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Basis mit GJA: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 So 14.01.2007
Autor: BWLDino

Aufgabe
Bestimmen Sie eine Basis der Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus! Geben Sie zwei weitere Basen an!
[mm] \pmat{ 2 & 0 & \wurzel{7} & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 2 }*\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]

So, wenn ich das mit dem GJA ausrechen bekomme ich als Endschema:
-18   0    0    0   0
0     0    0    0   -9
0     0  [mm] -18*\wurzel{7} [/mm]   0   0

Ausgezeichnet wurden die drei Elemente, die jetzt noch [mm] \not= [/mm] 0 sind
Aber wie muss ich das Endschema jetzt interpretieren das ich zunächst auf eine Basis komme und dann noch zwei weitere finden kann?

MfG Dino

        
Bezug
Basis mit GJA: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 So 14.01.2007
Autor: DaMenge

Hallo,


> So, wenn ich das mit dem GJA ausrechen bekomme ich als
> Endschema:
>  -18   0    0    0   0
>   0     0    0    0   -9
>   0     0  [mm]-18*\wurzel{7}[/mm]   0   0
>  

Also ich hab das jetzt NICHT nachgerechnet, aber du musst ja schon Zeilenstufenform erreichen - dies bedeutet hier also noch eine Vertauschung der Zeilen (was die reihenfolge der Variablen aber nicht aendert), also als Matrix geschrieben:
[mm] $\pmat{-18&0&0&0&0\\0&0&-18*\wurzel{7}&0&0\\0&0&0&0&-9}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm]

du siehst also, dass nur [mm] $x_1=x_3=x_5=0$ [/mm] eindeutig festgelegt sind, also waere ein allgemeiner Loesungsvektor doch: (s und t beliebig:)
[mm] $\vektor{0\\s\\0\\t\\0}=s*\vektor{0\\1\\0\\0\\0}+t*\vektor{0\\0\\0\\1\\0}$ [/mm]

und hieran siehst du schon zwei linear unabhaengige Vektoren, die den Loesungsraum erzeugen...
jetzt such dir noch zwei andere Basen, die denselben raum erzeugen...

viele Gruesse
DaMenge

Bezug
                
Bezug
Basis mit GJA: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 So 14.01.2007
Autor: BWLDino

Vielen Dank für die schnelle Antwort...
wie kann ich daraus jetzt zwei weiter Basen erzeugen?
Einfach statt der 1 eine andere Zahl einsetzen? Also so:
[mm] s*\vektor{0 \\ 5 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+t*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 5 \\ 0} [/mm] und [mm] s*\vektor{0 \\ 8 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+t*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 8 \\ 0} [/mm] ??

Bezug
                        
Bezug
Basis mit GJA: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 So 14.01.2007
Autor: DaMenge

Hi,

ja das waeren zwei weitere Basen, aber ein wenig langweilige
;-)

eine weitere waere doch auch :
$ [mm] s'\cdot{}\vektor{0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0}+t'\cdot{}\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] $

und sowas eben...

viele Gruesse
DaMenge

Bezug
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