Basis und Dimension < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Do 04.06.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren [mm] {x^{1},x^{2},x^{3},x^{4},x^{5}} \subset \IR^{4} [/mm] mit [mm] x^{1}= \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1},x^{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},x^{3}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1 \\ 1},x^{4}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1},x^{5}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
1. Bestimmen Sie die Dimension des von diesen Vektoren erzeugten Vektorraumes V.
2. Geben Sie eine Teilmenge von [mm] {x^{1},x^{2},x^{3},x^{4},x^{5}} [/mm] an, die eine Basis des erzeugten Vektorraumes bildet. |
Hallo Leute, meines Wissens bestimmt man die Dimension des Vektorraumes durch Bestimmung des Rangs dieser 4x5 Matrix. Dieser kann hier höchstens rg=4 sein. Den Rang kann man ja bestimmen indem man versucht, möglichst viele verschiedene Einheitsvektoren zu bilden. In der zweiten Spalte ist schon einer. Ich versuche nun weiter umzuformen (bitte Richtigkeit prüfen):
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 } [/mm] Z2 [mm] \to [/mm] Z2-Z4 und Z4 [mm] \to [/mm] Z4-Z1
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 } [/mm] Z1 [mm] \to [/mm] Z1-Z3
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 } [/mm] Z3 [mm] \to [/mm] Z3+Z4
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 } [/mm] Z2 [mm] \to [/mm] Z2+Z4
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 } [/mm] Z4 [mm] \to [/mm] -Z4
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 }
[/mm]
Nun habe ich vier verschiedene Einheitsvektoren. Das bedeutet also rg=4. Somit ist die Dimension 4 oder?
Die Basis eines Vektorraums ist ja die Menge max. linear unabhängiger Gleichungen. Das Gleiche gibt der Rang an, den ich ja bereits ausgerechnet habe. Kann ich also einfach [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 } [/mm] als Teilmenge angeben oder wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Do 04.06.2009 | | Autor: | Unk |
> Gegeben seien die Vektoren [mm]{x^{1},x^{2},x^{3},x^{4},x^{5}} \subset \IR^{4}[/mm]
> mit [mm]x^{1}= \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1},x^{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},x^{3}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1 \\ 1},x^{4}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1},x^{5}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> 1. Bestimmen Sie die Dimension des von diesen Vektoren
> erzeugten Vektorraumes V.
> 2. Geben Sie eine Teilmenge von
> [mm]{x^{1},x^{2},x^{3},x^{4},x^{5}}[/mm] an, die eine Basis des
> erzeugten Vektorraumes bildet.
> Hallo Leute, meines Wissens bestimmt man die Dimension des
> Vektorraumes durch Bestimmung des Rangs dieser 4x5 Matrix.
> Dieser kann hier höchstens rg=4 sein. Den Rang kann man ja
> bestimmen indem man versucht, möglichst viele verschiedene
> Einheitsvektoren zu bilden. In der zweiten Spalte ist schon
> einer. Ich versuche nun weiter umzuformen (bitte
> Richtigkeit prüfen):
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 }[/mm]
> Z2 [mm]\to[/mm] Z2-Z4 und Z4 [mm]\to[/mm] Z4-Z1
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 }[/mm]
> Z1 [mm]\to[/mm] Z1-Z3
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 }[/mm]
> Z3 [mm]\to[/mm] Z3+Z4
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 }[/mm]
> Z2 [mm]\to[/mm] Z2+Z4
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 }[/mm]
> Z4 [mm]\to[/mm] -Z4
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 }[/mm]
Also zunächst einmal hat diese Matrix Rang 4, damit hast du also recht. Dazu musst du aber nicht wirklich was umformen, das sieht man schon, wenn du die Vektoren in eine Matrix schreibst. Dann hast du 4 linear unabhängige Zeilen, also Rg(A)=4.
>
> Nun habe ich vier verschiedene Einheitsvektoren. Das
> bedeutet also rg=4. Somit ist die Dimension 4 oder?
Ja.
> Die Basis eines Vektorraums ist ja die Menge max. linear
> unabhängiger Gleichungen.
Ich weiß nicht, ob du hier das richtige meinst. Die Basis eines Vektorraums sind linear unabhängige Vektoren. [mm] \mathbb{R}^4 [/mm] hat trivialerweise die Dimension 4. Folglich besteht die Basis aus 4 linear unabhängigen Vektoren.
Das Gleiche gibt der Rang an, den
> ich ja bereits ausgerechnet habe. Kann ich also einfach
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 }[/mm]
> als Teilmenge angeben oder wie?
Du hast 5 Vektoren. Wie gesagt eine Basis von [mm] \mathbb{R}^4 [/mm] besteht nur aus 4 solcher Vektoren. Du musst gucken, welchen du weglassen kannst, so dass du immer noch 4 linear unabhängige Vektoren hast, die [mm] \mathbb{R}^4 [/mm] aufspannen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Do 04.06.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo Unk und danke für die Antwort. Ok, wenn ich mir meine letzte umgeformte Matrix [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 } [/mm] anschaue, so liegt es nahe, den Vektor [mm] x^{3} [/mm] (also dritte Spalte) wegzustreichen. Somit habe ich doch die vier Vektoren [mm] x^{1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, x^{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, x^{4}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, x^{5}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] als Teilmenge von [mm] {x^{1},x^{2},x^{3},x^{4},x^{5}}, [/mm] die eine Basis des erzeugten Vektorraums V bildet. Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Do 04.06.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo Unk und danke für die Antwort. Ok, wenn ich mir meine
> letzte umgeformte Matrix [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 }[/mm]
> anschaue, so liegt es nahe, den Vektor [mm]x^{3}[/mm] (also dritte
> Spalte) wegzustreichen. Somit habe ich doch die vier
> Vektoren [mm]x^{1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, x^{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, x^{4}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, x^{5}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> als Teilmenge von [mm]{x^{1},x^{2},x^{3},x^{4},x^{5}},[/mm] die eine
> Basis des erzeugten Vektorraums V bildet. Stimmt das
> soweit?
Die Aussage ist richtig. Nach Aufgabenstellung solltest du aber eher eine Teilmenge der ursprünglichen gegebenen 5 Vektoren angeben.
Dennoch kannst du da deinen Vektor [mm] x_3 [/mm] wegstreichen. Begründe das mal. Das bekommst du hin, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Do 04.06.2009 | | Autor: | Owen |
Achso. Ok, die Begründung wäre wahrscheinlich die, dass ich lediglich Zeilenoperationen unter den Zeilen durchführte. Somit ändert sich z.B. nichts am Rang. Stimmts?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Do 04.06.2009 | | Autor: | Unk |
Am Rang ändert das natürlich nichts.
Worauf ich aber hinaus wollte ist, dass du (2,1,1,1) als Vielfaches der anderen 4 Vektoren darstellen kannst. Es ist nämlich (2,1,1,1)=(1,1,0,1)+(1,1,1,0)-(0,1,0,0).
Das heißt, dieser Vektor wird bereits durch die anderen 4 erzeugt, ist damit nicht mehr linear unabhängig bzgl. der anderen 4 Vektoren.
Wie du durch die Rangberechnung weißt, hast du 4 linear unabhängige Vektoren (da rg=4), also fällt einer raus und den kennst du nun.
Das Erzeugnis (=Lineare Hülle) der anderen 4 Vektoren ist die Teilmenge von [mm] \mathbb{R}^4, [/mm] die du angeben solltest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Do 04.06.2009 | | Autor: | Owen |
Achso, stimmt ja. Ok, vielen Dank für die Hilfe.
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