Basis im VR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über [mm] K,(b_j)_{j \in I} [/mm] eine Basis von V, [mm] (b_j)_{j \in J} [/mm] dieser Basis (also J [mm] \subseteq [/mm] I), und [mm] U:=<(b_j)_{j \in J}> [/mm] der in dieser von V erzeugte Untervektorraum. Zeigen Sie, dass [mm] (b_j+U)_{j \in I\J} [/mm] eine Basis von V/U ist.
Wenn Sie wollen, können sie sich auf den Fall [mm] dimV<\infty [/mm] beschränken. |
Hallo ihr Lieben,
ich sitze schon eine Weile an der oben stehenden Aufgabe und komme einfach nicht voran... Mein Problem ist, dass ich mir nicht wirklich vrstellen kann, was das zum einen alles bedeutet, und was ich zeigen muss.
Soweit ich das richtig verstehe ist [mm] b_j [/mm] mit j [mm] \in [/mm] I eine Basis des VR V und [mm] b_j [/mm] mit j [mm] \in [/mm] J ist eine Teilfamilie dieser Basis; aber was genau bedeutet das, handelt es sich einfach um eine "Teilmenge"??
U ist ein Untervektorraum, welcher durch die Basis erzeugt wird, ja??
Aber was ist das: [mm] (b_j+U)_{j \in I\J}?? [/mm] Die Basis (oder die Teilmenge?) plus den UVR ergibt eine Basis von V/U???--> dieser Teil hinterlässt mei mit fast ausschließlich Fragezeichen, kann mir das jemand erklären??
[mm] dimV<\infty [/mm] bedeutet ja soviel vie "endlich", das verstehe ich dann wieder..
Wäre super, wenn ihr mit helfen könntet. Vielen Dank schon mal.
LG
pythagora
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> Sei V ein Vektorraum über [mm]K,(b_j)_{j \in I}[/mm] eine Basis von
> V, [mm](b_j)_{j \in J}[/mm] dieser Basis (also J [mm]\subseteq[/mm] I), und
> [mm]U:=<(b_j)_{j \in J}>[/mm] der in dieser von V erzeugte
> Untervektorraum. Zeigen Sie, dass [mm](b_j+U)_{j \in I \ J}[/mm] eine
> Basis von V/U ist.
> Wenn Sie wollen, können sie sich auf den Fall [mm]dimV<\infty[/mm]
> beschränken.
> Hallo ihr Lieben,
> ich sitze schon eine Weile an der oben stehenden Aufgabe
> und komme einfach nicht voran... Mein Problem ist, dass ich
> mir nicht wirklich vrstellen kann, was das zum einen alles
> bedeutet, und was ich zeigen muss.
Hallo,
Voraussetzung ist erstmal, daß Du weißt, was zu einem VR V mit UR U der Raum V/U ist,
welche Elemente da drin liegen und mit welchen verknüpfungen V/U ein Vektorraum ist.
>
> Soweit ich das richtig verstehe ist [mm]b_j[/mm] mit j [mm]\in[/mm] I eine
> Basis des VR V und [mm]b_j[/mm] mit j [mm]\in[/mm] J ist eine Teilfamilie
> dieser Basis; aber was genau bedeutet das, handelt es sich
> einfach um eine "Teilmenge"??
Ja. Du hast eine Basis des V, aus dieser ist ein Teil herausgegriffen, welcher Dir den UVR U aufspannt.
Da ausdrücklich erlaubt ist, daß man endlicher VRe betrachtet, sollten wir doch von diesem freundlichen Angebot Gebrauch machen.
Wir gehen obdA davon aus, daß [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] eine Basis von V ist und [mm] (b_{k+1},...,b_n), k\le [/mm] n eine Basis von U.
>
> U ist ein Untervektorraum, welcher durch die Basis erzeugt
> wird, ja??
Durch die Teilmenge.
>
> Aber was ist das: [mm] (b_j+U)_{j \in I\J}??
[/mm]
Das ist die Familie von Vektoren, welche mit unseren Benennungen die k Vektoren (= Elemente eines Vektorraumes)
[mm] b_1+U, b_2+U,..., b_k+U [/mm]
enthält.
Von dieser sollst Du zeigen, daß es eine Basis von V/U ist.
Gruß v. Angela
> Die Basis (oder die
> Teilmenge?) plus den UVR ergibt eine Basis von V/U???-->
> dieser Teil hinterlässt mei mit fast ausschließlich
> Fragezeichen, kann mir das jemand erklären??
>
> [mm]dimV<\infty[/mm] bedeutet ja soviel vie "endlich", das verstehe
> ich dann wieder..
>
> Wäre super, wenn ihr mit helfen könntet. Vielen Dank
> schon mal.
>
> LG
> pythagora
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Hallo, danke für die Antwort,
> Voraussetzung ist erstmal, daß Du weißt, was zu einem VR
> V mit UR U der Raum V/U ist,
> welche Elemente da drin liegen und mit welchen
> verknüpfungen V/U ein Vektorraum ist.
V/U kenne ich noch vom Thema Klassen, da waren es Restklassen; bei Vektroräumen sind es doch wohl etwa nicht Rest-VR (V ohne U oder sowas), oder???
> Wir gehen obdA davon aus, daß [mm](b_1,...,b_n)[/mm] eine Basis von
> V ist und [mm](b_{k+1},...,b_n), k\le[/mm] n eine Basis von U.
Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso [mm] (b_{k+1},...,b_n), [/mm] k [mm] \le [/mm] n gilt; wie komme ich darauf?? bzw. wie bist du darauf gekommen?? Also: WIESO gilt das??
> >
> > Aber was ist das: [mm](b_j+U)_{j \in I\J}??[/mm]
>
> Das ist die Familie von Vektoren, welche mit unseren
> Benennungen die k Vektoren (= Elemente eines Vektorraumes)
>
> [mm]b_1+U, b_2+U,..., b_k+U[/mm]
ok, und die [mm] b_1....b_n [/mm] sind dann aus der Basis von V, ja? und U ist der URV, d.h. ich Addiere ein Element aus dem UVR mit einem Element der Basis???? Wieso das denn?? hast das was mit V/U zu tun?
Danke.
LG
pythagora
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Auch hier kann ich Dir nur den Rat geben: freunde Dich schnellstens mit dem Begriff
"Quotientenraum / Faktorraum"
an:
http://www.informatik.uni-bremen.de/~michaelh/Lehrveranstaltungen/LinA1_WS05/Quotientenraum.pdf
FRED
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Hey, auch hier danke für die Links und die Antwort, was ich weiß, also aus meinen Erinnerungen und dem Skript ist, dass Faktorräume Nebenklassen als Elemente beinhalten. Ich stimmt doch, dass ich ein Element aus V zu allen Elementen des UVR addiere, ja?
Es gilt ja dimV=dimU+dim V/U--> ist V/U also V ohne U?
LG
pythagora
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> Es gilt ja dimV=dimU+dim V/U--> ist V/U also V ohne U?
>
> LG
> pythagora
Hallo,
Mathematik ist kein Ratespiel, und wenn Du in diesem Stile weiterarbeitest, wirst Du eine gewaltige Bauchlandung machen.
(Das ist nicht soooo schlimm - man kann ja aufstehen und es erneut etwas anders versuchen, aber wehtun tut's, und es hält etwas auf, auch wenn man was fürs Leben gelernt hat.)
Du kommst in der Mathematik mit Halbwissen und einem Talent zu lullendem Gelaber nicht weiter. Wenn man das will, dann gibt es andere Studienfächer.
Du mußt die Definitionen kennen, damit Du weißt, über was geredet wird.
V/U ist also nicht V ohne U. (Das ist echt grausam zu lesen gewesen.)
Das kann ja schon deshalb nicht sein, weil man überall lesen kann, daß V/U ein Vektorraum ist.
V/U ist eine Menge, deren Elemente gewisse Mengen sind. Welche?
Zusammen mit den einschlägigen Verknüpfungen (nachlesen) ist V/U ein Vektorraum. (Zeigen).
Und wenn das soweit klar ist, kann man sich an die Aufgabe machen.
Alles, was man vorher tut, ist Zeitverschwendung.
Gruß v. Angela
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Hallo, danke für die Reaktion,
aber so langsam verstehen wir uns, glaube ich^^:
> Du mußt die Definitionen kennen, damit Du weißt, über
> was geredet wird.
Die Definitionen kenne ich, dazu hat Gott ja das Internet und das Skipt zur Lesung in die Welt gerufen^^.
Mein Problem ist aber, dass ich nicht nur die definitionen anwenden möchte, sondern auch verstehen will wie die überhaupt zustande kommen und was das (vllt. anschaulich) bedeutet.
> V/U ist also nicht V ohne U. (Das ist echt grausam zu lesen
> gewesen.)
War für mich auch grausam zu schreiben^^, ich möchte gerne eine Erklärung, bei der ich nicht soviel mit definitionen üm mich (und andere) werfen muss. Ich würde es auch gerne Jemandem erklären können, ohne dabei Definitionen, und Fachbegriffe verwenden zu müssen...
> V/U ist eine Menge, deren Elemente gewisse Mengen sind.
> Welche?
V/U ist die Menge aller Nebenklassen (in der VL auch als Restklassen modulo U in V bezeichnet). Die Menge besteht aus den Elemente, welche aus der Addition eines Elements aus V mit allen Elemnten aus dem Unterraum von V hervorgehen. Die Add ist def als (a+U,b+U)--> (a+b)+U, und multipl.:
[mm] (\alpha,a+U)--> \alpha [/mm] a+U
V/U ist also ein K-VR unter diesen beiden Kritereien
definitionen raussuchen und verstehen ist wirklich nicht mein problem, aber halt die anschaulichkeit...
Oder denke ich da falsch?? Muss es gar nicht zwingend immer anschaulich sein??
LG
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, danke für die Reaktion,
> aber so langsam verstehen wir uns, glaube ich^^:
>
> > Du mußt die Definitionen kennen, damit Du weißt, über
> > was geredet wird.
> Die Definitionen kenne ich, dazu hat Gott ja das Internet
> und das Skipt zur Lesung in die Welt gerufen^^.
... dass Gott das Internet in die Welt gerufen hat, bezweifle ich und das Skript hat Dein Dozent in die Welt gerufen
> Mein Problem ist aber, dass ich nicht nur die definitionen
> anwenden möchte, sondern auch verstehen will wie die
> überhaupt zustande kommen und was das (vllt. anschaulich)
> bedeutet.
> > V/U ist also nicht V ohne U. (Das ist echt grausam zu lesen
> > gewesen.)
> War für mich auch grausam zu schreiben^^, ich möchte
> gerne eine Erklärung, bei der ich nicht soviel mit
> definitionen üm mich (und andere) werfen muss. Ich würde
> es auch gerne Jemandem erklären können, ohne dabei
> Definitionen, und Fachbegriffe verwenden zu müssen...
Das ist in der Mathematik fast unmöglich
>
> > V/U ist eine Menge, deren Elemente gewisse Mengen sind.
> > Welche?
> V/U ist die Menge aller Nebenklassen (in der VL auch als
> Restklassen modulo U in V bezeichnet). Die Menge besteht
> aus den Elemente, welche aus der Addition eines Elements
> aus V mit allen Elemnten aus dem Unterraum von V
> hervorgehen. Die Add ist def als (a+U,b+U)--> (a+b)+U, und
> multipl.:
> [mm](\alpha,a+U)--> \alpha[/mm] a+U
Na also
> V/U ist also ein K-VR unter diesen beiden Kritereien
............. beser : unter diesen beiden Verknüpfungen
> definitionen raussuchen und verstehen ist wirklich nicht
> mein problem, aber halt die anschaulichkeit...
> Oder denke ich da falsch?? Muss es gar nicht zwingend
> immer anschaulich sein??
Muss es nicht
FRED
>
> LG
> pythagora
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Hey,
> ... dass Gott das Internet in die Welt gerufen hat,
> bezweifle ich und das Skript hat Dein Dozent in die Welt
> gerufen
kommt drauf an wie Gott definiert ist^^ Aber Spaß beiseite...
> > definitionen raussuchen und verstehen ist wirklich nicht
> > mein problem, aber halt die anschaulichkeit...
> > Oder denke ich da falsch?? Muss es gar nicht zwingend
> > immer anschaulich sein??
>
> Muss es nicht
also kann ich darauf schließen, dass ich trotz mangelnder anschaulichkeit, was in den fragen von eben so die Haupt-Frage war zurecht komme und mir daher um diesen (teilweisen) Mangel an vorstllung keine Sorgen machen muss?!?!
Und inwiefern gehe ich jetzt an diese Aufg. ran. Mit den beiden Kritierien??
LG
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hey,
>
> > ... dass Gott das Internet in die Welt gerufen hat,
> > bezweifle ich und das Skript hat Dein Dozent in die Welt
> > gerufen
> kommt drauf an wie Gott definiert ist
Da wird Gott aber viel Spaß daran haben, wenn er (sie) erfährt, dass der Mensch versucht ihn (sie) zu definieren
> ^^ Aber Spaß
> beiseite...
>
> > > definitionen raussuchen und verstehen ist wirklich nicht
> > > mein problem, aber halt die anschaulichkeit...
> > > Oder denke ich da falsch?? Muss es gar nicht
> zwingend
> > > immer anschaulich sein??
> >
> > Muss es nicht
> also kann ich darauf schließen, dass ich trotz mangelnder
> anschaulichkeit, was in den fragen von eben so die
> Haupt-Frage war zurecht komme und mir daher um diesen
> (teilweisen) Mangel an vorstllung keine Sorgen machen
> muss?!?!
jedenfalls keine gr0ßen
>
> Und inwiefern gehe ich jetzt an diese Aufg. ran. Mit den
> beiden Kritierien??
Schritt für Schritt. Zeige zunächst mal, dass $ [mm] (b_j+U)_{j \in I \ J} [/mm] $ eine linear unabhängige Menge ist
FRED
>
> LG
> pythagora
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Do 21.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Hey,
> > > ... dass Gott das Internet in die Welt gerufen hat,
> > > bezweifle ich und das Skript hat Dein Dozent in die Welt
> > > gerufen
> > kommt drauf an wie Gott definiert ist
>
> Da wird Gott aber viel Spaß daran haben, wenn er (sie)
> erfährt, dass der Mensch versucht ihn (sie) zu definieren
Und Spaß ist doch was schönes... Und ich bin sicher er würde sich freuen, wenn die Menschen aktiv sind, sein Wewrk würde funktionieren^^
> Schritt für Schritt. Zeige zunächst mal, dass [mm](b_j+U)_{j \in I\J}[/mm]
> eine linear unabhängige Menge ist
Ok, bei l.u. sollen die Koeffizienten [mm] \alpha [/mm] ja alle null sein, ja? bei [mm] (b_j+U)_{j \in I\J} [/mm] =0 setze ich da nun koeffizienten vor??
LG
pythagora
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Hallo,
vielen dank für eure Hilfe soweit. Bin gerade wieder zurück von der Uni und habe mir auf dem Rückweg noch ein paar Gedanken gemacht:
> > Schritt für Schritt. Zeige zunächst mal, dass [mm](b_j+U)_{j \in I\J}[/mm]
> > eine linear unabhängige Menge ist
Also wenn ich zeigen soll, dass [mm] (b_j+U)_{j \in I\J} [/mm] l.u. ist, dann geght das so:
[mm] \summe_{j=1}^{n}(b_j+U)=0 [/mm] , so würde ich anfangen, aber irgendwie hatte ich bei den anderen Beweisen immer Koeffizienten noch dazugesetzt, die ja alle 0 seim müssen, damit es l.u. ist. Sieht das dann so aus:
[mm] \summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*(b_j+U))=0
[/mm]
mit [mm] \alpha_1 =...=\alpha_j=0, [/mm] soweit wüsste das ja passen, oder??
Leider komme ich von da an nicht weiter, soll ich das irgendwie weiter umformen oder benötige ich noch eine weitere Definition??
Ich hab das ganze derweil mal ein bisschen weiterumgeformt:
[mm] \summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*(b_j+U))=0
[/mm]
per def gilt: [mm] \alpha *(v+U)=\alpha [/mm] *v+U
also:
[mm] \summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*b_j+U)=0
[/mm]
-->U+ [mm] \summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*b_j)=0
[/mm]
oder?? aber hier komme ich nun wirklich nicht mehr weiter, was muss ich jetzt machen?? Ein klitzekleiner Tipp wäre super^^.
LG
pythagora
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> Hallo,
> vielen dank für eure Hilfe soweit. Bin gerade wieder
> zurück von der Uni und habe mir auf dem Rückweg noch ein
> paar Gedanken gemacht:
> > > Schritt für Schritt. Zeige zunächst mal, dass
> [mm](b_j+U)_{j \in I\J}[/mm]
> > > eine linear unabhängige Menge ist
Hallo,
das ist eine gute Idee.
> Also wenn ich zeigen soll, dass [mm](b_j+U)_{j \in I\J}[/mm] l.u.
> ist, dann geght das so:
> [mm]\summe_{j=1}^{n}(b_j+U)=0[/mm] , so würde ich anfangen,
Schlechte Idee.
> aber
> irgendwie hatte ich bei den anderen Beweisen immer
> Koeffizienten noch dazugesetzt, die ja alle 0 seim müssen,
> damit es l.u. ist.
Genau. Weil die Definition der linearen Unabhängigkeit von n Vektoren nämlich so ist.
> Sieht das dann so aus:
> [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*(b_j+U))=\red{0}.[/mm]
> mit [mm]\alpha_1 =...=\alpha_j=0,[/mm] soweit wüsste das ja
> passen, oder??
Die Zutaten sind richt, nun muß die Zubereitung des Gerichtes auch noch stimmen.
Du mußt zeigen, daß aus [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*(b_j+U))=0[/mm] folgt, daß alle [mm] a_i=0 [/mm] sind.
Nachzudenken ist zuvor noch über die rote Null.
Was ist das eigentlich. Es ist nämlich nicht die reelle Zahl 0.
> Leider komme ich von da an nicht weiter, soll ich das
> irgendwie weiter umformen oder benötige ich noch eine
> weitere Definition??
Jetzt mußt Du die Verknüpfungen des VRes V/U kennen und die Summe schreiben als (....)+U.
Achso, tust Du ja schon:
>
> Ich hab das ganze derweil mal ein bisschen
> weiterumgeformt:
> [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*(b_j+U))=0[/mm]
> per def gilt: [mm]\alpha *(v+U)=\alpha[/mm] *v+U
> also:
> [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*b_j+U)=0[/mm]
> -->U+ [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*b_j)=0[/mm]
Wir schreiben lieber [mm] \summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*b_j)+U=0.
[/mm]
> oder?? aber hier komme ich nun wirklich nicht mehr weiter.
> was muss ich jetzt machen?? Ein klitzekleiner Tipp wäre
> super^^.
Ich gab' ihn oben schon, und wiederhole ihn: was ist mit der Null gemeint?
Gruß v. Angela
>
> LG
> pythagora
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Hallo,
> > Sieht das dann so aus:
> > [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*(b_j+U))=\red{0}.[/mm]
> > mit [mm]\alpha_1 =...=\alpha_j=0,[/mm] soweit wüsste das ja
> > passen, oder??
>
> Die Zutaten sind richt, nun muß die Zubereitung des
> Gerichtes auch noch stimmen.
>
> Du mußt zeigen, daß aus
> [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*(b_j+U))=0[/mm] folgt, daß alle [mm]a_i=0[/mm]
> sind.
>
> Nachzudenken ist zuvor noch über die rote Null.
> Was ist das eigentlich. Es ist nämlich nicht die reelle
> Zahl 0.
Ich dachte es wäre der Nullvektor, wir haben den Immer so geschrieben, oder ist eine andere Schreibweise besser??
Denn weil [mm] b_j [/mm] ein Vektor ist und in U sind ja auch Vektoren drin, [mm] \alpha [/mm] ist ein Skalar, müsste ja durch add und skalare mult auch wieder ein Vektor herauskommen, ja??
> > Leider komme ich von da an nicht weiter, soll ich das
> > irgendwie weiter umformen oder benötige ich noch eine
> > weitere Definition??
>
> Jetzt mußt Du die Verknüpfungen des VRes V/U kennen und
> die Summe schreiben als (....)+U.
>
> Achso, tust Du ja schon:
> >
> > Ich hab das ganze derweil mal ein bisschen
> > weiterumgeformt:
> > [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*(b_j+U))=0[/mm]
> > per def gilt: [mm]\alpha *(v+U)=\alpha[/mm] *v+U
> > also:
> > [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*b_j+U)=0[/mm]
> > -->U+ [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*b_j)=0[/mm]
>
> Wir schreiben lieber [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*b_j)+U=0.[/mm]
>
> > oder?? aber hier komme ich nun wirklich nicht mehr
> weiter.
>
> > was muss ich jetzt machen?? Ein klitzekleiner Tipp wäre
> > super^^.
>
> Ich gab' ihn oben schon, und wiederhole ihn: was ist mit
> der Null gemeint?
LG
pythagora
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> > Du mußt zeigen, daß aus
> > [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*(b_j+U))=0[/mm] folgt, daß alle [mm]a_i=0[/mm]
> > sind.
> >
> > Nachzudenken ist zuvor noch über die rote Null.
> > Was ist das eigentlich. Es ist nämlich nicht die reelle
> > Zahl 0.
> Ich dachte es wäre der Nullvektor, wir haben den Immer so
> geschrieben, oder ist eine andere Schreibweise besser??
Die Schreibweise ist schon okay. Bloß man muß wissen, was sich dahinter verbirgt.
Ich schreibe auch die 6 Buchstaben "Angela", das stimmt auch, daß ich Angela bin, und Du weißt trotzedem fast nichts über mich.
