Basis und Dimension bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:54 So 21.11.2010 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Gleichung: 3x + 8y-2z = 0. Zeigen Sie, dass der
Losungsraum L = {(x, y, z) [mm] \in\IR^3 [/mm] : 3x+8y-2z = 0} ein Untervektorraum
von [mm] \IR3 [/mm] ist. Berechnen Sie die Dimension von L und geben Sie eine Basis
an. |
braucht man nicht mindestens zwei gleichungen um die basis zu bestimmen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
> Gegeben sei die lineare Gleichung: 3x + 8y-2z = 0. Zeigen
> Sie, dass der
> Lösungsraum L = {(x, y, z) [mm]\in\IR^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: 3x+8y-2z = 0} ein
> Untervektorraum
> von [mm]\IR3[/mm] ist. Berechnen Sie die Dimension von L und geben
> Sie eine Basis
> an.
> braucht man nicht mindestens zwei gleichungen um die basis
> zu bestimmen?
Nein braucht man nicht. In diesem Fall besteht die Basis aus 2 Vektoren. Die kannst auch ablesen. Suche 2 linear unabhängig Vektoren, die das Gleichungssystem erfüllen. Fertig.
Du kannst auch die als Kern von [mm]\varphi(x,y,z)=3x+8y-2z[/mm] betrachten.
[mm]\IR^3=Bld(\varphi)\oplus Ker(\varphi)[/mm] Der Bildbereich ist offensichtlich ___ - dimensional. Deshalb ist der Kern ____ - dimensional.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Wo sind eigentlich eigene Ansätze.
Untervektorraumaxiome
(U1) [mm]0\in L[/mm]
(U2) [mm]a,b \in L \Rightarrow a+b \in L[/mm]
(U3) [mm]a\in L r\in \IR \Rightarrow ra\in L[/mm]
(U1)mach ich dir vor
[mm]\vec{0}=(0,0,0)^T[/mm] Dann [mm]3*0+8*0-2*0=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(U2) Sei [mm]a=(a_1,a_2,a_3)^T[/mm] mit [mm]3*a_1+8*a_2-2*a_3=0[/mm] und [mm]b=(b_1,b_2,b_3)^T[/mm] ... Was ist [mm]3*(a_1+b_1)+\ldots[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 So 21.11.2010 | | Autor: | kioto |
schuldigung, das mit den klammern hab ich übersehen
ist das also 3 dimensional?
was bedeutet [mm]?
3*a1+8*a2-(-2*a3)=0
3*b1+8*b2-(-2*b3)=0
3*(a1+b1)+8*(a2+b2)-(-2*(a3+b3)=0
habe ich damit gezeigt, dass (0,0,0) eine basis ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 21.11.2010 | | Autor: | kioto |
sollte das dritte nicht so sein
v [mm] \in [/mm] L, w [mm] \in \IR \Rightarrow [/mm] vw [mm] \in [/mm] L?
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ja das ist ein Tippfehler. wurde korrigiert.
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> schuldigung, das mit den klammern hab ich übersehen
Das passiert automatisch, wenn ein Syntaxfehler autritt. Das liegt nicht an dir, das wird durch einen serverseitigen Programmcode erzeugt
> ist das also 3 dimensional?
Nein.
> 3*a1+8*a2-2(a3)=0
> 3*b1+8*b2-2(b3)=0
> 3*(a1+b1)+8*(a2+b2)-2*(a3+b3)=0
> habe ich damit gezeigt, dass (0,0,0) eine basis ist?
Auch nicht. Eine Basis besteht aus linear unabhängigen Vektoren ungleich dem Nullvektor.
Besser so:
Voraussetzung [mm]3*a_1+8*a_2-2*a_3=0[/mm] und [mm]3*b_1+8*b_2-2*b_3=0[/mm] mit [mm]a_i,b_i \in \IR[/mm]Nun gilt[mm]3*(a_1+b_1)+8*(a_2+b_2)-2*(a_3+b_3)=3*a_1+8*a_2-2*a_3+3*b_1+8*b_2-2*b_3=0+0=0[/mm]
Du hast damit gezeigt, dass wenn die Vektoren a und b eine Lösung des homogenen Gleichungssystems sind, dann ist auch a+b eine Lösung vom homogenen Gleichungssystem, also [mm]a,b\in L \Rightarrow a+b\in L[/mm]
Kannst du den Kern der Abbildung (3,8,-2) bestimmen? Das sind gerade 2 Vektoren. Damit ist der Kern 2-dimensional.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 So 21.11.2010 | | Autor: | kioto |
das ist doch egal was für einen vektor ich nehme, solange am ende 0 steht, ist das linear unabhängig und ich kann es verwenden, stimmts?
