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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Mi 10.03.2010 | | Autor: | neu_ling |
A = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
X = [mm] \pmat{ x & y \\ y & z }
[/mm]
V = Vektorraum der reellen symmetrischen 2 x 2 Matrizen
Gesucht: Matrix Endomorphismus von V mit
X [mm] \mapsto AXA^{t}
[/mm]
bzgl. geeigneter Basis.
Mein bisheriges Vorgehen:
Ich habe die Matrix [mm] AXA^{t} [/mm] ausgerechnet und erhalte die Matrix
X' = [mm] \pmat{ 4x+4y+z & 2y+z \\ 2y+z & z }
[/mm]
Wie finde ich nun die Abbildungsmatrix bzgl. einer Basis? Die Matrix muss ja reell sein, dann finde ich aber keine lineare Abbildung.
gruzz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Mi 10.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> A = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
> X = [mm]\pmat{ x & y \\ y & z }[/mm]
> V
> = Vektorraum der reellen symmetrischen 2 x 2 Matrizen
>
> Gesucht: Matrix Endomorphismus von V mit
> X [mm]\mapsto AXA^{t}[/mm]
> bzgl. geeigneter Basis.
>
> Mein bisheriges Vorgehen:
> Ich habe die Matrix [mm]AXA^{t}[/mm] ausgerechnet und erhalte die
> Matrix
>
> X' = [mm]\pmat{ 4x+4y+z & 2y+z \\ 2y+z & z }[/mm]
>
> Wie finde ich nun die Abbildungsmatrix bzgl. einer Basis?
> Die Matrix muss ja reell sein, dann finde ich aber keine
> lineare Abbildung.
>
> gruzz
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wir tasten uns mal langsam vor.
Es ist also V = Vektorraum der reellen symmetrischen 2 x 2 Matrizen und
[mm] \phi:V \to [/mm] V gegeben durch: [mm] $\phi(X) [/mm] = [mm] AXA^t$
[/mm]
Zunächst: welche Dimension hat V ? Kannst Du eine Basis von V angeben ?
Sei [mm] B_1, [/mm] ..., [mm] B_n [/mm] eine Basis von V. Dann hat für j [mm] \in [/mm] {1, .., n } das Bild [mm] \phi(B_j) [/mm] die eindeutige Darstellung
[mm] \phi(B_j) [/mm] = [mm] \alpha_{1j}B_1+ [/mm] ...+ [mm] \alpha_{nj}B_n
[/mm]
Wie sieht die j-te Spalte der Abbildungsmatrix von [mm] \phi [/mm] aus ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Mi 10.03.2010 | | Autor: | neu_ling |
also ich bin der Meinung, dass V die Dimension 2 hat, da sie 2 Basisvektoren enthält... nämlich
[mm] B=<{\vektor{x \\ y},\vektor{y \\ z}}>, [/mm] da diese linear unabhängig sind.
also, wenn ich jetzt sage
$ [mm] \phi(B_{1}) $=a_{1}*\vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] a_{2}*\vektor{y \\ z}=\vektor{4x+4y+z \\ 2y+z}
[/mm]
dann kann ich ja das z nicht herstellen...
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Hallo neu_ling,
> also ich bin der Meinung, dass V die Dimension 2 hat, da
> sie 2 Basisvektoren enthält... nämlich
> [mm]B=<{\vektor{x \\ y},\vektor{y \\ z}}>,[/mm] da diese linear
> unabhängig sind. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie willst du denn mit diesen Vektoren [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen erzeugen???
Allg. ist der VR der [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen mit Einträgen aus einem Körper [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] isomorph zum [mm] $\mathbb{K}^{2\cdot{}2}=\mathbb{K}^4$, [/mm] hat also Dimension 4.
Die Standardbasis ist [mm] $\mathcal{B}=\left\{\pmat{1&0\\0&0},\pmat{0&1\\0&0},\pmat{0&0\\1&0},\pmat{0&0\\0&1}\right\}$
[/mm]
Und die symmetrischen Matrizen [mm] $\pmat{x&y\\y&z}$ [/mm] kannst du doch offensichtlich darstellen als [mm] $x\cdot{}\pmat{1&0\\0&0}+y\cdot{}\pmat{0&1\\1&0}+z\cdot{}\pmat{0&0\\0&1}$
[/mm]
$V$ ist also 3-dimensionaler UVR des VRes der [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen.
Versuch's damit nochmal weiter ...
>
> also, wenn ich jetzt sage
> [mm]\phi(B_{1})[/mm][mm] =a_{1}*\vektor{x \\ y}[/mm] + [mm]a_{2}*\vektor{y \\ z}=\vektor{4x+4y+z \\ 2y+z}[/mm]
>
> dann kann ich ja das z nicht herstellen...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mi 10.03.2010 | | Autor: | neu_ling |
Ja, so macht das natürlich mehr Sinn. