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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Do 07.12.2006 | | Autor: | diego |
| Aufgabe | Sei V der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3 über [mm] \IR. [/mm] Seien [mm] p_{1} [/mm] = [mm] T^{2}+1, p_{2} [/mm] = [mm] T^{3}+T+1, p_{3} [/mm] = [mm] T^{3}+T^{2}+T [/mm] und [mm] p_{4} [/mm] = T+1.
1. Beweisen sie, dass [mm] p_{1}, p_{2}, p_{3}, [/mm] p{4} eine Basis von V ist.
2. Sei [mm] q=T^{2}+T. [/mm] Welche [mm] p_{i}, [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] 4, können Sie durch q ersetzen, so dass die Polynome weitehin eine Basis von V bilden? |
Hallo,
es geht doch wieder dem Ende zu...
Ich habe jetzt zuerst aus
[mm] p_{1} [/mm] = [mm] T^{2}+1
[/mm]
[mm] p_{2} [/mm] = [mm] T^{3}+T+1
[/mm]
[mm] p_{3} [/mm] = [mm] T^{3}+T^{2}+T
[/mm]
[mm] p_{4} [/mm] = T+1
ein LGS mit
r [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + s [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + u [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
aufgestellt.
Daraus würde folgen, dass die Vektoren linear Unabhängig sind.
Anschließend habe ich geschaut ob es ein Erzeugendensystem gibt (vgl. S.287)
Da A invertierbar ist, gibt es eine Lösung
[mm] \vektor{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4}} [/mm] = A^-1 [mm] \vektor{w \\ x \\ y \\ z}.
[/mm]
Reicht das schon? Bzw. ist das überhaupt richtig???
Für 2. habe ich mir überlegt, falls dies richtig sein sollte, könnte man es doch durch ausprobieren rausbekommen, oder?
Ich bin schon total verzweifelt,
liebe Grüße und schon mal vielen Dank,
Yvonne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei V der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3 über [mm]\IR.[/mm]
> Seien [mm]p_{1}[/mm] = [mm]T^{2}+1, p_{2}[/mm] = [mm]T^{3}+T+1, p_{3}[/mm] =
> [mm]T^{3}+T^{2}+T[/mm] und [mm]p_{4}[/mm] = T+1.
>
> 1. Beweisen sie, dass [mm]p_{1}, p_{2}, p_{3},[/mm] p{4} eine Basis
> von V ist.
> 2. Sei [mm]q=T^{2}+T.[/mm] Welche [mm]p_{i},[/mm] 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] 4, können Sie
> durch q ersetzen, so dass die Polynome weitehin eine Basis
> von V bilden?
> Hallo,
>
> es geht doch wieder dem Ende zu...
>
> Ich habe jetzt zuerst aus
>
> [mm]p_{1}[/mm] = [mm]T^{2}+1[/mm]
> [mm]p_{2}[/mm] = [mm]T^{3}+T+1[/mm]
> [mm]p_{3}[/mm] = [mm]T^{3}+T^{2}+T[/mm]
> [mm]p_{4}[/mm] = T+1
> ein LGS mit
> r [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] + s [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> + t [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + u [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> aufgestellt.
> Daraus würde folgen, dass die Vektoren linear Unabhängig
> sind.
Hallo!
Ja, das sind sie.
>
> Anschließend habe ich geschaut ob es ein Erzeugendensystem
> gibt (vgl. S.287)
Mit S. 287 kann ich natürlich nichts anfangen...
Wenn Du weißt, daß (1, T, [mm] T^2, T^3) [/mm] eine Basis des besagten Raumes ist, kannst du Dir das Erzeugendensystem sparen. Du weißt dann dim=4, also sind deine 4 linear unabhängigen Vektoren eine Basis.
> Da A invertierbar ist, gibt es eine Lösung
> [mm]\vektor{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4}}[/mm] = A^-1 [mm]\vektor{w \\ x \\ y \\ z}.[/mm]
Hier kann ich nur vermuten, was Du getan hast, und wenn es das ist, was ich vermute, ist es richtig.