Wenn Du Dich allerdings anstrengst, findest Du doch so dies und das raus.
Also strengen wir uns für die Null mal ein bißchen an.
> Denn weil [mm]b_j[/mm] ein Vektor ist und in U sind ja auch
> Vektoren drin, [mm]\alpha[/mm] ist ein Skalar, müsste ja durch add
> und skalare mult auch wieder ein Vektor herauskommen, ja??
Nein.
Es ist zwar so, daß die [mm] b_j [/mm] Elemente von V sind, also Vektoren des Raumes V,
und es stimmt auch, daß die Elemente von U gleichzeitig Elemente von V sind, also Vektoren des Vektorraumes V.
Aber in der Aufgabe addierst Du keine Elemente des VRes V, sondern Du addierst Elemente des Vektorraumes V/U, also Vektoren dieses Raumes.
Und die sind von völlig anderer Machart, nämlich mengen der gestalt v+U.
Entsprechend ist auch die Null dieses Raumes von solch einer Machart.
Wir reden also über den Nullvektor in V/U, deshalb schreibt man manchmal auch [mm] 0_{V/U}.
[/mm]
Tja, und nun mußt Du mal überlegen oder nachlesen, welches das neutrale Element bzgl. der Addition in V/U ist.
Gruß v. Angela
> > > Leider komme ich von da an nicht weiter, soll ich das
> > > irgendwie weiter umformen oder benötige ich noch eine
> > > weitere Definition??
> >
> > Jetzt mußt Du die Verknüpfungen des VRes V/U kennen und
> > die Summe schreiben als (....)+U.
> >
> > Achso, tust Du ja schon:
> > >
> > > Ich hab das ganze derweil mal ein bisschen
> > > weiterumgeformt:
> > > [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*(b_j+U))=0[/mm]
> > > per def gilt: [mm]\alpha *(v+U)=\alpha[/mm] *v+U
> > > also:
> > > [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*b_j+U)=0[/mm]
> > > -->U+ [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*b_j)=0[/mm]
> >
> > Wir schreiben lieber [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j*b_j)+U=0.[/mm]
> >
> > > oder?? aber hier komme ich nun wirklich nicht mehr
> > weiter.
> >
> > > was muss ich jetzt machen?? Ein klitzekleiner Tipp wäre
> > > super^^.
> >
> > Ich gab' ihn oben schon, und wiederhole ihn: was ist mit
> > der Null gemeint?
> LG
> pythagora
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Hallo,
ich bin noch mal ein bisschen in meinem Skript unterwegs gewesen, wegen:
> Wir reden also über den Nullvektor in V/U, deshalb
> schreibt man manchmal auch [mm]0_{V/U}.[/mm]
> Tja, und nun mußt Du mal überlegen oder nachlesen,
> welches das neutrale Element bzgl. der Addition in V/U
Vielleicht die Null (bzw. der Nullvektor) , denn: 0+U=U!?!!?
Bringt mich das bezüglich [mm] \summe_{j=1}^{n}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=0 [/mm] weiter?? Gemäß dem Fall, dass das mit der Null hinkommt, würde ich dann [mm] (\alpha_j\cdot{}b_j)=0 [/mm] setzen? Aber dann komme ich doch auf U=0 oder??
Noch mal zum Skript:
die Nebenklassen v+U bilden ja einen VR und zwar den VR V/U, ja? aber die sind selbst doch keine Unterräume von V (laut skript), habe ich das richtig veratnden? Nennt man die dann affine Unterräume, ja? Komme ich da vielleicht weiter? oder ist der obere teil schon der richtige weg?
LG
pythagora
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> Hallo,
> ich bin noch mal ein bisschen in meinem Skript unterwegs
> gewesen, wegen:
>
> > Wir reden also über den Nullvektor in V/U, deshalb
> > schreibt man manchmal auch [mm]0_{V/U}.[/mm]
> > Tja, und nun mußt Du mal überlegen oder nachlesen,
> > welches das neutrale Element bzgl. der Addition in V/U
> Vielleicht die Null (bzw. der Nullvektor) , denn:
> 0+U=U!?!!?
Hallo,
die Begründung stimmt mch nochj nicht so ganz fröhlich (aber ich muß ja auch nicht den ganzen Tag lachen), die Tatsache stimmt: der Nullvektor in V/U ist U
> Bringt mich das bezüglich
> [mm]\summe_{j=1}^{n}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=0[/mm] weiter??
Wenn man es richtig macht, dann ja.
>Gemäß
> dem Fall, dass das mit der Null hinkommt, würde ich dann
> [mm](\alpha_j\cdot{}b_j)=0[/mm] setzen?
Nein. Wenn überhaupt, dann ja sowieso die Summe. Jedoch:
aus [mm] u_1+U=u_2+U [/mm] folgt nicht [mm] u_1=u_2, [/mm] ich hoffe, Du erinnerst Dich hieran, und auch daran, was folgt.
Also:
wenn [mm] ]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U, [/mm] was gilt dann für die Summe?
> Aber dann komme ich doch auf
> U=0 oder??
???
U ist ein Unterraum von V. Der ist fest vorgegeben. Für den kann sich nichts ergeben.
Aber es wäre sicher sinnvoll, Dir nochmal zu vergegenwärtigen, was die Basis von U, was die von V waren, und warum auf der Summe rot das k steht.
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> Noch mal zum Skript:
> die Nebenklassen v+U bilden ja einen VR und zwar den VR
> V/U, ja?
Ja.
> aber die sind selbst doch keine Unterräume von V
> (laut skript), habe ich das richtig veratnden?
Ja. (Genau wie [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] kein UVR vom [mm] \IR^3 [/mm] ist, sondern ein Element dieses Raumes.)
> Nennt man
> die dann affine Unterräume, ja?
Das kann man tun, ja. Und man tut es in gewissen Zusammenhängen.
> Komme ich da vielleicht
> weiter?
Nein. Das Wissen um affine Räume bringt Dir hier überhaupt nichts - ich fürchte sogar, daß es Dich vom Wesentlichen ablenkt.
Gruß v. Angela
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Hallo,
> die Begründung stimmt mch nochj nicht so ganz fröhlich
> (aber ich muß ja auch nicht den ganzen Tag lachen), die
> Tatsache stimmt: der Nullvektor in V/U ist U
Ok, das ist gut. Hast recht, die begründung von mir ist wirklich murks, wie kann ich das denn anders begründen?? Oder ist da ein formaler beweis nötig/machbar??
>
> aus [mm]u_1+U=u_2+U[/mm] folgt nicht [mm]u_1=u_2,[/mm] ich hoffe, Du
> erinnerst Dich hieran, und auch daran, was folgt.
[mm] u_1+U=u_2+U
[/mm]
[mm] -->(u_1+U)-(u_2+U)=0
[/mm]
[mm] -->(u_1-u_2)+U=0
[/mm]
so richtig??
>
> Also:
>
> wenn [mm]]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U,[/mm] was
> gilt dann für die Summe?
vielleiht so:
[mm] \summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U [/mm] |-U
[mm] =\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)=0
[/mm]
?? aber ich muss ja irgendwie darauf kommen, dass die [mm] \alpha [/mm] l.u. sind und hierbei könnte es ja immernoch sein, dass es [mm] \alpha [/mm] gibt, durch die ich trotzdem nachher in der summe auf 0 komme.... aber ich soll ja l.u. zeigen, wie schließe ich das also aus, bzw. wie "errechne" ich, dass alle [mm] \alpha [/mm] 0 sein müssen??
> U ist ein Unterraum von V. Der ist fest vorgegeben. Für
> den kann sich nichts ergeben.
> Aber es wäre sicher sinnvoll, Dir nochmal zu
> vergegenwärtigen, was die Basis von U, was die von V
> waren, und warum auf der Summe rot das k steht.
Also V hat ja eine oder mehrere Basis/Basen und da U ein Unterraum von V ist, so hat auch U eine Basis und zwar eine/mehrere (oder alle?? da bin ich mir jetzt nicht ganz sicher) der Basen von V. Immerhin werden ja die Einegnschaften von V auf den Unterraum U übertagen.. deshalb müssten doc einegtlich auch die Basen ... oder (da bin ich mir jetzt halb sicher mit der Begründung, aber sie müssten schon irgendwie die gleichen Basen haben, da U ja in V liegt)..
Das mit dem k verstehe ich aber leider nicht, was du da meinst!?!?
LG
pythagora
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:45 Fr 22.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Hallo,
> Das mit dem k verstehe ich aber leider nicht, was du da
> meinst!?!?
ich hab noch mal meine Notizen gelesen, meinst du mit k die anzahl der Vektoren?? (ich hab das nämlich bei mit als n, daehr verwirrt^^.
Stimmt das??
LG
pythagora
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> Hallo,
>
> > die Begründung stimmt mch nochj nicht so ganz fröhlich
> > (aber ich muß ja auch nicht den ganzen Tag lachen), die
> > Tatsache stimmt: der Nullvektor in V/U ist U
> Ok, das ist gut. Hast recht, die begründung von mir ist
> wirklich murks, wie kann ich das denn anders begründen??
> Oder ist da ein formaler beweis nötig/machbar??
Hallo,
er ist natürlich machbar, auch einfach - aber an dieser Stelle nicht nötig.
Vielleicht liest Du ihn Dir erstmal im Buch durch.
Wir halten jetzt einfach mal fest: die Null im Raum V/U ist das Element U.
>
>
> >
> > aus [mm]u_1+U=u_2+U[/mm] folgt nicht [mm]u_1=u_2,[/mm] ich hoffe, Du
> > erinnerst Dich hieran, und auch daran, was folgt.
> [mm]u_1+U=u_2+U[/mm]
> [mm]-->(u_1+U)-(u_2+U)=0[/mm]
> [mm]-->(u_1-u_2)+U=0[/mm]
> so richtig??
Ich weiß nicht. Es kommt drauf an, was Du mit diesem Kringel 0 meinst.
Bedenke: was Du tust, spielt im V/U.
Du hast am Ende also dastehen:
[mm] (u_1-u_2)+U=U,
[/mm]
und das gilt für [mm] u_1-u_2\in [/mm] U.
> >
> > Also:
> >
> > wenn [mm]]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U,[/mm] was
> > gilt dann für die Summe?
> vielleiht so:
> [mm]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U[/mm]
==> [mm] \summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)\in [/mm] U.
Zum k:
Wir hatten die Vektoren doch so gewählt und geordnet, geordnet, daß [mm] (b_1,...b_k, b_{k+1},...,b_n) [/mm] eine Basis von V ist und [mm] (b_{k+1},...,b_n) [/mm] eine von U.
Gruß v. Angela
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Hallo,
> Wir halten jetzt einfach mal fest: die Null im Raum V/U ist
> das Element U.
Meinst du, ich kann das einfach so schreiben, ohne Rechnung/Beweis?
