Basis und Dimension < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:45 Mo 09.12.2013 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe 1 | | Sei U := {(a,b,c,d) | b + c + d = 0} ein Unterraum des ℝ4 . Man bestimme eine Basis und die Dimension von U. (Anleitung: Wie lautet die allgemeine Lösung des LGS b+c+d=0? Was kann aus dieser Lösung abgelesen werden?) |
| Aufgabe 2 | | Sei W :={(a,b,c,d) | a + b = 0,c = 2d}ein Unterraum des ℝ4 .Wie lauten Basis und Dimension? |
| Aufgabe 3 | Seien U und W wie in Bsp. 9. Man bestimme Basis und Dimension von
U [mm] \cap [/mm] W ? |
Hi!
Also, für U hätte ich mir folgendes gedacht:
a kann in diesem fall ja beliebig sein (ich nehme für a mal 1) und für b+c+d=0 gibt es dann eigentlich nur folgende l.ua. vektoren:
(1, 1, -1, 0), (1, 0, 1, -1), (1, 1, 0, -1), (1, 0,0,0)
Das wäre nach meiner Lösung die Basis und dim(U) = 4
Für W hätte ich:
(1, -1, 2, 1), (0, 0, 2, 1) als Basis
dim(W) = 2
Richtig??
Und für U [mm] \cap [/mm] W müssten dann ja beide Kriterien erfüllt sein!
(3, -3, 1, 2) wäre hier der einzig mögliche Vektor!
Also dim(U [mm] \cap [/mm] W) = 1
Die Vektoren hätte ich hier eigentlich nur durch probieren herausgefunden!
Gibt es da noch eine andere Mehtode??
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei U := {(a,b,c,d) | b + c + d = 0} ein Unterraum des ℝ4
> . Man bestimme eine Basis und die Dimension von U.
> (Anleitung: Wie lautet die allgemeine Lösung des LGS
> b+c+d=0? Was kann aus dieser Lösung abgelesen werden?)
> Sei W :={(a,b,c,d) | a + b = 0,c = 2d}ein Unterraum des
> ℝ4 .Wie lauten Basis und Dimension?
> Seien U und W wie in Bsp. 9. Man bestimme Basis und
> Dimension von
> U [mm]\cap[/mm] W ?
> Hi!
>
> Also, für U hätte ich mir folgendes gedacht:
> a kann in diesem fall ja beliebig sein (ich nehme für a
> mal 1) und für b+c+d=0 gibt es dann eigentlich nur
> folgende l.ua. vektoren:
> (1, 1, -1, 0), (1, 0, 1, -1), (1, 1, 0, -1), (1, 0,0,0)
ich rechne es nicht vor, aber die sind nicht linear unabhängig (ich weiß halt
leider schon etwas mehr als Du - aber wenn Du mir nicht glaubst, bleibt Dir
nichts anderes übrig, als das selbst mal nachzurechnen...).
> Das wäre nach meiner Lösung die Basis
"Die" Basis solltest Du nicht sagen: Es wäre, wenn es denn richtig wäre,
EINE Basis. Basen sind NICHT eindeutig (nur die Anzahl ihrer Elemente).
> und dim(U) = 4
Leider nein. Ich rechne mal ein bisschen:
[mm] $U=\{(a,b,c,d) \in \IR^4:\;\;b+c+d=0\}=\{a*(1,0,0,0)+b*(0,1,0,0)+c*(0,0,1,0)+d*(0,0,0,1):\;\;d=-b-c,\;\;a,b,c,d \in \IR\}
[/mm]
[mm] $=\{a*(1,0,0,0)+b*(0,1,0,0)+c*(0,0,1,0)+(-b-c)*(0,0,0,1):\;\;\;\;a,b,c \in \IR\}$
[/mm]
[mm] $=\{a*(1,0,0,0)+b*(0,1,0,0)+c*(0,0,1,0)+b*(0,0,0,-1)+c*(0,0,0,-1):\;\;\;\;a,b,c \in \IR\}$
[/mm]
[mm] $=\{a*(1,0,0,0)+b*\underbrace{(0,1,0,-1)}_{=(0,1,0,0)+(0,0,0,-1)}+c*\underbrace{(0,0,1,-1)}_{=(0,0,1,0)+(0,0,0,-1)}:\;\;a,b,c \in \IR\}.$
[/mm]
Da kann man doch viel schöner eine Basis ablesen (man erkennt direkt ein
Erzeugendensystem - es ist die Frage, ob die auftretenden Vektoren auch
linear unabhängig sind; aber das kann man ja schnell nachrechnen...).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:38 Di 10.12.2013 | | Autor: | dodo1924 |
Okay, hab jetzt glaub ich verstanden, wie du auf die Lösung kommst!
