aufgaenstellung und starte erneut,
> Du bist fast auf dem richtigen Weg, und wenn Du einen der
> Vektoren wegläßt, bekommst Du auch das gewünschte Ergebnis,
> ohne daß Du dubiose und falsche Voraussetzungen ins Spiel
> bringst.
>
Dann auf ein neues!
[mm]0 = \summe_{j=1}^{k-1}\lambda_j * e_j + \summe_{j = k+1}^{n} \lambda_j * e_j + \lambda_{n+1}\summe_{j=1}^{n}e_j[/mm][mm]
= \summe_{j=1}^{k-1}\lambda_j * e_j + \summe_{J=k+1}^n \lambda_j * e_j + \summe_{j=1}^{k-1}\kambda_{n+1}*e_j + \summe_{j=k+1}^n \lambda_{n+1} * e_j + \lambda_{n+1}*e_k[/mm][mm]
= \summe_{j=1}^{k-1}\lambda_j * e_j + \lambda_{n+1} * e_j + \summe_{j=k+1}^n \lambda_j * e_j + \lambda_{n+1} * e_j + \lambda_{n+1}*e_k[/mm][mm]
= \summe_{j=1}^{k-1}e_j * (\lambda_j + \lambda_{n+1}) + \summe_{j=k+1}^n e_j * (\lambda_j + \lambda_{n+1}) + \lambda_{n+1}*e_k[/mm]
Hier kann ich aber benutzen, weil alle [mm]e_j[/mm] für [mm]j=1...n[/mm] die Standardbasisvektoren sind, muss zumindest schon mal [mm]\lambda_{n+1}[/mm] hier 0 sein, weil ansonsten die die Spalte k von keinem anderen Vektor auf 0 gesetzt werden könnte.
Nun hat man also für alle [mm]j \not=k[/mm] sowas dastehen wie [mm]\summe_{j=1; j\not=k}^n \lambda_j * e_j = 0 \Rightarrow \lambda_1 = ... = \lambda_{n+1} = 0[/mm]
>
> Im anderen Teil machst Du denselben Fehler wieder, ich
> zerpflücke das jetzt nicht, sondern warte auf die
> korrigierte Version, bei welcher man dann hoffentlich nur
> noch nicken muß.
>
> Gruß v. Angela
>
Hoffe ich auch!
Konnte leider erst jetzt wieder antworten, hatte viel zu tun die letzten Tage.
Mfg,
Christoph
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> Dann auf ein neues!
>
> [mm]0 = \summe_{j=1}^{k-1}\lambda_j * e_j + \summe_{j = k+1}^{n} \lambda_j * e_j + \lambda_{n+1}\summe_{j=1}^{n}e_j[/mm][mm]
= \summe_{j=1}^{k-1}\lambda_j * e_j + \summe_{J=k+1}^n \lambda_j * e_j + \summe_{j=1}^{k-1}\kambda_{n+1}*e_j + \summe_{j=k+1}^n \lambda_{n+1} * e_j + \lambda_{n+1}*e_k[/mm][mm]
= \summe_{j=1}^{k-1}\lambda_j * e_j + \lambda_{n+1} * e_j + \summe_{j=k+1}^n \lambda_j * e_j + \lambda_{n+1} * e_j + \lambda_{n+1}*e_k[/mm][mm]
= \summe_{j=1}^{k-1}e_j * (\lambda_j + \lambda_{n+1}) + \summe_{j=k+1}^n e_j * (\lambda_j + \lambda_{n+1}) + \lambda_{n+1}*e_k[/mm] [mm] (\*)
[/mm]
>
> Hier kann ich aber benutzen, weil alle [mm]e_j[/mm] für [mm]j=1...n[/mm] die
> Standardbasisvektoren sind, muss zumindest schon mal
> [mm]\lambda_{n+1}[/mm] hier 0 sein, weil ansonsten die die Spalte k
> von keinem anderen Vektor auf 0 gesetzt werden könnte.
>
> Nun hat man also für alle [mm]j \not=k[/mm] sowas dastehen wie
> [mm]\summe_{j=1; j\not=k}^n \lambda_j * e_j = 0 \Rightarrow \lambda_1 = ... = \lambda_{n+1} = 0[/mm]
Hallo,
ja, genau.
Ich würde ab [mm] (\*) [/mm] in etwa so schreiben:
Da [mm] (e_1, ...e_n) [/mm] linear unabhängig, folgt
[mm] \lambda_{n+1}=0
[/mm]
[mm] \lambda_j [/mm] + [mm] \lambda_{n+1}=0 [/mm] j=1,2,...,k-1, k+1,...,n,
und somit [mm] \lambda_j=0 [/mm] für j=1,2,...,k-1, k+1,...,n+1.
Also ist [mm] (e_1,...,e_{k-1}, e_{k+1}, [/mm] ..., [mm] e_{n+1}) [/mm] linear unabhängig, daher eine Basis (n linear unabhängige Vektoren).
Gruß v. Angela
>
> >
> > Im anderen Teil machst Du denselben Fehler wieder, ich
> > zerpflücke das jetzt nicht, sondern warte auf die
> > korrigierte Version, bei welcher man dann hoffentlich nur
> > noch nicken muß.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> Hoffe ich auch!
>
> Konnte leider erst jetzt wieder antworten, hatte viel zu
> tun die letzten Tage.
>
> Mfg,
> Christoph
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