> > > aus [mm]u_1+U=u_2+U[/mm] folgt nicht [mm]u_1=u_2,[/mm] ich hoffe, Du
> > > erinnerst Dich hieran, und auch daran, was folgt.
> > [mm]u_1+U=u_2+U[/mm]
> > [mm]-->(u_1+U)-(u_2+U)=0[/mm]
> > [mm]-->(u_1-u_2)+U=0[/mm]
> > so richtig??
>
> Ich weiß nicht. Es kommt drauf an, was Du mit diesem
> Kringel 0 meinst.
Der Kringeln O wäre dann [mm] O_{V/U}, [/mm] ja??
> [mm](u_1-u_2)+U=U,[/mm]
>
> und das gilt für [mm]u_1-u_2\in[/mm] U.
[mm] u_1-u_2 [/mm] sind also in U, weil, wenn ich sie mit U addiere ich in U lande, oder??
> > >
> > > Also:
> > >
> > > wenn [mm]]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U,[/mm] was
> > > gilt dann für die Summe?
> > vielleiht so:
> > [mm]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U[/mm]
>
>
> ==> [mm]\summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)\in[/mm] U.
ok, aber sollte ich nicht irgendwie die koeffizienten auf 0 bekommen?? Oder blicke ich da grad über irgendwas weg, was schn eine Antwort darauf ist?
LG
pythagora
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> Hallo,
>
> > Wir halten jetzt einfach mal fest: die Null im Raum V/U ist
> > das Element U.
> Meinst du, ich kann das einfach so schreiben, ohne
> Rechnung/Beweis?
Hallo,
ja. Du weißt das, weil Du voll den Peil hast. In VL oder Übung wurde es erwähnt, nämlich dort, wo gezeigt wurde, daß V/U ein VR ist.
>
> > > > aus [mm]u_1+U=u_2+U[/mm] folgt nicht [mm]u_1=u_2,[/mm] ich hoffe, Du
> > > > erinnerst Dich hieran, und auch daran, was folgt.
> > > [mm]u_1+U=u_2+U[/mm]
> > > [mm]-->(u_1+U)-(u_2+U)=0[/mm]
> > > [mm]-->(u_1-u_2)+U=0[/mm]
> > > so richtig??
> >
> > Ich weiß nicht. Es kommt drauf an, was Du mit diesem
> > Kringel 0 meinst.
> Der Kringeln O wäre dann [mm]O_{V/U},[/mm] ja??
>
> > [mm](u_1-u_2)+U=U,[/mm]
> >
> > und das gilt für [mm]u_1-u_2\in[/mm] U.
> [mm]u_1-u_2[/mm] sind also in U, weil, wenn ich sie mit U addiere
> ich in U lande, oder??).
Ja.
>
> > > >
> > > > Also:
> > > >
> > > > wenn [mm]]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U,[/mm] was
> > > > gilt dann für die Summe?
> > > vielleiht so:
> > > [mm]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U[/mm]
> >
> >
> > ==> [mm]\summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)\in[/mm] U.
> ok, aber sollte ich nicht irgendwie die koeffizienten auf
> 0 bekommen?? Oder blicke ich da grad über irgendwas weg,
> was schn eine Antwort darauf ist?
Nein, nein, die Antwort stand noch nicht da.
Überlege Dir, wie die Elemente aus U aussehen.
Vielleicht fällt Dir dann etwas ein.
Richtig überlegen. Ruhig über Nacht.
Gruß v. Angela
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Moin,
> > Hallo,
> >
> > > Wir halten jetzt einfach mal fest: die Null im Raum V/U ist
> > > das Element U.
Dazu habe ich leider nichts im Skript gefunden... Kann ich den Beweis selber machen??
> >
> > > > > aus [mm]u_1+U=u_2+U[/mm] folgt nicht [mm]u_1=u_2,[/mm] ich hoffe, Du
> > > > > erinnerst Dich hieran, und auch daran, was folgt.
> > > > [mm]u_1+U=u_2+U[/mm]
> > > > [mm]-->(u_1+U)-(u_2+U)=0[/mm]
> > > > [mm]-->(u_1-u_2)+U=0[/mm]
> > > > so richtig??
> > >
> > > Ich weiß nicht. Es kommt drauf an, was Du mit diesem
> > > Kringel 0 meinst.
> > Der Kringeln O wäre dann [mm]O_{V/U},[/mm] ja??
> >
> > > [mm](u_1-u_2)+U=U,[/mm]
> > >
> > > und das gilt für [mm]u_1-u_2\in[/mm] U.
> > [mm]u_1-u_2[/mm] sind also in U, weil, wenn ich sie mit U
> addiere
> > ich in U lande, oder??).
>
> Ja.
>
> >
> > > > >
> > > > > Also:
> > > > >
> > > > > wenn [mm]]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U,[/mm] was
> > > > > gilt dann für die Summe?
> > > > vielleiht so:
> > > > [mm]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U[/mm]
> > >
> > >
> > > ==> [mm]\summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)\in[/mm] U.
> > ok, aber sollte ich nicht irgendwie die koeffizienten
> auf
> > 0 bekommen?? Oder blicke ich da grad über irgendwas weg,
> > was schn eine Antwort darauf ist?
>
> Nein, nein, die Antwort stand noch nicht da.
> Überlege Dir, wie die Elemente aus U aussehen.
> Vielleicht fällt Dir dann etwas ein.
> Richtig überlegen. Ruhig über Nacht.
Ok, hab ich gemacht. UVR sind ja definiert als [mm] K*a:={\alpha*a|\alpha \in K, a \in V}
[/mm]
Also haben die Elemente die Form [mm] \alpha*a
[/mm]
[mm] \summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)\in[/mm] [/mm] U
und für U gibt's ja 3 Kriterien, u.a., dass U nicht leer sein darf, also muss sie 0 enthalten sein.
Wenn nun [mm] \alpha_1*a_1+\alpha_2*a_2+...+\alpha_j*a_j \in [/mm] U ist, müsste dann [mm] \alpha_1*a_1+\alpha_2*a_2+...+\alpha_j*a_j=0 [/mm] sein um auch die 0 in U darstellen zu können?? demnach wären doch [mm] \alpha_1=alpha_2=...=\alpha_j=0 [/mm] oder??
Es würde dann gelten:
[mm] \summe_{j=1}^{k}(0*a_j)=0 [/mm] , also alle [mm] \alpha_j [/mm] =0 --> daher wäre das ganze l.u. und eine Basis. Die Bedingung erzeugendensystem dürfte ja schon von der Aufgabenstellung her (<...>) erfüllt sein, oder?
Wenn das so hinhaut, bin ich mir aber nicht ganz sicher, wie das ist wenn die [mm] \alpha_j [/mm] nicht =0 sind und die [mm] \alpha_j [/mm] so gewählt sind,dass sie trotzudem zusammen mit [mm] a_j [/mm] die 0 ergeben,.... das wäre dann ja nicht l.u., aber wie kann ich diesen fall ausscließen??
Soweit meine nächtlichen gedanken... Was meinst du dazu??
LG
pythagora
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> Moin,
> > > Hallo,
> > >
> > > > Wir halten jetzt einfach mal fest: die Null im Raum V/U ist
> > > > das Element U.
> Dazu habe ich leider nichts im Skript gefunden... Kann ich
> den Beweis selber machen??
Hallo,
aber es wird gezeigt, daß V/U ein Vektorraum ist? Dann muß es erwähnt werden.
Aber egal, natürlich kann man das selbstmachen, es ist piepeinfach.
Mach vor, daß U das neutrale Element der Addition ist.
> > >
> > > > > > aus [mm]u_1+U=u_2+U[/mm] folgt nicht [mm]u_1=u_2,[/mm] ich hoffe, Du
> > > > > > erinnerst Dich hieran, und auch daran, was folgt.
> > > > > [mm]u_1+U=u_2+U[/mm]
> > > > > [mm]-->(u_1+U)-(u_2+U)=0[/mm]
> > > > > [mm]-->(u_1-u_2)+U=0[/mm]
> > > > > so richtig??
> > > >
> > > > Ich weiß nicht. Es kommt drauf an, was Du mit diesem
> > > > Kringel 0 meinst.
> > > Der Kringeln O wäre dann [mm]O_{V/U},[/mm] ja??
> > >
> > > > [mm](u_1-u_2)+U=U,[/mm]
> > > >
> > > > und das gilt für [mm]u_1-u_2\in[/mm] U.
> > > [mm]u_1-u_2[/mm] sind also in U, weil, wenn ich sie mit U
> > addiere
> > > ich in U lande, oder??).
> >
> > Ja.
> >
> > >
> > > > > >
> > > > > > Also:
> > > > > >
> > > > > > wenn [mm]]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U,[/mm] was
> > > > > > gilt dann für die Summe?
> > > > > vielleiht so:
> > > > > [mm]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U[/mm]
>
> > > >
> > > >
> > > > ==> [mm]\summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)\in[/mm] U.
> > > ok, aber sollte ich nicht irgendwie die
> koeffizienten
> > auf
> > > 0 bekommen?? Oder blicke ich da grad über irgendwas weg,
> > > was schn eine Antwort darauf ist?
> >
> > Nein, nein, die Antwort stand noch nicht da.
> > Überlege Dir, wie die Elemente aus U aussehen.
> > Vielleicht fällt Dir dann etwas ein.
> > Richtig überlegen. Ruhig über Nacht.
> Ok, hab ich gemacht. UVR sind ja definiert als
> [mm]K*a:={\alpha*a|\alpha \in K, a \in V}[/mm]
Wo hast Du das her?
Das, was da jetzt steht, ist, sofern [mm] a\not=0 [/mm] ein eindimensionaler Unterraum von V.
Also durchaus ein Unterraum, aber nicht gerade sehr allgemein...
> Also haben die
> Elemente die Form [mm]\alpha*a[/mm]
Im eindimensionalen Unterraum ja, aber davon kann hier ja nicht die Rede sein.
> [mm]\summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)\in[/mm][/mm] U
Weiter wissen wir, daß [mm] (b-{k+1},...,b_n) [/mm] eine Basis von U ist.
Also gibt es Koeffizienten [mm] \alpha_{k+1}, [/mm] ..., [mm] \alpha_n [/mm] mit [mm] \summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)=\summe_{j=k+1}^{n}(\alpha_j\cdot{}b_j)
[/mm]
==> ???
Gruß v. Angela
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Hallo,
> aber es wird gezeigt, daß V/U ein Vektorraum ist? Dann
> muß es erwähnt werden.
>
> Aber egal, natürlich kann man das selbstmachen, es ist
> piepeinfach.
>
> Mach vor, daß U das neutrale Element der Addition ist.
Also zu V/U hab ich knapp 3 Seiten im Skript:
- Def von V/U=a+U; a [mm] \in [/mm] V
- def der mult. und add von elemnten
- dimV=dimU+DimV/U
- (v+U)+(w+U)=(v+w)+U sowie [mm] \alpha (v+U)=\alpha [/mm] v+U
- V/ker f [mm] \cong [/mm] im f (homom.satz)
und das war's....
