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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | Geben Sie für folgende Vektorräume jeweils eine Basis an:
a) {(x1, x2, x3) [mm] \in \IR^{3}; [/mm] x1 = x3}
b) {(x1,x2,x3,x4) [mm] \in \IR^{4}; [/mm] x1 +3x2 +2x4 =0,2x1 +x2 +x3 =0} |
Hallo Zusammen
Ich verstehe nicht wie man eine Basis eines Vektorraumes bestimmen kann, die Basis muss ein Erzeugendensystem sein und linear Unabhängig.
WIe weiss ich wie viele Vektoren ich für eine Basis brauche? braucht es einfach immer 2 linear unabhängige Vektoren für eine Basis? z.B wie die Einheitsvektoren (1,0) und (0,1) im [mm] R^2. [/mm]
Zu a) Ich weiss das X1 und X3 gleich sein müssen. Dann kann ich einfach 2 Vektoren nehmen, z.B v1 = (1,0,1) und v2 = (0,1,0) bei welchen x1 und x3 gleich sind und schon habe ich meine Basis?
Zu b) muss ich das GLS auflösen und dann kann ich auch 2 Vektoren erstellen und habe meine Basis?
Kann mir das jemand in einfachen Worten so gut wie möglich erklären?
Besten Dank und Gruss
Franhu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Mi 31.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Basis muss soviele Vektoren haben, wie die dimension des VE bzw des Unterraums. mit x1=x3 als UBR des [mm] \IR^3 [/mm] welche dimension hat der Raum? kannst du 7 lin unabhängige Vektoren darin finden du hast ja schon 2 kannst du damit alle linear kombinieren, die in dem UVR liegen?
ähnlich gehst du in 2 vor. nimm einen bel vektor der die 1 te gl erfüllt, und die 2 te, dann einen zweiten lin unabh#ngigen der dasselbe tut.
das GS aufzulösen ist auch eine Möglichkeit.
oft ist es am einfachsten eine oder mehrere der Komponenten 0 zu setzen, wie du es in 1 gemacht hast. und zuerst überlegen welche Dimension der UVR hat.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Franhu |
Ah ok, da x1 = x3 ist habe ich dim = 2, das heisst es genügen 2 Vektoren für die Basis. Aber ich verstehe auch bei a) nicht ganz wie ich den Wert für x2 wählen muss bzw kann ich den einfach frei wählen?
zu b) ich habe das GlS aufgelösst. da ich ja nur 2 gleichungen habe aber 4 unbekannten habe ich x1 = t und x2 = r gesetzt und dann x3 und x4 dadurch ausgedrückt.
x1 = t
x2 = r
x3 = -2t - r
x4 = (-t-3r)/2
Aber wie muss ich jetzt genau weitermachen? ich kann ja jetzt vektoren bilden, in dem ich für t und r irgendwelche werte einsetzte. Bin ich da auf dem richtigen Weg?
Gruss und Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mi 31.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
genau richtig. nur so dass die vektoren lin unabh bleiben. sicher wenn man eines 0 das andere 1 und dann umgekehrt!
Gruss leduart
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