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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Di 04.12.2012 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | | Finde eine Basis des Untervektorraums von [mm] \IR^{4} [/mm] aufgespannt durch die Vektoren: [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{4 \\ 8 \\ -4 \\ -3} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 3 \\ 4} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 1 \\ 4} [/mm] |
Hallo Zusammen
Könnt Ihr euch bitte meine Lösung anschauen und mir sagen, ob die korrekt ist oder ob noch was fehlt, etc.
Ich habe diese Vektoren in eine Matrix geschrieben und dann durch Spaltenvertauschen umgeformt.
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 0 & 2 \\ 2 & 8 & 1 & 5 \\ -1 & -4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 4 & 4} [/mm] --> Spaltenumformungen [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -3 & 0}
[/mm]
Somit sind folgende Vektoren eine mögliche Basis, wenn sie linear unabhängig sind:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 3 \\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ -3}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0} [/mm] + [mm] \beta [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 3 \\ 4} [/mm] + [mm] \gamma [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ -3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
--> [mm] \alpha [/mm] + [mm] 0*\beta [/mm] + [mm] 0*\gamma [/mm] = 0 --> [mm] \alpha [/mm] = 0
[mm] \beta [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 3 \\ 4} [/mm] + [mm] \gamma [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ -3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
--> [mm] \beta [/mm] + [mm] 0*\gamma [/mm] = 0 --> [mm] \beta [/mm] = 0
[mm] \gamma [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ -3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
--> [mm] \gamma [/mm] = 0
Somit ist dies eine Basis!
Vielen Dank für Eure Unterstützung!
Gruss Franhu
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 04.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Finde eine Basis des Untervektorraums von [mm]\IR^{4}[/mm]
> aufgespannt durch die Vektoren: [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0}[/mm]
> , [mm]\vektor{4 \\ 8 \\ -4 \\ -3}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 3 \\ 4}[/mm]
> , [mm]\vektor{2 \\ 5 \\ 1 \\ 4}[/mm]
> Hallo Zusammen
>
> Könnt Ihr euch bitte meine Lösung anschauen und mir
> sagen, ob die korrekt ist oder ob noch was fehlt, etc.
>
> Ich habe diese Vektoren in eine Matrix geschrieben und dann
> durch Spaltenvertauschen umgeformt.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4 & 0 & 2 \\ 2 & 8 & 1 & 5 \\ -1 & -4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 4 & 4}[/mm]
> --> Spaltenumformungen [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -3 & 0}[/mm]
>
> Somit sind folgende Vektoren eine mögliche Basis, wenn sie
> linear unabhängig sind:
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 3 \\ 4}[/mm] und
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ -3}[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0}[/mm] + [mm]\beta[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 3 \\ 4}[/mm]
> + [mm]\gamma[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ -3}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> --> [mm]\alpha[/mm] + [mm]0*\beta[/mm] + [mm]0*\gamma[/mm] = 0 --> [mm]\alpha[/mm] = 0
>
> [mm]\beta[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 3 \\ 4}[/mm] + [mm]\gamma[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ -3}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> --> [mm]\beta[/mm] + [mm]0*\gamma[/mm] = 0 --> [mm]\beta[/mm] = 0
>
> [mm]\gamma[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ -3}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> --> [mm]\gamma[/mm] = 0
>
> Somit ist dies eine Basis!
Alles bestens
FRED
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> Vielen Dank für Eure Unterstützung!
>
> Gruss Franhu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Di 04.12.2012 | | Autor: | Franhu |
Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung!
Gruss Franhu
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