>
> > > >
> > > > > > > aus [mm]u_1+U=u_2+U[/mm] folgt nicht [mm]u_1=u_2,[/mm] ich hoffe, Du
> > > > > > > erinnerst Dich hieran, und auch daran, was folgt.
> > > > > > [mm]u_1+U=u_2+U[/mm]
> > > > > > [mm]-->(u_1+U)-(u_2+U)=0[/mm]
> > > > > > [mm]-->(u_1-u_2)+U=0[/mm]
> > > > > > so richtig??
> > > > >
> > > > > Ich weiß nicht. Es kommt drauf an, was Du mit diesem
> > > > > Kringel 0 meinst.
> > > > Der Kringeln O wäre dann [mm]O_{V/U},[/mm] ja??
> > > >
> > > > > [mm](u_1-u_2)+U=U,[/mm]
> > > > >
> > > > > und das gilt für [mm]u_1-u_2\in[/mm] U.
> > > > [mm]u_1-u_2[/mm] sind also in U, weil, wenn ich sie mit U
> > > addiere
> > > > ich in U lande, oder??).
> > >
> > > Ja.
> > >
> > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Also:
> > > > > > >
> > > > > > > wenn [mm]]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U,[/mm] was
> > > > > > > gilt dann für die Summe?
> > > > > > vielleiht so:
> > > > > >
> [mm]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U[/mm]
> >
> > > > >
> > > > >
> > > > > ==> [mm]\summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)\in[/mm] U.
> > > > ok, aber sollte ich nicht irgendwie die
> > koeffizienten
> > > auf
> > > > 0 bekommen?? Oder blicke ich da grad über irgendwas weg,
> > > > was schn eine Antwort darauf ist?
> > >
> > > Nein, nein, die Antwort stand noch nicht da.
>
> > > Überlege Dir, wie die Elemente aus U aussehen.
> > > Vielleicht fällt Dir dann etwas ein.
> > > Richtig überlegen. Ruhig über Nacht.
> > Ok, hab ich gemacht. UVR sind ja definiert als
> > [mm]K*a:={\alpha*a|\alpha \in K, a \in V}[/mm]
Klammern waren irgendwie weg: so hab ich das gefunden:
K*a:={ [mm] \alpha*a|\alpha \in [/mm] K, a [mm] \in [/mm] V } --> def für lin. UVR, was anders hatten wir nicht und haben such in den Übungen nur damit gearbeitet...
> Wo hast Du das her?
Skript, Lesung, Buch, Übungen, Tutorien ...
> Das, was da jetzt steht, ist, sofern [mm]a\not=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ein
> eindimensionaler Unterraum von V.
> Also durchaus ein Unterraum, aber nicht gerade sehr
> allgemein...
Gibt es denn da was allgemienes ?? hab mal gegoogelt und auch bei wiki find ich nur die 3 kriterien, dass U nicht leer sein darf und die beiden anderen für add und mult. ...
oder meinst du die def aus dem Aufg.blatt: U:= <(a_j)_{j \in J > ??? Kann ich die verwenden??
>
> > Also haben die
> > Elemente die Form [mm]\alpha*a[/mm]
>
> Im eindimensionalen Unterraum ja, aber davon kann hier ja
> nicht die Rede sein.
hmmm....
> > [mm]\summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)\in[/mm][/mm] U
>
> Weiter wissen wir, daß [mm](b-{k+1},...,b_n)[/mm] eine Basis von U
> ist.
>
> Also gibt es Koeffizienten [mm]\alpha_{k+1},[/mm] ..., [mm]\alpha_n[/mm] mit
> [mm]\summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)=\summe_{j=k+1}^{n}(\alpha_j\cdot{}b_j)[/mm]
>
> ==> ???
Ich komme gerade überhaupt nicht weiter und brauche dringend eine idee...
Hast du einen Tipp für mich??
LG
pythagora
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> Hallo,
>
> > aber es wird gezeigt, daß V/U ein Vektorraum ist? Dann
> > muß es erwähnt werden.
> >
> > Aber egal, natürlich kann man das selbstmachen, es ist
> > piepeinfach.
> >
> > Mach vor, daß U das neutrale Element der Addition ist.
> Also zu V/U hab ich knapp 3 Seiten im Skript:
> - Def von V/U=a+U; a [mm]\in[/mm] V
> - def der mult. und add von elemnten
Hier kommt jetzt, daß V/U zusammen mit den beiden Verknüpfungen ein VR ist - das ist allerdings auch als HÜ denkbar
> - dimV=dimU+DimV/U
> - (v+U)+(w+U)=(v+w)+U sowie [mm]\alpha (v+U)=\alpha[/mm] v+U
> - V/ker f [mm]\cong[/mm] im f (homom.satz)
> und das war's....
Ja, dann beweis es eben - man muß sowas eh können.
> >
> > > > >
> > > > > > > > aus [mm]u_1+U=u_2+U[/mm] folgt nicht [mm]u_1=u_2,[/mm] ich hoffe, Du
> > > > > > > > erinnerst Dich hieran, und auch daran, was folgt.
> > > > > > > [mm]u_1+U=u_2+U[/mm]
> > > > > > > [mm]-->(u_1+U)-(u_2+U)=0[/mm]
> > > > > > > [mm]-->(u_1-u_2)+U=0[/mm]
> > > > > > > so richtig??
> > > > > >
> > > > > > Ich weiß nicht. Es kommt drauf an, was Du mit diesem
> > > > > > Kringel 0 meinst.
> > > > > Der Kringeln O wäre dann [mm]O_{V/U},[/mm] ja??
> > > > >
> > > > > > [mm](u_1-u_2)+U=U,[/mm]
> > > > > >
> > > > > > und das gilt für [mm]u_1-u_2\in[/mm] U.
> > > > > [mm]u_1-u_2[/mm] sind also in U, weil, wenn ich sie mit
> U
> > > > addiere
> > > > > ich in U lande, oder??).
> > > >
> > > > Ja.
> > > >
> > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > Also:
> > > > > > > >
> > > > > > > > wenn [mm]]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U,[/mm] was
> > > > > > > > gilt dann für die Summe?
> > > > > > > vielleiht so:
> > > > > > >
> > [mm]\summe_{j=1}^{\red{k}}(\alpha_j\cdot{}b_j)+U=U[/mm]
> > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > ==> [mm]\summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U.
> > > > > ok, aber sollte ich nicht irgendwie die
> > > koeffizienten
> > > > auf
> > > > > 0 bekommen?? Oder blicke ich da grad über irgendwas weg,
> > > > > was schn eine Antwort darauf ist?
> > > >
War es nicht so, daß U aufgespannt wurde von (b_{k+1},..., b_n) ?
Wie sehen dann die Elemente von U aus?
> ...
> oder meinst du die def aus dem Aufg.blatt: U:= <(a_j)_{j
> \in J > ??? Kann ich die verwenden??
Ja. Wir hatte das ja, da wir uns entschlossen hatten, im endlichen zu arbeiten, etwas bequemer gestaltet, s. o.
> > Weiter wissen wir, daß [mm](b-{k+1},...,b_n)[/mm] eine Basis von U
> > ist.
> >
> > Also gibt es Koeffizienten [mm]\alpha_{k+1},[/mm] ..., [mm]\alpha_n[/mm] mit
> >
> [mm]\summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)=\summe_{j=k+1}^{n}(\alpha_j\cdot{}b_j)[/mm]
> >
> > ==> ???
> Ich komme gerade überhaupt nicht weiter und brauche
> dringend eine idee...
Mannomann. [mm] (b_1, ...,b_n) [/mm] ist eine Ba-sis von V...
Gruß v. Angela
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Hey,
> Ja, dann beweis es eben - man muß sowas eh können.
ok,
U enthält ja zeri UR, einmal sich selber und einmal den kleinsten URV, der nur die Null enthält.. Aber ich gleube das hilft mir auch nicht zum beweis, dass U=0 ist....
[mm] \summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)=\summe_{j=k+1}^{n}(\alpha_j\cdot{}b_j)
[/mm]
>
> War es nicht so, daß U aufgespannt wurde von [mm] (b_{k+1},..., [/mm]
> [mm] b_n) [/mm] ?
>
> Wie sehen dann die Elemente von U aus?
Die elemente wären dann doch die [mm] b_{k+1} [/mm] bis [mm] b_n, [/mm] ja??
[mm] \summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)
[/mm]
diese summe steht doch für die Elemente Aus V, die nicht in U sind, oder?
[mm] \summe_{j=k+1}^{n}(\alpha_j\cdot{}b_j)
[/mm]
und diese summe steht gann für dieElemente aus U, ja??
Und wenn ich die beiden addiere ist das dann die [mm] "Basis"((b_{1},...,b_n) [/mm] ist die Basis und die beiden summen ergeben dann alle elemente aus V) von V, ja?
Aber wieso soll ich die gleichsetzen?? komme ich dadruch auf V/U? V/U ist doch definiert als a + U mit a [mm] \in [/mm] V; also müsste ich doch eigentlich V und U adderen - und nicht voneienander abziehen, oder??
Danke, dass du so viel Zeit investierst..
LG
pythagora
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> Hey,
>
>
> > Ja, dann beweis es eben - man muß sowas eh können.
> ok,
> U enthält ja zeri UR, einmal sich selber und einmal den
> kleinsten URV, der nur die Null enthält.. Aber ich gleube
> das hilft mir auch nicht zum beweis, dass U=0 ist....
Hallo,
dieser Kringel vernebelt.
Du willst zeigen, daß U die Null in V/U ist, also das neutrale Element bzgl. der Addition in U.
Rechne doch mal aus, was (v+U) + U ergibt.
Überlege Dir zuvor, was Du herausbekommen möchtest.
>
> [mm]\summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)=\summe_{j=k+1}^{n}(\alpha_j\cdot{}b_j)[/mm]
> >
> > War es nicht so, daß U aufgespannt wurde von [mm](b_{k+1},...,[/mm]
> > [mm]b_n)[/mm] ?
> >
> > Wie sehen dann die Elemente von U aus?
> Die elemente wären dann doch die [mm]b_{k+1}[/mm] bis [mm]b_n,[/mm] ja??
Es wären die Linearkombinationen dieser Vektoren.
> [mm]\summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)[/mm]
> diese summe steht doch für die Elemente Aus V, die nicht
> in U sind, oder?
Sagen wir mal so: alle Elemente, die so geschrieben werden, sind nicht in U, sondern in [mm] .
[/mm]
(Aber es ist [mm] b_1+b_n [/mm] auch nicht in U.)
>
> [mm]\summe_{j=k+1}^{n}(\alpha_j\cdot{}b_j)[/mm]
> und diese summe steht gann für dieElemente aus U, ja??
Ja.
> Und wenn ich die beiden addiere ist das dann die
> [mm]"Basis"((b_{1},...,b_n)[/mm] ist die Basis und die beiden summen
> ergeben dann alle elemente aus V) von V, ja?