> Kannst du den Kern der Abbildung (3,8,-2) bestimmen? Das
> sind gerade 2 Vektoren. Damit ist der Kern 2-dimensional.
warum 2 vektoren? ich sollte doch 2 verktoren dazu nehmen, oder nicht?
du sagtest, dass es offensichtlich 2 dimensional ist, warum offensichtlich?
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> das ist doch egal was für einen vektor ich nehme, solange
> am ende 0 steht, ist das linear unabhängig und ich kann es
> verwenden, stimmts?
>
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> > Kannst du den Kern der Abbildung (3,8,-2) bestimmen? Das
> > sind gerade 2 Vektoren. Damit ist der Kern 2-dimensional.
>
> warum 2 vektoren? ich sollte doch 2 verktoren dazu nehmen,
> oder nicht?
> du sagtest, dass es offensichtlich 2 dimensional ist,
> warum offensichtlich?
>
Noch einmal:
[mm]\varphi(x)=3x_1+8x_2-2x_3[/mm]
[mm]Ker(\varphi)=\{x\in\IR^3 | 3x_1 + 8x_2-2x_3 = 0\}=L[/mm]
Du hast ein unterbestimmtes Gleichungssystem [mm]3x_1 + 8x_2-2x_3 = 0[/mm] mit zwei freien Variablen. Daher ist der Lösungsraum 2-dimensional.
Du musst schon eigene Ansätze bringen. Hattest du schon eine analoge Aufgaben gelöst?
Möglichkeit für Begründung des Untervektorraum
Betrachte [mm]\varphi(x)=3x_1+8x_2-2x_3[/mm]. Es gilt [mm]Ker(\varphi)=L\Rightarrow[/mm] Behauptung.
Bestimmung Basisvektoren
1. Möglichkeit
setze [mm]x_1=0[/mm] und stelle um: [mm]x_2=\frac{1}{4}x_3[/mm]. Vektor [mm]\vektor{0 \\
0.25 \\
1}[/mm]
analog [mm]x_2=0[/mm] ... und [mm]x_3=0[/mm] ...
Damit gibt es drei Vektoren. Wähle zwei aus fertig. Alle drei wären linear abhängig.
2. Möglichkeit
betrachte Abbildungs-Matrix
[mm]\pmat{ 3 & 8 & -2 \\
0&0&0 \\
0&0&0 } \rightsquigarrow \pmat{ 1 & \frac{8}{3} & \frac{-2}{3} \\
0&0&0 \\
0&0&0 }[/mm]
und bestimme Kern mit "-1 Methode"
[mm]\pmat{ 1 & \blue{ \frac{8}{3}} & \blue{\frac{-2}{3}} \\
0&\blue{-1}&\blue{0} \\
0&\blue{0}&\blue{-1} }[/mm]
Die blauen Spalten sind Basisvektoren vom Kern=L
Du hast außerdem noch nicht das dritte Unterraumaxiom (U3) nachgewiesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 So 21.11.2010 | | Autor: | kioto |
ich hab das raus
3 8 -2
0 1/4 1
0 0 77
kann das sein?
das mit dem dritten axiom hab ich, danke!
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> ich hab das raus
> 3 8 -2
> 0 1/4 1
> 0 0 77
>
> kann das sein?
Was hast du gemacht? Du solltest schon konkret schreiben, was du gemacht hast. Im matheraum ist noch keine Kristallkugel installiert.
Schon alleine die 77 ist mir ein Rätsel.
>
> das mit dem dritten axiom hab ich, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 22.11.2010 | | Autor: | kioto |
ich hab mit deiner 1. möglichkeit weitergemacht und das kam raus, ich habs schon abgegeben, werd dann sehen was falsch war, trotzdem danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Sa 27.11.2010 | | Autor: | kioto |
kann man da eine basis fürs bild ablesen?
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Ja!
Ich hatte geschrieben:
> 2. Möglichkeit
> betrachte Abbildungs-Matrix
> [mm] \pmat{ 3 & 8 & -2 \\
0&0&0 \\
0&0&0 } \rightsquigarrow \pmat{ 1 & \frac{8}{3} & \frac{-2}{3} \\
0&0&0 \\
0&0&0 } [/mm]
> und bestimme Kern mit "-1 Methode"
> [mm] \pmat{ 1 & \blue{ \frac{8}{3}} & \blue{\frac{-2}{3}} \\
0&\blue{-1}&\blue{0} \\
0&\blue{0}&\blue{-1} } [/mm]
Jetzt nimmst du die Spalte, die nicht der Kern ist, also [mm] $(3,0,0)^T$ [/mm] eine Basis vom Bild. Achtung! Es gibt nicht die Basis!
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