Basis von Unterräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Mi 26.11.2008 | | Autor: | dennschu |
| Aufgabe | Im Vektorraum V = [mm] \IR^{4} [/mm] seien die Unterräume
U1 = [mm] \{{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} | -x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0}\} [/mm] und
U2 = Lin((−1, 1, 1, 2), (2,−1,−1, 2)) gegeben.
Geben Sie jeweils Basen für die Unterräume U1, U2, U1 [mm] \cap [/mm] U2 und (U1 + U2) an. |
Hallo, ich habe bei dieser Aufgabe doch einige Probleme:
Basis von [mm] U_{1}: v_{1}= \vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 0}, v_{2}= \vektor{3 \\ 5 \\ 8 \\ 0}, v_{3}= \vektor{-1 \\ -4 \\ -5 \\ 0}
[/mm]
Basis von [mm] U_{2}: [/mm] < [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 2}, \vektor{2 \\ -1 \\ -1 \\ 2} [/mm] >
Ist das soweit erstmal richtig?
Wie muss ich jetzt vorgehen? Wie kann ich den Schnitt der beiden berechnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Im Vektorraum V = [mm]\IR^{4}[/mm] seien die Unterräume
> U1 = [mm]\{{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} | -x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0}\}[/mm]
> und
> U2 = Lin((−1, 1, 1, 2), (2,−1,−1, 2))
> gegeben.
> Geben Sie jeweils Basen für die Unterräume U1, U2, U1 [mm]\cap[/mm]
> U2 und (U1 + U2) an.
> Hallo, ich habe bei dieser Aufgabe doch einige Probleme:
>
> Basis von [mm]U_{1}: v_{1}= \vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 0}, v_{2}= \vektor{3 \\ 5 \\ 8 \\ 0}, v_{3}= \vektor{-1 \\ -4 \\ -5 \\ 0}[/mm]
>
> Basis von [mm]U_{2}:[/mm] < [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 2}, \vektor{2 \\ -1 \\ -1 \\ 2}[/mm]
> >
>
> Ist das soweit erstmal richtig?
Hallo,
nein, die Basis von [mm] U_1 [/mm] stimmt nicht. Die Vektoren sind ja nicht linear unabhängig.
> Wie muss ich jetzt vorgehen?
Wenn Du eine richtige Basis gefunden hast, kannst Du die 5 Basisvektoren zusammen in eine matrix stellen, diese auf ZSF bringen und daraus eine Basis von [mm] U_1+U_2 [/mm] ablesen.
Wenn Du nicht weißt, wie das geht, poste die Matrix und ihre ZSF, dann kann Dir jemand helfen.
Wenn Du die Dimension von [mm] U_1+U_2 [/mm] hast, kannst Du schonmal über die Dimension von [mm] U_1\cap U_2 [/mm] nachdenken.
Den Schnitt kannst Du ja so berechnen, wie Du das in der Schule getan hast, wenn Du Ebenen zum Schnitt gebracht hast.
Gruß v. Angela
> Wie kann ich den Schnitt der
> beiden berechnen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mi 26.11.2008 | | Autor: | dennschu |
> nein, die Basis von [mm]U_1[/mm] stimmt nicht. Die Vektoren sind ja
> nicht linear unabhängig.
[mm] v_{1}= \vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 0}, v_{2}= \vektor{2 \\ 4 \\ 6 \\ -4}, v_{3}= [/mm] {3 [mm] \\ [/mm] 5 [mm] \\ [/mm] 8 [mm] \\ [/mm] 7}
Das ist eine Basis von [mm] U_{1}.
[/mm]
> Wenn Du eine richtige Basis gefunden hast, kannst Du die 5
> Basisvektoren zusammen in eine matrix stellen, diese auf
> ZSF bringen und daraus eine Basis von [mm]U_1+U_2[/mm] ablesen.
>
> Wenn Du nicht weißt, wie das geht, poste die Matrix und
> ihre ZSF, dann kann Dir jemand helfen.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 0\\ 2 & 4 & 6 & -4 \\ 3 & 5 & 8 & 7 \\ -1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 2} \Rightarrow \pmat{ 1 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Wie kann ich daraus jetzt eine Basis für [mm] (U_{1} [/mm] + [mm] U_{2}) [/mm] ablesen?
> Wenn Du die Dimension von [mm]U_1+U_2[/mm] hast, kannst Du schonmal
> über die Dimension von [mm]U_1\cap U_2[/mm] nachdenken.
>
>
> Den Schnitt kannst Du ja so berechnen, wie Du das in der
> Schule getan hast, wenn Du Ebenen zum Schnitt gebracht
> hast.
