Basis zeigen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Di 28.11.2006 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über [mm] \IR [/mm] und [mm] {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}} [/mm] eine Familie linear unabhängiger Vektoren in V. Bestimmen sie je eine Basis der folgenden Teilräume:
U=< [mm] v_{1}-v_{2}, v_{2}-v_{3}, v_{3}-v_{4}, v_{4}-v_{1} [/mm] > |
Es ist mir offensichtlich, dass dies keine Basis ist, da sich alle Vektoren zu Null addieren, wenn das Skalar z.B. 1 ist. Also lasse ich einfach mal den letzten Weg.
[mm] U_{1}=< v_{1}-v_{2}, v_{2}-v_{3}, v_{3}-v_{4} [/mm] >
Meine Frage: Ist dies eine Basis von U? Wenn ja, wie zeige ich, dass die Vektoren linear unabhängig sind?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Di 28.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Antwort hast du doch schon gegeben,
sie sind linear unabh. ,wenn es KEINE Linearkomb. gibt mit Koeffizienten [mm] \ne [/mm] 0.
dabei weisst du , dass es für die [mm] v_i [/mm] keine solche Linearkomb. gibt, da sie ja eine Basis von V sind.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Di 28.11.2006 | | Autor: | Fuffi |
Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp geben, wie ich zeigen kann, dass es keine Linearkombination mit Koeffizienten [mm] \not= [/mm] 0 gibt? Wir hatten noch ein zweites Beispiel wo es offensichtlich war aber hier hänge ich wohl an einer Stelle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Di 28.11.2006 | | Autor: | thisby |
also zwei Vektoren [mm] v_{1},v_{2} [/mm] sind doch liniear unabhängig wenn die Gleichung [mm] \alpha\*v_{1}+\beta\*v_{2}=0 [/mm] nur die triviale Lösung, also [mm] \alpha=\beta [/mm] = 0 hat.
Gruß
Thisby
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