> Reicht das schon? Bzw. ist das überhaupt richtig???
Ja.
>
> Für 2. habe ich mir überlegt, falls dies richtig sein
> sollte, könnte man es doch durch ausprobieren rausbekommen,
> oder?
Ja, das kannst du machen.
>
> Ich bin schon total verzweifelt,
Dafür gibt's keinen Grund bisher.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Vonnchen!
Schreib dir einfach mal nieder was ich gemacht hab obwohl dir angela ja schon einiges gesagt hat. Hoffe insgeheim das jemand das hier noch mal überfliegt und seinen Senf dazu gibt, weil so ein bisschen wirr bin ich auch. Denke diese Kurseinheit is echt ne 'kleine' Nuß. Nunja iss ja bald Weihnachten und da kriegt man hal auch mal nen bunten Teller.
Bin den selben Weg gegangen wie du also zeigen das [mm] p_1,\dots,p_4 [/mm] ein Erzeugendensystem bilden und dann die lineare Unabhängigkeit.
Bin mir im Moment nicht sicher ob im Script gezeigt wurde ob [mm] (1,x,x^2,x^3) [/mm] eine Basis von V ist, sollte das der Fall sein reicht natürlich wie Angela schon erwähnt hat die lineare Unabhängigkeit.
Nehmen wir also an [mm] p_1,\dots ,p_n [/mm] wären ein erzeugnis von V dann gibt es [mm] a_1,\dots ,a_4\in [/mm] V, so das:
[mm] $a_1\vektor{0\\T^2\\0\\1}+a_2\vektor{T^3\\0\\T\\1}+a_3\vektor{T^3\\T^2\\T\\0}+a_4\vektor{0\\0\\T\\1}=\vektor{b_1 T^3\\b_2 T^2\\b_3 T\\b_4}=v$ $\forall v\in [/mm] V$
also wenn
[mm] $\pmat{0&T^3&T^3&0\\T^2&0&T^2&0\\0&T&T&T\\1&1&0&1}\vektor{a_1\\a_2\\a_3\\a_4}=\vektor{b_1 T^3\\b_2 T^2\\b_3 T\\b_4}=v$ [/mm]
[mm] $\forall v\in [/mm] V$ eine Lösung besitzt.
Habe nun den Rang der KoeffizeintenMatrix bestimmt (ist 4) und da der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix auch nicht größer als 4 sein kann gibt es immer eine Lösung für das LGS.
Für lineare unabhaängigkeit dann die Determinante bestimmt und klar sind unabhängig.
zu 2)
da also [mm] P_1,\dots ,p_4 [/mm] eine Basis sind und [mm] $q\in [/mm] V$ gibt es [mm] $a_1,\dots,a_4\in [/mm] V$ mit
[mm] $a_1\vektor{0\\T^2\\0\\1}+a_2\vektor{T^3\\0\\T\\1}+a_3\vektor{T^3\\T^2\\T\\0}+a_4\vektor{0\\0\\T\\1}=\vektor{0\\T^2\\T\\0}=q$
[/mm]
aus dem Austauschlemma folgt ja das du genau die Vektoren 'austauschen darfst' deren Faktor [mm] $a_i\not=0$ [/mm] $i=1,2,3,4$
siehe dazu S298 im Script
Somit hast du genau ein Gleichungssystem zu lösen und weißt dann welche Vektoren ausgetauscht werden können.
und nu auf zu neuen Untaten 
MfG
Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Fr 08.12.2006 | | Autor: | diego |
Hallo,
erstmal vielen, vielen Dank für's kontrollieren!
ich habe jetzt Sashmans Vorschlag mal probiert - erschien mir dann doch schneller als ausprobieren.
Ich erhalte für [mm] a_{1} [/mm] = 0 und für [mm] a_{2} [/mm] = -1 und [mm] a_{3}, a_{4} [/mm] = 1.
Kann ich dann also q kann ich für alle, außer dem ersten Vektor, einsetzen. muss ich jetzt auch noch wie bei 1. zeigen, dass es wirklich Basen sind?
Gruß Yvonne
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