Wenn Du alle Koeffizienten zuläßt, dann ja.
> Aber wieso soll ich die gleichsetzen??
Aha. Du hast jetzt komplett den Überblick verloren.
Macht nichts, das ist auch eine Chance zum Rekapitulieren.
Setz' Dich hin, gehe alles von Anfang an durch, mit ordentlich Aufschreiben, mit einer Begründung für jeden Schritt, den Du vollziehst. So, als würde Dir morgen auf den Zahn gefühlt werden.
Wenn alles gut läuft, wirst Du bald an der Stelle landen, wo es jetzt abbricht, und wir können weitermachen.
Es wird viel weniger zu schreiben sein, als die Länge des Threads vermuten läßt.
Gruß v. Angela
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Hey,
> Du willst zeigen, daß U die Null in V/U ist, also das
> neutrale Element bzgl. der Addition in U.
>
> Rechne doch mal aus, was (v+U) + U ergibt.
> Überlege Dir zuvor, was Du herausbekommen möchtest.
also es wäre doch so:
(v+U)+U
=v+U)+(0+U)
=v+0)+U
=v+U
oder.
D.h. U ist das neutrale Element der Add, weil wenn ich U zu (v+U) addiere v+U bekomme, ja?
> > Aber wieso soll ich die gleichsetzen??
>
> Aha. Du hast jetzt komplett den Überblick verloren.
Ja. gut getroffen, war aber auch gerade beim druchlesenn meiner gemachten notizen^^.
Ich hab das gefunden:
[mm] v_1+U)=(v_2+U), [/mm] das war ja, dass wir V/U gleichsetzten mit V/U mit jeweils unterschiedlichen v aus V... das verstehe ich.
Du hattest mal geschrieben:
Also gibt es Koeffizienten [mm] \alpha_{k+1}, [/mm] ..., [mm] \alpha_n [/mm] mit [mm] \summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)=\summe_{j=k+1}^{n}(\alpha_j\cdot{}b_j) [/mm]
[mm] \summe_{j=k+1}^{n}(\alpha_j\cdot{}b_j) [/mm]
[mm] \alpha [/mm] aus U [mm] b_j [/mm] auch
Die koeffizienten mit k+1 ... n sind ja aus U und die [mm] b_j [/mm] wären dann aus V, was der Form [mm] (v_1+U) [/mm] entspricht, aber die dinge über der summe (und daraunter) sind mit nicht ganz klar
[mm] \summe_{j=1}^{k}(\alpha_j\cdot{}b_j)
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] aus V und nicht aus U und [mm] b_j [/mm] auch
aber das hat doch nicht die form [mm] (v_2+U) [/mm] ....
Ich glaube das hatte ich entweder noch nicht verstanden oder es fehlt noch irgend eine info, die ich übersehen hab, sodass die Glühbirne bei mir momentan noch nicht wirklich brennt...
LG
pythagora
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Wahhaaa..
wir hatten ja
[mm] \summe_{j=1}^{k}(a_j+b_j)+U=O_{V/U} [/mm] als ausdruck für die Basis [mm] b_j [/mm] in V/U..
Daraus folgte, dass [mm] \summe_{j=1}^{k}(a_j+b_j) [/mm] in U ist, also
Und U ist wiederum duch die eigene Basis [mm] \summe_{j=k+1}^{n}(a_j+b_j)
[/mm]
darstellbar, daher:
[mm] \summe_{j=1}^{k}(a_j+b_j)=U= \summe_{j=k+1}^{n}(a_j+b_j)
[/mm]
oder??
Leuchtet die Glühbirne jetzt, oder war das jetzt nur eine unlogische gedankenektte von mir??
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> Wahhaaa..
> wir hatten ja
> [mm]\summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)+U=O_{V/U}[/mm] als ausdruck für die
> Basis [mm]b_j[/mm] in V/U..
Wir wollten die lineare Unabhängigkeit zeigen, und hatten das deshalb hingeschrieben.
Wir wollen daraus folgern, daß die Koeffizienten alle =0 sind.
> Daraus folgte, dass [mm]\summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)[/mm] in U ist,
Genau.
Also gibt es ein [mm] u\in [/mm] U mit [mm] \summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)=u
[/mm]
> also
> Und U u ist wiederum duch die eigene Basis Basis von U
> darstellbar, daher:
>
> [mm]\summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)=u= \summe_{j=k+1}^{n}(a_j*b_j)[/mm]
>
> oder??
> Leuchtet die Glühbirne jetzt, oder war das jetzt nur eine
> unlogische gedankenektte von mir??
Nein, das war jetzt außerordentlich logisch. Ich bin geradezu entzückt!
Dann folgt
[mm] \summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)- \summe_{j=k+1}^{n}(a_j*b_j)=0_V,
[/mm]
und jetzt reize die lineare Unabhängigkeit der [mm] b_i [/mm] aus.
Gruß v. Angela
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hey,
> > Wahhaaa..
> > wir hatten ja
> > [mm]\summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)+U=O_{V/U}[/mm] als ausdruck für
> die
> > Basis [mm]b_j[/mm] in V/U..
>
> Wir wollten die lineare Unabhängigkeit zeigen, und hatten
> das deshalb hingeschrieben.
> Wir wollen daraus folgern, daß die Koeffizienten alle =0
> sind.
>
> > Daraus folgte, dass [mm]\summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)[/mm] in U ist,
>
> Genau.
>
> Also gibt es ein [mm]u\in[/mm] U mit [mm]\summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)=u[/mm]
>
> > also
> > Und U u ist wiederum duch die eigene Basis Basis von U
> > darstellbar, daher:
> >
> > [mm]\summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)=u= \summe_{j=k+1}^{n}(a_j*b_j)[/mm]
>
> >
> > oder??
> > Leuchtet die Glühbirne jetzt, oder war das jetzt nur
> eine
> > unlogische gedankenektte von mir??
>
> Nein, das war jetzt außerordentlich logisch. Ich bin
> geradezu entzückt!
Hehe, ich auch, es leuchtet^^
> Dann folgt
>
> [mm]\summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)- \summe_{j=k+1}^{n}(a_j*b_j)=0_V,[/mm]
>
> und jetzt reize die lineare Unabhängigkeit der [mm]b_i[/mm] aus.
ausreizen?? meinst du die summen zusammenfassen?? Verstehe nicht ganz, was su meinst..:(--> Magst du mir da noch mal weiterhelfen??
Aber 1000Dank, soweit, weiß ich jetzt, was ich mache^^
LG
pythagora
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> hey,
> > > Wahhaaa..
> > > wir hatten ja
> > > [mm]\summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)+U=O_{V/U}[/mm] als ausdruck
> für
> > die
> > > Basis [mm]b_j[/mm] in V/U..
> >
> > Wir wollten die lineare Unabhängigkeit zeigen, und hatten
> > das deshalb hingeschrieben.
> > Wir wollen daraus folgern, daß die Koeffizienten alle
> =0
> > sind.
> >
> > > Daraus folgte, dass [mm]\summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)[/mm] in U ist,
> >
> > Genau.
> >
> > Also gibt es ein [mm]u\in[/mm] U mit [mm]\summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)=u[/mm]
> >
> > > also
> > > Und U u ist wiederum duch die eigene Basis Basis von
> U
> > > darstellbar, daher:
> > >
> > > [mm]\summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)=u= \summe_{j=k+1}^{n}(a_j*b_j)[/mm]
>
> >
> > >
> > > oder??
> > > Leuchtet die Glühbirne jetzt, oder war das jetzt
> nur
> > eine
> > > unlogische gedankenektte von mir??
> >
> > Nein, das war jetzt außerordentlich logisch. Ich bin
> > geradezu entzückt!
> Hehe, ich auch, es leuchtet^^
> > Dann folgt
> >
> > [mm]\summe_{j=1}^{k}(a_j*b_j)- \summe_{j=k+1}^{n}(a_j*b_j)=0_V,[/mm]
>
> >
> > und jetzt reize die lineare Unabhängigkeit der [mm]b_i[/mm] aus.
> ausreizen?? meinst du die summen zusammenfassen??
Hallo,
wenn man eine Linearkombination linear unabhängiger Vektoren hat, welche den Nullvektor ergibt, was folgt denn dann?
(es fällt Dir ein, wenn Du Dir klarmachst, wie man lineare Unabhängigkeit zeigt.)
Gruß v. Angela
Verstehe
> nicht ganz, was su meinst..:(--> Magst du mir da noch mal
> weiterhelfen??
> Aber 1000Dank, soweit, weiß ich jetzt, was ich mache^^
> LG
> pythagora
>
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Hallo,
> > > und jetzt reize die lineare Unabhängigkeit der [mm]b_i[/mm] aus.
> > ausreizen?? meinst du die summen zusammenfassen??
>
> wenn man eine Linearkombination linear unabhängiger
> Vektoren hat, welche den Nullvektor ergibt, was folgt denn
> dann?
> (es fällt Dir ein, wenn Du Dir klarmachst, wie man
> lineare Unabhängigkeit zeigt.)
Also ich dachte so:
Da sich der Nullvekrtor als Linearkombination der Vektoren [mm] b_j [/mm] darstellen lässt mit [mm] \alpha=0, [/mm] ist das System linear unabhängig.
Geht das so?? Meinst du das damit??
LG
pythagora
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> > > > und jetzt reize die lineare Unabhängigkeit der [mm]b_i[/mm] aus.
> > > ausreizen?? meinst du die summen zusammenfassen??
> >
> > wenn man eine Linearkombination linear unabhängiger
> > Vektoren hat, welche den Nullvektor ergibt, was folgt denn
> > dann?
> > (es fällt Dir ein, wenn Du Dir klarmachst, wie man
> > lineare Unabhängigkeit zeigt.)
>
> Also ich dachte so:
> Da sich der Nullvekrtor als Linearkombination der Vektoren
> [mm]b_j[/mm] darstellen lässt mit [mm]\alpha=0,[/mm] ist das System linear
> unabhängig.
Oh nein. Das ist echt ziemlich viel Blödsinn - leider bei wirklich elemetaren Dingen.
Der Nullvektor läßt sich doch immer als Linearkombination mit Koeffizienten, die =0 sind, darstellen. Es ist völlig wurscht, ob die Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind.
Weiter sind die [mm] b_i [/mm] lt. Voraussetzung linear unabhängig - von daher ist auch diese Erkenntnis nicht so überwältigend.
Am besten überlegst Du Dir nochmal ganz in Ruhe, was gezeigt wurde und was das aktuelle Etappenziel ist.
Gruß v. Angela
> Geht das so?? Meinst du das damit??