Theoretisch wäre dann ja auch b = -c -d oder c = -b -d eine Lösung mit beispielsweise der Basis:
(1,0,0,0), (0,-1, 1, 0), (0,-1,0,1), oder??
Kannst du mir eventuell bei den anderen beiden Aufgaben auch helfen??
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> Okay, hab jetzt glaub ich verstanden, wie du auf die
> Lösung kommst!
Hallo,
gut.
> Theoretisch wäre dann ja auch b = -c -d oder c = -b -d
> eine Lösung
Was meinst Du mit "theoretisch"?
> mit beispielsweise der Basis:
> (1,0,0,0), (0,-1, 1, 0), (0,-1,0,1), oder??
Ja, das ist auch eine Basis.
>
> Kannst du mir eventuell bei den anderen beiden Aufgaben
> auch helfen??
Klar!
Ich fände es aber passend, wenn Du die 2. jetzt mal allein versuchen würdest. Sie ist ja ähnlich und sollte mit dem nun Gelernten zu bewältigen sein.
Und wenn 1 und 2 stehen, kannst Du Dir schonmal Gedanken zu 3 machen und mit Deinen Lösungsansätzen nachfragen.
Bei 3. ist entscheidend: in Schnitt sind die Vektoren, die man soohl als Linearkombination der Basisvektoren von U als auch der von W schreiben kann.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Di 10.12.2013 | | Autor: | dodo1924 |
Hätte für Aufgabe 2 folgende Lösung:
mit b = -a und c = 2d
a * (1, -1, 0, 0) + d * (0,0,2,1) wäre die Basis (1,-1,0,0),(0,0,2,1) und dim(W) = 2
oder?
Und bei U [mm] \cap [/mm] W wären die Anforderungen:
c = 2d
b+c+d = b+2d+d = b + 3d = 0 --> b = -3d
a+b = a - 3d = 0 --> a = 3d
also würde ich dadurch d*(3,-3,2,1) herausbekommen!
Basis von [mm] U\capW [/mm] wäre (3,-3,2,1) und [mm] dim(U\capW) [/mm] = 1!
Richtig?
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> Hätte für Aufgabe 2 folgende Lösung:
>
> mit b = -a und c = 2d
>
> a * (1, -1, 0, 0) + d * (0,0,2,1) wäre die Basis
> (1,-1,0,0),(0,0,2,1) und dim(W) = 2
> oder?
Hallo,
ja, das ist eine Basis.
>
> Und bei U [mm]\cap[/mm] W wären die Anforderungen:
> c = 2d
> b+c+d = b+2d+d = b + 3d = 0 --> b = -3d
> a+b = a - 3d = 0 --> a = 3d
>
> also würde ich dadurch d*(3,-3,2,1) herausbekommen!
> Basis von [mm]U\capW[/mm] wäre (3,-3,2,1) und [mm]dim(U\capW)[/mm] = 1!
>
> Richtig?
Auch wenn ich nicht genau sehe, o Deine Gleichungen herkommen: das Ergebnis ist richtig.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> Sei U := {(a,b,c,d) | b + c + d = 0} ein Unterraum des ℝ4
> . Man bestimme eine Basis und die Dimension von U.
> (Anleitung: Wie lautet die allgemeine Lösung des LGS
> b+c+d=0? Was kann aus dieser Lösung abgelesen werden?)
> Sei W :={(a,b,c,d) | a + b = 0,c = 2d}ein Unterraum des
> ℝ4 .Wie lauten Basis und Dimension?
> Seien U und W wie in Bsp. 9. Man bestimme Basis und
> Dimension von
> U [mm]\cap[/mm] W ?
> Hi!
>
> Also, für U hätte ich mir folgendes gedacht:
> a kann in diesem fall ja beliebig sein (ich nehme für a
> mal 1) und für b+c+d=0 gibt es dann eigentlich nur
> folgende l.ua. vektoren:
> (1, 1, -1, 0), (1, 0, 1, -1), (1, 1, 0, -1), (1, 0,0,0)
> Das wäre nach meiner Lösung die Basis und dim(U) = 4
Noch eine ergänzende Bemerkung: Wäre [mm] $\dim(U)=4=\dim(\IR^4)\,,$ [/mm] so wäre nur
[mm] $U=\IR^4$ [/mm] möglich. Aber es ist $(0,0,0,1) [mm] \in \IR^4 \setminus U\,.$ [/mm]
Solche einfachen Überlegungen helfen auch, Deine Ergebnisse zu kontrollieren!
Gruß,
Marcel
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