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Bestimme eine Basis und die Dimension der folgenden Vektorräume:
a) [mm] {(x,y)\in \IC^2|x+iy = 0} [/mm] als Vektorraum über [mm] \IC
[/mm]
b) [mm] {(x,y)\in \IC^2|x+iy = 0} [/mm] als Vektorraum über [mm] \IR
[/mm]
Wie muss ich da vorgehen?
Gruss
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Fr 30.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme eine Basis und die Dimension der folgenden
> Vektorräume:
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> a) [mm]{(x,y)\in \IC^2|x+iy = 0}[/mm] als Vektorraum über [mm]\IC[/mm]
> b) [mm]{(x,y)\in \IC^2|x+iy = 0}[/mm] als Vektorraum über [mm]\IR[/mm]
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> Wie muss ich da vorgehen?
Zunächst machen wir das mal lesbar:
{ [mm] (x,y)\in \IC^2|x+iy [/mm] = 0 } als Vektorraum über [mm]\IC[/mm]
{ [mm] (x,y)\in \IC^2|x+iy [/mm] = 0 } als Vektorraum über [mm]\IR[/mm]
Und jetzt stell erst mal fest , wie die Menge { [mm] (x,y)\in \IC^2|x+iy [/mm] = 0 } eigentlich aussieht
FRED
> Gruss
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Leider weiss ich nicht, wie ich diese Schreibweise verstehen soll. Kannst du mir helfen?
Gruss
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> Leider weiss ich nicht, wie ich diese Schreibweise
> verstehen soll. Kannst du mir helfen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Schauen wir also [mm] U:=\{(x,y)\in \IC^2 | x+iy=0\} [/mm] in Ruhe an.
Da steht:
in dieser Menge sind Paare von komplexen Zahlen, die so gemacht sind, daß die erste Komponente das (-i)-fache der zweiten ist. (x+iy=0 <==> x=-iy)
Kannst Du nun Beispiele sagen von Paaren, die da drin sind?
Kannst Du entscheiden, ob (7i, -7), (5,2), (5, -5i), ( -4+3i , 3+4i ), (1+i, 1+i) drin sind?
Wenn Dir die Menge klar ist, kannst Du Dich dem nächsten Problem widmen, in die Aufgabe hat nämlich eine kleine Tücke eingebaut:
die beiden Teilaufgaben sehen sehr ähnlich aus, aber die in a) und b) betrachteten Grundräume haben verschiedene Dimensionen. Welche denn?
Gruß v. Angela
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Mir ist jetzt klar, wie ich den Vektorräume verstehen muss, aber wie berechne ich nun die Dimensionen?
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> Mir ist jetzt klar, wie ich den Vektorräume verstehen
> muss, aber wie berechne ich nun die Dimensionen?
Hallo,
leider bist Du auf meine Frage im anderen Post nicht eingegangen.
Um die Dimension von U in den beiden Räumen zu berechnen, brauchen wir die Dimension und eine Basis von
1. [mm] \IC^2 [/mm] als VR über [mm] \IC
[/mm]
und
2. [mm] \IC^2 [/mm] als VR über [mm] \IR.
[/mm]
zu 1.
Ich hoffe, Du weißt, daß der [mm] \IC^2 [/mm] als VR über [mm] \IC [/mm] zweidimensional ist mit der Basis [mm] (\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1})
[/mm]
In U sind also die Vektoren [mm] \vec{v}, [/mm] für die zweierlei zutrifft:
a) man findet für jedes [mm] \vec{v} [/mm] zwei komplexe Zahlen r,s so daß en als [mm] \vec{v}=r\vektor{1\\0}+s\vektor{0\\1}=\vektor{r\\s},
[/mm]
b) und die Komponenten sind so, daß die erste das -i-fache der zweiten ist.
Wie sehen also die Vektoren aus, die dies erfüllen?
zu 2. Wie gesagt, wir brauchen erstmal eine Basis, danach gehen die Überlegungen ähnlich.
Gruß v. Angela
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