>
> LG
> pythagora
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Hey,
sicher war ich bir dabei auch leider nicht...
geizeigt haben wir:
[mm] \summe_{i=1}^{k} \alpha_j b_j [/mm] =u= [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \alpha_j b_j [/mm]
und dass darausa folgt, dass
[mm] \summe_{i=1}^{k} \alpha_j b_j [/mm] - [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \alpha_j b_j =0_V
[/mm]
und jetzt muss ich irgendwie darauf komen, dass alle [mm] \alpha [/mm] =0 sind, aber ich habe ja (wie sonst immer) keine Funktion oder sowas.. Ich weiß jetzt nicht was ich noch weiter einsetzen, umformen, ... kann um darauf zu kommen, dass das so ist.. Brauche ich denn noch irgendwelche definitionen?? Oder muss ich [mm] \summe_{i=1}^{k} \alpha_j b_j [/mm] - [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \alpha_j b_j =0_V [/mm] nioch weiter bearbeiten??
Und die [mm] b_j [/mm] sind ja jeweils nur in der Summe l.u., also habe ich " zwei Haufen " von linear unabhängigen [mm] b_j, [/mm] oder? Oder ist schon gezeigt, dass es sich nur um einen Haufen von l.u. [mm] b_j [/mm] handelt?? Denn wenn alle [mm] b_j [/mm] l.u. sind, dann komme ich doch gar nicht anders auf die Null, als wenn die Keoff. selber alle Null sind....
LG
pythagora
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> Hey,
> sicher war ich bir dabei auch leider nicht...
> geizeigt haben wir:
> [mm]\summe_{i=1}^{k} \alpha_j b_j[/mm] =u= [mm]\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_j b_j[/mm]
> und dass darausa folgt, dass
> [mm]\summe_{i=1}^{k} \alpha_j b_j[/mm] - [mm]\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_j b_j =0_V[/mm]
>
> und jetzt muss ich irgendwie darauf komen, dass alle [mm]\alpha[/mm]
> =0 sind, aber ich habe ja (wie sonst immer) keine Funktion
> oder sowas.. Ich weiß jetzt nicht was ich noch weiter
> einsetzen, umformen, ... kann um darauf zu kommen, dass das
> so ist.. Brauche ich denn noch irgendwelche definitionen??
> Oder muss ich [mm]\summe_{i=1}^{k} \alpha_j b_j[/mm] -
> [mm]\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_j b_j =0_V[/mm] nioch weiter
> bearbeiten??
>
> Und die [mm]b_j[/mm] sind ja jeweils nur in der Summe l.u., also
> habe ich " zwei Haufen " von linear unabhängigen [mm]b_j,[/mm]
> oder? Oder ist schon gezeigt, dass es sich nur um einen
> Haufen von l.u. [mm]b_j[/mm] handelt?? Denn wenn alle [mm]b_j[/mm] l.u. sind,
> dann komme ich doch gar nicht anders auf die Null, als wenn
> die Keoff. selber alle Null sind....
Hallo,
so, jetzt guckst Du Dir den Beweis mal von Anfang an an, schaust, was es mit den [mm] b_j [/mm] auf sich hat und entscheidest, ob sie linear unabhängig sind oder nicht.
(Es ist etwas traurig, daß man Dich darauf hinweisen muß, daß dies die angemessene Strategie zur Beantwortung dieser Frage ist.)
Gruß v. Angela
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Grrr,
mist, natürlich ein haufen.... Tut mir leid...
Also stehe ich jetzt bei
[mm] \summe_{i=1}^{k} \alpha_j b_j [/mm] - [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \alpha_j b_j =0_V
[/mm]
und alle [mm] b_j [/mm] sind l.u., ja??
LG
pythagora
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Hallo,
> Grrr,
> mist, natürlich ein haufen.... Tut mir leid...
> Also stehe ich jetzt bei
> [mm]\summe_{i=1}^{k} \alpha_j b_j[/mm] - [mm]\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_j b_j =0_V[/mm]
>
> und alle [mm]b_j[/mm] sind l.u., ja??
So ist es.
Nun folgt [mm] \alpha_{j} [/mm] = 0 für alle j.
Grüße,
Stefan
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Hallo,
> Nun folgt [mm]\alpha_{j}[/mm] = 0 für alle j.
Jup, super, dann wäre ich ja mit dem Teil soweit durch, aber zu Basis gehört ja nicht nur, dass es l.u. ist, sondern dass es auch ein erzeugendensystem ist, aber in der Aufg. steht es doch schon als erzsyst geschrieben (wegen <...>) oder?? Soll ich das also auch noch zeigen??
LG und vielen lieben Dank
pythagora
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> Hallo,
> > Nun folgt [mm]\alpha_{j}[/mm] = 0 für alle j.
>
> Jup, super, dann wäre ich ja mit dem Teil soweit durch,
> aber zu Basis gehört ja nicht nur, dass es l.u. ist,
> sondern dass es auch ein erzeugendensystem ist,
Hallo,
genau.
> aber in der
> Aufg. steht es doch schon als erzsyst geschrieben (wegen
> <...>) oder??
Lies die Aufgabe genau: da steht, daß U von einer Teilmenge der Basisvektoren von V erzeugt wird.
Darüber, wovon V/U erzeugt wird, ist nichts zu lesen. Das ist nämlich in der Tat noch Deine Aufgabe.
Du solltest jetzt mal versuchen, sie selbständig zu lösen.
Schreib Dir auf, was Du zeigen willst: .. ist ein Erzeugendensystem von ...
Überlege Dir, was Du dazu vorrechnen mußt: jedes Element von ... kann man ...
Wie sehen die Elemente von V/U aus?
Und dann probier mal ein Weilchen.
Überlege Dir für jeden Strich, den Du schreibst, wie Du ihn begründen kannst. Notiere die Begründung. So geht Mathematik - nicht durch Fragen im 5-Minuten-Takt.
Gruß v. Angela
> Soll ich das also auch noch zeigen??
>
> LG und vielen lieben Dank
> pythagora
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Hallo,
>
> Lies die Aufgabe genau: da steht, daß U von einer
> Teilmenge der Basisvektoren von V erzeugt wird.
>
> Darüber, wovon V/U erzeugt wird, ist nichts zu lesen. Das
> ist nämlich in der Tat noch Deine Aufgabe.
Ok, das dachte ich mir schon fast^^, deshalb hatte ich gestern auch schon dazu etwas gemacht: Buch + Skript gelesen und Notizen gemacht...
> Du solltest jetzt mal versuchen, sie selbständig zu
> lösen.
>
> Schreib Dir auf, was Du zeigen willst: .. ist ein
> Erzeugendensystem von ...
[mm] b_j [/mm] bzw. [mm] [/mm] soll ein erzsyst von V/U sein, dachte ich mir..
> Überlege Dir, was Du dazu vorrechnen mußt: jedes Element
> von ... kann man ...
Es müss ja jedes Element von V/U (also jedes [mm] b_j) [/mm] duch die Basis/das erzsyst darsetellbar sein, daher dachte ich mir:
(laut buch/skript:) [mm] b_j=\mu_1*b_1+...+\mu_n*b_n [/mm] --> [mm] \summe_{i=1}^{n}(\mu_i*b_i)=b_j [/mm] und damit muss ich jedes v+U darstellen
> Wie sehen die Elemente von V/U aus?
die Elemente von V/U sind v+U= { v+u |v [mm] \in [/mm] V und u [mm] \in [/mm] U }
So zu meinen Notizen und gedanken:
Es muss jedes Elemetn aus V/U (v+U) durch < [mm] b_1,...,b_j [/mm] > darstellbar/zu erzeugen sein also gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}(\mu_i*b_i)=b_j [/mm] und damit muss ich nun jedes beliebige v+U darstellen
meine Frage nun, kann ich $ [mm] \summe_{i=1}^{k} \alpha_j b_j [/mm] $ =u= $ [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \alpha_j b_j [/mm] $
aus dem vorigen teil der Aufgabe auch verwenden?? Denn v+U muss ich ja irgendwie anders darstellen, weil ich sonst nicht weiß, wie ich die verbindung zeischen v+U und [mm] \summe_{i=1}^{n}(\mu_i*b_i)=b_j [/mm] bekomme... Oder benötige ich noch andere Definitionen?
LG
pythagora
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> > Schreib Dir auf, was Du zeigen willst: .. ist ein
> > Erzeugendensystem von ...
> [mm]b_j[/mm] bzw. [mm][/mm] soll ein erzsyst von V/U sein, dachte ich
> mir..
Hallo,
nun überlege mal messerscharf:
warum kann das überhaupt nicht sein?
Welchem Raum entstammen denn die [mm] b_j [/mm] und damit auch all ihre Linearkombinationen?
Falls Du vergessen hast, worum es geht, könnte die Lektüre der Aufgabenstellung sehr hilfreich sein.
Gruß v. Angela
> > Überlege Dir, was Du dazu vorrechnen mußt: jedes Element
> > von ... kann man ...
> Es müss ja jedes Element von V/U (also jedes [mm]b_j)[/mm] duch
> die Basis/das erzsyst darsetellbar sein, daher dachte ich
> mir:
> (laut buch/skript:) [mm]b_j=\mu_1*b_1+...+\mu_n*b_n[/mm] -->
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(\mu_i*b_i)=b_j[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und damit muss ich jedes
> v+U darstellen
> > Wie sehen die Elemente von V/U aus?
> die Elemente von V/U sind v+U= { v+u |v [mm]\in[/mm] V und u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U
> }
>
> So zu meinen Notizen und gedanken:
> Es muss jedes Elemetn aus V/U (v+U) durch < [mm]b_1,...,b_j[/mm] >
> darstellbar/zu erzeugen sein also gilt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(\mu_i*b_i)=b_j[/mm] und damit muss ich nun
> jedes beliebige v+U darstellen
>
> meine Frage nun, kann ich [mm]\summe_{i=1}^{k} \alpha_j b_j[/mm] =u=
> [mm]\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_j b_j[/mm]
> aus dem vorigen teil der
> Aufgabe auch verwenden?? Denn v+U muss ich ja irgendwie
> anders darstellen, weil ich sonst nicht weiß, wie ich die
> verbindung zeischen v+U und [mm]\summe_{i=1}^{n}(\mu_i*b_i)=b_j[/mm]
> bekomme... Oder benötige ich noch andere Definitionen?
>
> LG
> pythagora
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Hey,
*hust* das war wohl im eifer des gefechts, also [mm] b_j [/mm] als Basis von V und [mm] =:U^^
[/mm]
komme ich denn irdendwie mit diesen defs oder gedanken weiter...??
> (laut buch/skript:) [mm]b_j=\mu_1*b_1+...+\mu_n*b_n[/mm] -->
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(\mu_i*b_i)=b_j[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und damit muss ich jedes
> v+U darstellen
> > Wie sehen die Elemente von V/U aus?
