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Basis und Dimension Vektorraum: Äquivalenz zeigen
Status: (Question) answered Status 
Date: 00:06 Mo 04/12/2017
Author: asg

Aufgabe
Zeigen Sie, dass in einem [mm] $\mathbb{K}$-Vektorraum [/mm] $V$ der Dimension $n$ jeweils $n$ Vektoren [mm] $v_1, \cdots, v_n \in [/mm] V$ genau dann eine Basis von $V$ bilden, wenn sie linear unabhängig sind.


Hallo,

bei dieser Aufgabe muss doch die folgende Äquivalenz gezeigt werden:

1. [mm] $v_1, \cdots, v_n \in [/mm] V $ mit $V [mm] \in \mathbb{K}^n$ [/mm] sind linear unabhängig [mm] $\Rightarrow v_1, \cdots, v_n$ [/mm] bilden eine Basis von $V$

2. [mm] $v_1, \cdots, v_n$ [/mm] bilden eine Basis von $V [mm] \in \mathbb{K}^n \Rightarrow v_1, \cdots, v_n$ [/mm] sind linear unabhängig und $V = [mm] span(v_1, \cdots, v_n)$ [/mm]

Oder?

(Ist das der Dimensionssatz oder wie heißt es??)
Eine Basis eines Vektorraums der Dimension $n$ hat genau $n$ Vektoren.

Deshalb können wir die 1. Implikation wie folgt zeigen:
Da [mm] $v_1, \cdots, v_n$ [/mm] genau $n$ Vektoren sind und per Voraussetzung linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis von V. Damit gilt die Implikation.

Beweis der 2. Implikation:
Aus dem Dimensionssatz folgt, jede Basis eines Vektorraums der Dimension $n$ besteht aus genau $n$ linear unabhängigen Vektoren.
[hier muss noch $V = [mm] span(v_1, \cdots, v_n)$ [/mm] gezeigt werden ...]

Bei der 2. Implikation bin ich mir gar nicht sicher ...
Sie ist doch eigentlich so zu sagen die Definition von Basis. Wie soll ich es denn zeigen?

Danke vorab für jede Hilfe

Viele Grüße
Asg



        
Bezug
Basis und Dimension Vektorraum: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 03:44 Mo 04/12/2017
Author: ChopSuey

Hallo,

> Zeigen Sie, dass in einem [mm]\mathbb{K}[/mm]-Vektorraum [mm]V[/mm] der
> Dimension [mm]n[/mm] jeweils [mm]n[/mm] Vektoren [mm]v_1, \cdots, v_n \in V[/mm] genau
> dann eine Basis von [mm]V[/mm] bilden, wenn sie linear unabhängig
> sind.
>  
> Hallo,
>  
> bei dieser Aufgabe muss doch die folgende Äquivalenz
> gezeigt werden:
>  
> 1. [mm]v_1, \cdots, v_n \in V[/mm] mit [mm]V \in \mathbb{K}^n[/mm] sind
> linear unabhängig [mm]\Rightarrow v_1, \cdots, v_n[/mm] bilden eine
> Basis von [mm]V[/mm]
>  
> 2. [mm]v_1, \cdots, v_n[/mm] bilden eine Basis von [mm]V \in \mathbb{K}^n \Rightarrow v_1, \cdots, v_n[/mm]
> sind linear unabhängig und [mm]V = span(v_1, \cdots, v_n)[/mm]
>  
> Oder?

Korrekt

>  
> (Ist das der Dimensionssatz oder wie heißt es??)
>  Eine Basis eines Vektorraums der Dimension [mm]n[/mm] hat genau [mm]n[/mm]
> Vektoren.
>  
> Deshalb können wir die 1. Implikation wie folgt zeigen:
>  Da [mm]v_1, \cdots, v_n[/mm] genau [mm]n[/mm] Vektoren sind und per
> Voraussetzung linear unabhängig sind, bilden sie eine
> Basis von V. Damit gilt die Implikation.

naja, das stimmt zwar, ist aber schon etwas knapp. Die Implikation sollst du ja gerade zeigen. Gerade bei solchen Aufgaben will man eigentlich, dass ihr Euch mit den Begriffen und Definitionen vertraut macht. Später müsst ihr bei solchen Beweisen nicht mehr so ausführlich sein, wenn es nicht verlangt wird.

Also, die Richtung "$ [mm] \Rightarrow [/mm] $": Sei $ [mm] \dim [/mm] V = n $ und $ [mm] v_1,...,v_n [/mm] $ linear unabhängig. Aus $ [mm] \dim [/mm] V = n $ folgt dass $ V $ eine Basis $B$ aus $ n $ Vektoren hat. Jede Basis ist maximal linear unabhängig und minimal erzeugend. Die Vektoren $ [mm] v_1,..,v_n$ [/mm] sind also bereits maximal linear unabhängig. Angenommen $ V $ ließe sich bereits durch $ k < n$ Vektoren erzeugen, dann wären $ [mm] v_1,...,v_k,...v_n$ [/mm] aber linear abhängig, was aber zum Widerspruch führt. Also sind $ [mm] v_1,...,v_n$ [/mm]  minimal erzeugend und bilden somit eine Basis von $ V $.

Die Rückrichtung  "$ [mm] \Leftarrow [/mm] $": Sei $ B = [mm] (v_1,...,v_n)$ [/mm] eine Basis von V. Dann gilt ....

Ab hier darfst du weitermachen.



>  
> Beweis der 2. Implikation:
>  Aus dem Dimensionssatz folgt, jede Basis eines Vektorraums
> der Dimension [mm]n[/mm] besteht aus genau [mm]n[/mm] linear unabhängigen
> Vektoren.
>  [hier muss noch [mm]V = span(v_1, \cdots, v_n)[/mm] gezeigt werden
> ...]
>  
> Bei der 2. Implikation bin ich mir gar nicht sicher ...
>  Sie ist doch eigentlich so zu sagen die Definition von
> Basis. Wie soll ich es denn zeigen?
>  
> Danke vorab für jede Hilfe
>  
> Viele Grüße
>  Asg
>  
>  

LG,
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
Basis und Dimension Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 04:12 Mo 04/12/2017
Author: asg

Hallo,

Dankeschön für die Hilfe in dieser späte Nacht :)

Ja, das kam mir alles knapp vor...

Wie geschrieben, für die Rückrichtung kann ich auch nur die Definition hinschreiben, was ja knapp ist:

> Die Rückrichtung  "[mm] \Leftarrow [/mm]": Sei [mm]B = (v_1,...,v_n)[/mm]
> eine Basis von V. Dann gilt ....
>  
> Ab hier darfst du weitermachen.
>  

Die Rückrichtung  "[mm] \Leftarrow [/mm]": Sei [mm]B = (v_1,...,v_n)[/mm] eine Basis von V. Dann gilt $B$ ist linear unabhängig und hat genau $n$ Vektoren.
$B$ ist bereits per Voraussetzung linear unabhängig und besteht aus $n$ Vektoren. Somit gilt die Implikation.

Mir fällt nichts besseres ein, als einfach die Definition zu wiederholen.

Ist es so in Ordnung?

Liebe Grüße
Asg


Bezug
                        
Bezug
Basis und Dimension Vektorraum: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 05:17 Mo 04/12/2017
Author: ChopSuey

Hallo,

> Hallo,
>  
> Dankeschön für die Hilfe in dieser späte Nacht :)
>  
> Ja, das kam mir alles knapp vor...
>  
> Wie geschrieben, für die Rückrichtung kann ich auch nur
> die Definition hinschreiben, was ja knapp ist:
>  
> > Die Rückrichtung  "[mm] \Leftarrow [/mm]": Sei [mm]B = (v_1,...,v_n)[/mm]
> > eine Basis von V. Dann gilt ....
>  >  
> > Ab hier darfst du weitermachen.
>  >  
>
> Die Rückrichtung  "[mm] \Leftarrow [/mm]": Sei [mm]B = (v_1,...,v_n)[/mm]
> eine Basis von V. Dann gilt [mm]B[/mm] ist linear unabhängig und
> hat genau [mm]n[/mm] Vektoren.
>  [mm]B[/mm] ist bereits per Voraussetzung linear unabhängig und
> besteht aus [mm]n[/mm] Vektoren. Somit gilt die Implikation.
>  
> Mir fällt nichts besseres ein, als einfach die Definition
> zu wiederholen.

Wie habt ihr denn die Dimension eines Vektorraumes $ V $ und wie habt ihr die Begriffe Basis und Erzeugendensystem definiert? Nach denen ist hier im Grunde gefragt. Hier eine etwas ausführlichere Variante:

"[mm] \Leftarrow [/mm]": Sei nun wieder $ [mm] \dim [/mm] V = n $ und [mm]B = (v_1,...,v_n)[/mm] eine Basis von V. Dann ist $ B$ ein minimales Erzeugendenstyem von $V$, d.h. $ span(B) = V$ und somit auch maximal linear unabhängig. Wäre [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] nicht linear unabhängig gäbe es mindestens einen Vektor [mm] $v_k \in [/mm] B$ der sich als Linearkombination der anderen Vektoren [mm] $v_i [/mm] \ (i [mm] \not=k)$ [/mm] darstellen lässt. Dann lassen sich aber alle Linearkombinationen von Vektoren aus $ B$ bereits mit Vektoren aus $ B [mm] \setminus \{v_k\}$ [/mm] darstellen und $ B$ ist kein minimales Erzeugendensystem, da sich $ V $ bereits durch $ B [mm] \setminus \{v_k\}$ [/mm] erzeugen lässt. Also müssen die $ [mm] v_1,...,v_n$ [/mm] maximal linear unabhängig sein.

