Basis finden < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Di 18.05.2010 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | | Seien [mm] v_{1}=\vektor{2 \\ -1 \\ 3 \\ 0}, v_{2}=\vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 0} \in \IR^{4}. [/mm] Zeige, dass [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] ein linear unabhängiges System von Vektoren von [mm] \IR^{4} [/mm] ist, und ergänze es zu einer Basis von [mm] \IR^{4}. [/mm] |
Die lineare Unabhängigkeit war schnell gezeigt, aber beim finden der Basis habe ich noch Probleme.
Gesucht sind ja zwei weitere Vektoren [mm] v_{3} [/mm] und [mm] v_{4}, [/mm] die zusammen mit [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] linear unabhängig und gleichzeitig ein Erzeugendensystem von [mm] \IR^{4} [/mm] sind.
Muss ich hier jetzt geschickt einen der beiden Vektoren "raten" und dann den zweiten dazu passend ausrechnen?
Ich hatte das ganze mal mit [mm] v_{3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] versucht und [mm] v_{4} =\vektor{a \\ b \\ c \\ d} [/mm] gesetzt. Dann versucht das daraus entstehende Gleichungssystem für die lineare Unabhägigkeit zu lösen und hinterher Werte für a,b,c,d einzusetzen. (Habe den Ansatz aus einer anderen Aufgabe hier im Forum, allerdings war dort nur 1 weiterer Vektor gesucht)
Allerdings hänge ich hier jetzt fest. Ist mein Ansatz mit dem gewählten [mm] v_{3} [/mm] richtig? Nach was genau muss ich das LGS auflösen und kann ich beliebige Werte für a,b,c,d einsetzen?
|
|
| |
|
> Seien [mm]v_{1}=\vektor{2 \\ -1 \\ 3 \\ 0}, v_{2}=\vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 0} \in \IR^{4}.[/mm]
> Zeige, dass [mm](v_{1},v_{2})[/mm] ein linear unabhängiges System
> von Vektoren von [mm]\IR^{4}[/mm] ist, und ergänze es zu einer
> Basis von [mm]\IR^{4}.[/mm]
> Die lineare Unabhängigkeit war schnell gezeigt, aber beim
> finden der Basis habe ich noch Probleme.
> Gesucht sind ja zwei weitere Vektoren [mm]v_{3}[/mm] und [mm]v_{4},[/mm] die
> zusammen mit [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] linear unabhängig und
> gleichzeitig ein Erzeugendensystem von [mm]\IR^{4}[/mm] sind.
> Muss ich hier jetzt geschickt einen der beiden Vektoren
> "raten" und dann den zweiten dazu passend ausrechnen?
Hallo,
man kann das verschieden machen.
Der Basisaustauschsatz garantiert einem, daß man in der Standardbasis des [mm] \IR^4 [/mm] zwei der Vektoren durch [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] so ersetzen kann, daß man eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] behält.
Andersrum: Du kannst [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] mit zwei Standardbasisvektoren zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen - Du mußt bloß noch rausfinden, durch welche.
> Ich hatte das ganze mal mit [mm]v_{3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> versucht
Ja, der hüpft einem wirklich in den Arm.
Nun könntest Du probieren, welcher der anderen paßt.
Du kannst aber auch so vorgehen:
Lege [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] in eine Matrix, bring sie auf Zeilenstufenform.
Nun schiebst Du "liegende" Einheitsvektoren so ein, daß Du den Rang 4 erhältst.
Wiederaufgerichtet sind dies die Vektoren, mit denen Du [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen kannst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Di 18.05.2010 | | Autor: | stk66 |
Ich habe jetzt [mm] v_{3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] v_{4}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] gewählt.
Daraus ergibt sich folgende Matrix: [mm] \pmat{ 2 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 } \to \pmat{ 1 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 }.
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0 \Rightarrow (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}) [/mm] sind linear unabhängig.
Korrekt?
|
|
|
| |
|
Hallo,
ja, richtig.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
