Basis von m x n - Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein sehr allgemeines Problem bei obiger Aufgabenstellung, mir fehlt nämlich jeglicher Ansatz. Zwar ist mir klar, dass die Basis eines Raums aus linear unabhängigen Vektoren bestehen muss, allerdings weiß ich dieses Wissen nicht umzusetzen.
Meine Aufgabe besteht darin, eine Basis der m x n Matrizen mit n*m Elementen zu finden. Ich dachte jetzt an etwas dieser Art;
[mm] \pmat{ 1 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ...} [/mm] + ... +
[mm] \pmat{ 0 & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & 0 & 1}
[/mm]
(n Spalten, m Zeilen)
Aber das finde ich irgendwie nicht sinnvoll & eher zu speziell. Könnte mir da jemand weiterhelfen?
Mit vielem Dank im Voraus,
moatilliatta
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Hallo,
wieso ist dir diese Basis zu speziell. Die Menge [mm] $\{ \pmat{ 1 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ...} , \pmat{ 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ...},..., \pmat{ 0 & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & 1 & 0} , \pmat{ 0 & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & 0 & 1} \}$ [/mm] mit m Zeilen und n Spalten ist linear unabhängig(warum?) und hat offensichtlich m*n Elemente. Das bedeutet.... ?
Viele Grüße
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Weil sich mit den Vektoren alle anderen Vektoren darstellen lassen und sie selber nicht mit anderen Vektoren dargestellt werden können. Lapidar gesagt. Die Dimension der m x n - Matrizen ist ja somit n * m. Reicht es einfach durch Beweis (oder Gegenbeweis) zu zeigen, dass die o.g. Vektoren lin. unabhängig sind?
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Hallo moattiliatta,
> Weil sich mit den Vektoren alle anderen Vektoren darstellen
> lassen und sie selber nicht mit anderen Vektoren
> dargestellt werden können. Lapidar gesagt. Die Dimension
> der m x n - Matrizen ist ja somit n * m. Reicht es einfach
> durch Beweis (oder Gegenbeweis) zu zeigen, dass die o.g.
> Vektoren lin. unabhängig sind?
Das ist arg schwammig, die Dimension des VRes der [mm] $m\times [/mm] n$-Matrizen ist offensichtlich [mm] $n\cdot{}m$
[/mm]
Wenn du zeigen kannst, also vorrechnen, dass die obigen Matrizen ein EZS bilden, hast du gewonnen, dann hast du ein minimales EZS, mithin eine Basis.
Du solltest also das, was du in deinem ersten Satz blumig umschreibst, noch kurz mathematisieren 
Nimm dir eine bel. [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix [mm] $A=\pmat{a_{11}&...&...&...&a_{1n}\\a_{21}&...&...&...&a_{2n}\\\vdots{}&\vdots{}&\vdots{}&\vdots{}&\vdots{}\\\vdots&\vdots{}&\vdots{}&\vdots{}&\vdots{}\\a_{m1}&...&...&...&a_{mn}}$ [/mm] her und schreibe kurz die gesuchte LK hin, dann hast du's schon
LG
schachuzipus
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