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| Aufgabe | | Seien [mm]\{\tilde e_{1}, ...,\tilde e_{k}\}\in \tilde V[/mm] dem Dualraum von V. Dann bilden die Elemente [mm] \tilde e_{i_{1}}\wedge ...\wedge \tilde e_{i_{p}}, 1\le i_{1}<... |
Hallo zusammen!
Also meine Frage bezieht sich auf den Beweis des obigen Satzes. Den kann ich eigentlich ganz gut nachvollziehen, bis ich zu folgender Zeile komme:
Sei [mm]1\le i_{1}<...
[mm] (\{e_{j_{1}},..., e_{j_{p}}\} [/mm] Basis von V)
Warum? Kann mir das jemand erklären?
Gruß
Deuterinomium
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Sa 22.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Was genau verstehst du nicht?
Warum [mm](\tilde e_{i_{1}}\wedge ...\wedge \tilde e_{i_{p}})(e_{j_{1}},..., e_{j_{p}})=\det(\tilde e_{i_{\nu}}(e_{j_{\mu}}))[/mm] ist?
Oder warum das 1 ist, wenn [mm]( i_{1},...,i_{p})= (j_{1},...,j_{p})[/mm], andernfalls 0?
Das ergibt sich aus
[mm](\tilde e_{i_{1}}\wedge ...\wedge \tilde e_{i_{p}})(e_{j_{1}},..., e_{j_{p}})=\det(\tilde e_{i_{\nu}}(e_{j_{\mu}})) = \det(\delta_{i_\nu j_\mu})[/mm]
Wenn [mm]( i_{1},...,i_{p})= (j_{1},...,j_{p})[/mm] ist, ist das die Determinante der Einheitsmatrix. Wenn nicht, hast du mindestens eine Spalte in der Matrix, die aus lauter Nullen besteht.
Viele Grüße
Rainer
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Hi, danke schon mal.
Meine Frage ist: Warum sind die Vektoren dann linear unabhängig?
Gruß Deuterinomium
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 So 23.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Meine Frage ist: Warum sind die Vektoren dann linear
> unabhängig?
Stell doch die Bedingung für lineare Unabhängigkeit auf: wenn ich die genannten Elemente des Dualraums [mm](\tilde e_{i_{1}}\wedge ...\wedge \tilde e_{i_{p}})[/mm] mit [mm]\tilde v_i[/mm] abkürze:
[mm]\summe \lambda_{i} \tilde v_i = 0 \implies \forall i:\lambda_i= 0[/mm]
Jetzt wende die linke Seite der Reihe nach auf [mm](e_{j_{1}},..., e_{j_{p}})[/mm] an: in jedem Fall bleibt nur eines der [mm]\lambda_i[/mm] stehen.
Viele Grüße
Rainer
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