Basis von C( R ) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i) Zeigen Sie, dass die Mengen
L1 = {x → [mm] x^n [/mm] : n ∈ [mm] \IN_{0} [/mm] },
L2 = {x → [mm] e^{ax}: [/mm] a ∈ [0, ∞) }
linear unabhängig im reellen Vektorraum C( [mm] \IR [/mm] ) sind.
(ii) Zeigen Sie, dass L1 und L2 keine Basen von C( [mm] \IR [/mm] ) definieren, das heißt nicht jede Funktion in C( [mm] \IR [/mm] ) ist als endliche Linearkombination von Elementen in L1 beziehungsweise L2 darstellbar.
(iii) Folgern Sie, dass es keine abzählbare Basis von C( [mm] \IR [/mm] ) gibt. |
Hallo!
Also im Prinzip scheint mir das klar, aber mit dem Aufschreiben klappt das gerade nicht so gut.
(i) Es erscheint mir klar, dass ich aus Linearkombinationen von zB x, [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^5 [/mm] nicht einfach [mm] x^4 [/mm] basteln kann.
Wenn ich mir endlich viele Punkte nehme, an denen eine Linearkombination (zB a*x + [mm] b*x^2 [/mm] + [mm] c*x^5) [/mm] mit meiner Wunschfunktion (zB [mm] x^4) [/mm] übereinstimmen soll, dann geht das ja wahrscheinlich nur für 3 (bzw n, Anzahl der linear kombinierten Funktionen) Punkte, weil ich so a,b,c direkt bestimmen kann. Aber darüber hinaus sollte das ja nicht gehen.
Aber wie zeige ich das formal?
(ii) Das Argument scheint mir hier ähnlich: sin(x) kann nur an endlichen vielen Punkten mit zB einem Polynom (gebildet aus L1) übereinstimmen. Aber wie zeigt man das?
(iii) Kann man analog zum endlich-dimensionalen Fall folgendes sagen: Wenn es eine abzählbare Basis geben würde, dann ist jede abzählbare linear unabhängige Menge eine Basis? Also wäre auch L1 eine, ist sie aber nicht!?
Ich würde mich sehr über ein paar Hinweise und Denkanstöße freuen 
- Spitzname3
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> (i) Zeigen Sie, dass die Mengen
> L1 = {x → [mm]x^n[/mm] : n ∈ [mm]\IN_{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
},
> L2 = {x → [mm]e^{ax}:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
a ∈ [0, ∞) }
> linear unabhängig im reellen Vektorraum C( [mm]\IR[/mm] ) sind.
>
> (ii) Zeigen Sie, dass L1 und L2 keine Basen von C( [mm]\IR[/mm] )
> definieren, das heißt nicht jede Funktion in C( [mm]\IR[/mm] ) ist
> als endliche Linearkombination von Elementen in L1
> beziehungsweise L2 darstellbar.
>
> (iii) Folgern Sie, dass es keine abzählbare Basis von C(
> [mm]\IR[/mm] ) gibt.
>
> Hallo!
>
> Also im Prinzip scheint mir das klar, aber mit dem
> Aufschreiben klappt das gerade nicht so gut.
>
> (i) Es erscheint mir klar, dass ich aus Linearkombinationen
> von zB x, [mm]x^2[/mm] und [mm]x^5[/mm] nicht einfach [mm]x^4[/mm] basteln kann.
> Wenn ich mir endlich viele Punkte nehme, an denen eine
> Linearkombination (zB a*x + [mm]b*x^2[/mm] + [mm]c*x^5)[/mm] mit meiner
> Wunschfunktion (zB [mm]x^4)[/mm] übereinstimmen soll, dann geht das
> ja wahrscheinlich nur für 3 (bzw n, Anzahl der linear
> kombinierten Funktionen) Punkte, weil ich so a,b,c direkt
> bestimmen kann. Aber darüber hinaus sollte das ja nicht
> gehen.
> Aber wie zeige ich das formal?
????? Dir scheint der Begriff "linear unabhängig" nicht klar zu sein !!!
>
> (ii) Das Argument scheint mir hier ähnlich: sin(x) kann
> nur an endlichen vielen Punkten mit zB einem Polynom
> (gebildet aus L1) übereinstimmen. Aber wie zeigt man das?
Nimm an, dass f(x)=sin(x) sich als Linearkombination der [mm] x^n [/mm] darstellen lässt.
Dann wäre f ein Polynom, hat also nur endlich viele Nullstellen in [mm] \IR. [/mm] Das ist aber nicht richtig.
>
> (iii) Kann man analog zum endlich-dimensionalen Fall
> folgendes sagen: Wenn es eine abzählbare Basis geben
> würde, dann ist jede abzählbare linear unabhängige Menge
> eine Basis? Also wäre auch L1 eine, ist sie aber nicht!?
Diese Argumentation ist falsch: nimm den Vektorraum P aller reellen Polynome
Die Menge [mm] \{x^{2n}: n \in \IN_0\} [/mm] ist abzählbar, sie ist linear unabhängig in P, aber keine Basis von P.
FRED
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> Ich würde mich sehr über ein paar Hinweise und
> Denkanstöße freuen
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> - Spitzname3
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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