> die Elemente von V/U sind v+U= { v+u |v [mm]\in[/mm] V und u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U
> }
>
> So zu meinen Notizen und gedanken:
> Es muss jedes Elemetn aus V/U (v+U) durch < [mm]b_1,...,b_j[/mm] >
> darstellbar/zu erzeugen sein also gilt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(\mu_i*b_i)=b_j[/mm] und damit muss ich nun
> jedes beliebige v+U darstellen
>
> meine Frage nun, kann ich [mm]\summe_{i=1}^{k} \alpha_j b_j[/mm] =u=
> [mm]\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_j b_j[/mm]
> aus dem vorigen teil der
> Aufgabe auch verwenden?? Denn v+U muss ich ja irgendwie
> anders darstellen, weil ich sonst nicht weiß, wie ich die
> verbindung zeischen v+U und [mm]\summe_{i=1}^{n}(\mu_i*b_i)=b_j[/mm]
> bekomme... Oder benötige ich noch andere Definitionen?
Bei diesem Aufgabenteil kab ich leider nicht mal einen sicheren Anstaz(gedanken)..:(
Kannst du mir helfen??
LG
pythagora
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wenn ich mich mal einmischen dürfte...
müsste nicht jedes Element von V/U als Linearkombination von [mm] (b_{j}+U) [/mm] darstellbar sein??...
d.h. man müsste doch anfangen
Sei v [mm] \in [/mm] V mit [mm] v=\summe_{j=1}^{n} \alpha_{j} b_{j}
[/mm]
==>....
müsste das nicht der Ansatz sein?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 So 24.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Hallo, danke für die Antwort.
> wenn ich mich mal einmischen dürfte...
>
> müsste nicht jedes Element von V/U als Linearkombination
> von [mm](b_{j}+U)[/mm] darstellbar sein??...
>
> d.h. man müsste doch anfangen
> Sei v [mm]\in[/mm] V mit [mm]v=\summe_{j=1}^{n} \alpha_{j} b_{j}[/mm]
>
> ==>....
> müsste das nicht der Ansatz sein?
ok, das klingt soweit einleuchtend, aber irgendwie fehlt es mir an definitionen oder sonst was, ich weiß einfach nicht, wie ich damit weitermache.... Ich komme im Moment gar nicht voran, ich würde mich über einen stups in die richtige richtung sehr freuen.. Könnt ihr mir helfen??
LG
pythagora
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> Hallo, danke für die Antwort.
> > wenn ich mich mal einmischen dürfte...
> >
> > müsste nicht jedes Element von V/U als Linearkombination
> > von [mm](b_{j}+U)[/mm] darstellbar sein??...
> >
> > d.h. man müsste doch anfangen
> > Sei v [mm]\in[/mm] V mit [mm]v=\summe_{j=1}^{n} \alpha_{j} b_{j}[/mm]
> >
> > ==>....
> > müsste das nicht der Ansatz sein?
> ok, das klingt soweit einleuchtend, aber irgendwie fehlt
> es mir an definitionen oder sonst was, ich weiß einfach
> nicht, wie ich damit weitermache.... Ich komme im Moment
> gar nicht voran, ich würde mich über einen stups in die
> richtige richtung sehr freuen.. Könnt ihr mir helfen??
> LG
> pythagora
>
naja du müsstest dann ja
v+U darstellen als:
[mm] v+U=(\summe_{j=1}^{n} \alpha_{j} b_{j})+U...aber [/mm] wie man dann weiter vorgeht wüsste ich auch nicht ganz so genau...
tut mir leid...
LG Schmetterfee
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So ich habe den Beweis für mich selber versucht und würd gern wissen ob er richtig ist:
Zu zeigen: jedes Element aus V/U besitzt eine Linearkombination aus [mm] (b_{j}+U) [/mm]
Sei v [mm] \in [/mm] V mit v= [mm] \summe_{j=1}^{n} \alpha_{j} b_{j}
[/mm]
dann folgt:
v+U= [mm] (\summe_{j=1}^{n} \alpha_{j} b_{j})+U
[/mm]
Da [mm] <\summe_{j=k+1}^{n} (\alpha_{j} b_{j})>=U [/mm] folgt [mm] \summe_{j=1}^{n} (\alpha_{j} b_{j}) [/mm] +U=U und weil U das neutrale Element in V/U ist folgt:
[mm] v+U=\summe_{j=1}^{k} (a_{j} b_{j})
[/mm]
Somit hätten wir gezeigt, dass jedes Element in V/U eine Linearkombination aus [mm] (b_{j}+U) [/mm] besitzt.
ich wäre echt froh wenn jemand Kritik äußern würde...ist nur so eine Übung für mich
LG Schmetterfee
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> So ich habe den Beweis für mich selber versucht und würd
> gern wissen ob er richtig ist:
>
> Zu zeigen: jedes Element aus V/U besitzt eine
> Linearkombination aus [mm](b_{j}+U)[/mm]
Hallo,
ich denke, Du meinst das richtig.
ImErnstfall würde man es natürlich etwas präziser formulieren.
Jeses Element aus V/U hat die Gestalt v+U mit [mm] v\in [/mm] V.
>
>
> Sei v [mm]\in[/mm] V mit v= [mm]\summe_{j=1}^{n} \alpha_{j} b_{j}[/mm],
denn (warum sieht v so aus?)
> dann
> folgt:
> v+U= [mm](\summe_{j=1}^{n} \alpha_{j} b_{j})+U[/mm]
Ja.
> Da
> [mm]<\summe_{j=k+1}^{n} (\alpha_{j} b_{j})>=U[/mm]
Ich weiß, was hier gemeint ist, aber so kann man das nicht schreiben.
Entweder als Menge, oder als Erzeugnis mit den erzeugenden Vektoren,
oder Du sagst, was die Basis von U ist.
> folgt
> [mm]\summe_{j=1}^{n} (\alpha_{j} b_{j})[/mm] +U=U
Nein. Korrigiere die Summationsgrenze.
> und weil U das
> neutrale Element in V/U ist
Ja.
> folgt:
> [mm]v+U=\summe_{j=1}^{k} (a_{j} b_{j})[/mm][mm] \red{+U}
[/mm]
> Somit hätten wir gezeigt, dass jedes Element in V/U eine
> Linearkombination aus [mm](b_{j}+U)[/mm] besitzt.
Fast. Du solltest es jetzt noch wirklich als Linearkombination der [mm] (b_i+U) [/mm] hinschreiben.
Gruß v. Angela
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> Hey,
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> > Du willst zeigen, daß U die Null in V/U ist, also das
> > neutrale Element bzgl. der Addition in U.
> >
> > Rechne doch mal aus, was (v+U) + U ergibt.
> > Überlege Dir zuvor, was Du herausbekommen möchtest.
> also es wäre doch so:
> (v+U)+U
> =v+U)+(0+U)
> =v+0)+U
> =v+U
> oder.
> D.h. U ist das neutrale Element der Add, weil wenn ich U
> zu (v+U) addiere v+U bekomme, ja?
Hallo,
genau.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Fr 22.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sei V ein Vektorraum über [mm]K,(b_j)_{j \in I}[/mm] eine Basis von
> V, [mm](b_j)_{j \in J}[/mm] dieser Basis (also J [mm]\subseteq[/mm] I), und
> [mm]U:=<(b_j)_{j \in J}>[/mm] der in dieser von V erzeugte
> Untervektorraum. Zeigen Sie, dass [mm](b_j+U)_{j \in I\J}[/mm] eine
> Basis von V/U ist.
> Wenn Sie wollen, können sie sich auf den Fall [mm]dimV<\infty[/mm]
> beschränken.
Bevor hier die Version nur im endlich dimensionalen gemacht wird, hier mal ein allgemeiner Beweis:
Sie [m]W=<(b_j)_{j\in I\setminus J}>[/m]. Dann gilt [m]V=W\oplus U[/m]. Sei [m]\pi[/m] die Projektion [m]\pi:V\to V/U[/m], dann gilt [m]ker(\pi)=U[/m], und daher ist [m]\pi|_W[/m] injektiv. Da sich aber jede Repr.klasse in [m]V/u[/m] darstellen lässt als [m][v]=[w+u]=[w],u\in U, w\in W[/m], ist [m]\pi|_W[/m] surjektiv und damit ein Iso, daher ist die Basis von W unter [m]\pi[/m] wieder eine Basis.
SEcki
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Hallo, danke auch für deine Anwort, darf ich dir trotzdem noch ein paar WARUM-Fragen stellen??
> Sie [m]W=<(b_j)_{j\in I\setminus J}>[/m]. Dann gilt [m]V=W\oplus U[/m].
Warum gilt das??
> Sei [m]\pi[/m] die Projektion [m]\pi:V\to V/U[/m], dann gilt [m]ker(\pi)=U[/m],
wieso [mm] gilt:ker(\pi)=U [/mm] ??
> und daher ist [m]\pi|_W[/m] injektiv. Da sich aber jede
> Repr.klasse in [m]V/u[/m] darstellen lässt als [m][v]=[w+u]=[w],u\in U, w\in W[/m],
Repr.klasse? Was ist das?
> ist [m]\pi|_W[/m] surjektiv und damit ein Iso, daher ist die Basis
> von W unter [m]\pi[/m] wieder eine Basis.
Wäre lieb, wenn du mir das erklären könntest, ich würde deine Version gerne auch verstehen..
Kannst du mit vielleicht auch bei meinen Fragen zum "anderen Weg" helfen??
LG
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Fr 22.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Sie [m]W=<(b_j)_{j\in I\setminus J}>[/m]. Dann gilt [m]V=W\oplus U[/m].
> Warum gilt das??
Das folgt, weil [m](b_j)_{j\in I}[/m] eine Basis des ganzen Raumes ist - jedes Element ist Lin.komb. dieser Elemente, also gilt sicher schonmal [m]W+U=V[/m]; da aber die Elemente lin. unabh. sind, muss auch [m]U\cap W={0}[/m] sein.
> > Sei [m]\pi[/m] die Projektion [m]\pi:V\to V/U[/m], dann gilt
> [m]ker(\pi)=U[/m],
> wieso [mm]gilt:ker(\pi)=U[/mm] ??
Weil genau die Elemente auf [m]0+U[/m] abgebildet werden, die in U sind.
> > und daher ist [m]\pi|_W[/m] injektiv. Da sich aber jede
> > Repr.klasse in [m]V/u[/m] darstellen lässt als [m][v]=[w+u]=[w],u\in U, w\in W[/m],
> Repr.klasse? Was ist das?
Öhm, die [m]v+U=[v][/m], das ist so definiert worden hoffentlich, oder?
> Wäre lieb, wenn du mir das erklären könntest, ich würde
> deine Version gerne auch verstehen..
Versuch erstmal die andere, das sind schon einige Posts, die ich nicht mehr überblicken kann - aber Angela sicher  ; dann setz dich vielleicht an die hier, wenn du sicherer gewordne bist mit Vektorräumen und den Begriffen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Fr 22.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Aha,
das ist interessant. Danke also, aber ich würde tortzdem gerne meine Version machen^^ (Sei aber bitte nicht böse) Ich werde, wenn ich mal Zeit habe, deine Variante mit meinem Skript versuchen zu verstehen^^.
Ich hoffe, dass ich noch hilfe für meinen Ansatz bekomme...
Also Danke nochmals und liebe Grüße
pythagora
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