>
Mein Großes Problem ist ja, dass ich mir unter:
[mm] U_{2} [/mm] = Lin((−1, 1, 1, 2), (2,−1,−1, 2))
nichts vorstellen kann.
Wie soll ich das mit [mm] U_{1} [/mm] zum Schnitt bringen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mi 26.11.2008 | | Autor: | dennschu |
Ist die Basis von [mm] (U_{1} [/mm] + [mm] U_{2}) [/mm] eventuell:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ -2}, \vektor{0 \\ 0\\ -1 \\ 6}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
für [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] habe ich folgende Matrix aus den Basisvektoren der UR erstellt: [mm] \pmat{1 & 2 & 3 & 1 & -2\\ 1 & 4 & 5 & -1 & 1 \\ 2 & 6 & 8 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 7 & -2 & -2}
[/mm]
Lösung: [mm] (U_{1} \cap U_{2}) [/mm] = 22s [mm] \* \vektor{-38 \\ -5 \\ 16 \\ 44 \\ 22}
[/mm]
Das ergibt dann am Ende folgende Basis: [mm] B(U_{1} \cap U_{2}) [/mm] = [mm] \vektor{-38 \\ -5 \\ 16 \\ 44 \\ 22}
[/mm]
Oder setze ich die gegebenen Basisvektoren von [mm] U_{2} [/mm] in die Gleichung von [mm] U_{1} [/mm] ein?
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] = r [mm] \* \vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 2} [/mm] + s [mm] \* \vektor{-2 \\ 1 \\ 1 \\ -2} [/mm]
setze ich in [mm] -x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3}=0 [/mm] ein
und erhalte:
r = -2s
Das setze ich dann wieder in [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] = r [mm] \* \vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 2} [/mm] + s [mm] \* \vektor{-2 \\ 1 \\ 1 \\ -2} [/mm] ein und erhalte :
x = {s} [mm] \* \vektor{0 \\ -1 \\ -1 \\ -6}
[/mm]
Damit wäre die Basis von [mm] (U_{1} \cap U_{2}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ -1 \\ -6}
[/mm]
Welcher Weg ist denn der richtige? Ich glaube der zweite ist richtig, bin mir aber nicht sicher, oder ist es doch noch ein anderer?
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Hallo,
ich habe die Zeilenstufenform aus Deinem vorhergehenden Post nicht nachgerechnet.
Wenn sie richtig ist, dann stimmt die Basis für den Summenraum:
> Ist die Basis von [mm](U_{1}[/mm] + [mm]U_{2})[/mm] eventuell:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ -2}, \vektor{0 \\ 0\\ -1 \\ 6}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Das ergibt dann am Ende folgende Basis: [mm]B(U_{1} \cap U_{2})[/mm]
> = [mm]\vektor{-38 \\ -5 \\ 16 \\ 44 \\ 22}[/mm]
Das kann ja schon deshalb nicht sein, weil der Vektor 5 Komponenten hat.
> Oder setze ich die gegebenen Basisvektoren von [mm]U_{2}[/mm] in die
> Gleichung von [mm]U_{1}[/mm] ein?
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}[/mm] = r [mm]\* \vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> + s [mm]\* \vektor{-2 \\ 1 \\ 1 \\ -2}[/mm]
> setze ich in [mm]-x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}=0[/mm] ein
> und erhalte:
> r = -2s
>
> Das setze ich dann wieder in [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}[/mm]
> = r [mm]\* \vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 2}[/mm] + s [mm]\* \vektor{-2 \\ 1 \\ 1 \\ -2}[/mm]
> ein und erhalte :
> x = {s} [mm]\* \vektor{0 \\ -1 \\ -1 \\ -6}[/mm]
>
> Damit wäre die Basis von [mm](U_{1} \cap U_{2})[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ -1 \\ -6}[/mm]
Ja, dieses Ergebnis stimmt.
Gruß v. Angela
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> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 & 0\\ 2 & 4 & 6 & -4 \\ 3 & 5 & 8 & 7 \\ -1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 2} \Rightarrow \pmat{ 1 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
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> Wie kann ich daraus jetzt eine Basis für [mm](U_{1}[/mm] + [mm]U_{2})[/mm]
> ablesen?
Hallo,
so, wie Du's in Deinem anderen Post dann gemacht hast.
> Mein Großes Problem ist ja, dass ich mir unter:
>
> [mm]U_{2}[/mm] = Lin((−1, 1, 1, 2), (2,−1,−1, 2))
Das ist die menge der Linearkombinationen dieser beiden Vektoren.
Gruß v. Angela
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