Das Ganze hätte man, je nachdem wie eure Definitionen und bereits eingeführten Sätze lauten, aber deutlich kürzer machen können.

>  
> Ist es so in Ordnung?
>  
> Liebe Grüße
>  Asg
>  

LG,
ChopSuey

Bezug
                                
Bezug
Basis und Dimension Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 05:35 Mo 04/12/2017
Author: asg

Das sind die Definitionen:

Basis:
Seien [mm] $v_1, \cdots, v_n \in [/mm] V$ Vektoren in einem Vektorraum $V$.
Wir nennen [mm] $\{v_1, \cdots, v_n \}$ [/mm] eine Basis von $V$, wenn erfüllt sind:
1. Die Vektoren [mm] $\{v_1, \cdots, v_n \}$ [/mm] sind linear unabhängig.
2. $V  = [mm] span(v_1, \cdots [/mm] , [mm] v_n)$. [/mm]

Dimension:
Hat ein Vektorraum $V$ eine Basis $B = [mm] \{v_1, \cdots, v_n \}$ [/mm] mit $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] so sagt man die Dimension von $V$ ist $n$. Ist es
nicht möglich, eine (endliche) Basis von $V$ zu finden, so sagt man die Dimension von $V$ ist unendlich.

Der Begriff "Erzeugendes System" kommt im Skript nicht vor, aber ich weiß, was es ist. Z. B. eine Basis ist ein erzeugenden System mit minimaler Anzahl an Vektoren bzw. mit genau $n$ Vektoren mit $n=dimV$.

Wir haben die Definition vom Span:
[mm] $span(v_1, \cdots, v_k) [/mm] := [mm] \{\summe_{i=1}^{k}\mu_iv_i : \mu_1, \cdots, \mu_k \in \mathbb{R}\}$[/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Basis und Dimension Vektorraum: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 06:16 Mo 04/12/2017
Author: fred97


> Das sind die Definitionen:
>  
> Basis:
>  Seien [mm]v_1, \cdots, v_n \in V[/mm] Vektoren in einem Vektorraum
> [mm]V[/mm].
>  Wir nennen [mm]\{v_1, \cdots, v_n \}[/mm] eine Basis von [mm]V[/mm], wenn
> erfüllt sind:
>  1. Die Vektoren [mm]\{v_1, \cdots, v_n \}[/mm] sind linear
> unabhängig.
>  2. [mm]V = span(v_1, \cdots , v_n)[/mm].
>  
> Dimension:
>  Hat ein Vektorraum [mm]V[/mm] eine Basis [mm]B = \{v_1, \cdots, v_n \}[/mm]
> mit [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] so sagt man die Dimension von [mm]V[/mm] ist [mm]n[/mm].
> Ist es
>  nicht möglich, eine (endliche) Basis von [mm]V[/mm] zu finden, so
> sagt man die Dimension von [mm]V[/mm] ist unendlich.
>  
> Der Begriff "Erzeugendes System" kommt im Skript nicht vor,
> aber ich weiß, was es ist. Z. B. eine Basis ist ein
> erzeugenden System mit minimaler Anzahl an Vektoren bzw.
> mit genau [mm]n[/mm] Vektoren mit [mm]n=dimV[/mm].
>  
> Wir haben die Definition vom Span:
>   [mm]span(v_1, \cdots, v_k) := \{\summe_{i=1}^{k}\mu_iv_i : \mu_1, \cdots, \mu_k \in \mathbb{R}\}[/mm]


Allgemein: ist V ein K - Vektorraum und S eine Teilmenge von V, so heißt S ein Erzeugendensystem von V, wenn span(S)=V ist.

Bezug
                                                
Bezug
Basis und Dimension Vektorraum: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 06:48 Mo 04/12/2017
Author: asg

Hallo,

ok danke für die Hilfe.

Liebe Grüße
Asg

Bezug
                                
Bezug
Basis und Dimension Vektorraum: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 06:46 Mo 04/12/2017
Author: asg

Hallo,

vielen Dank für die tolle Unterstützung - sehr nett :)

Liebe Grüße
Asg

Bezug
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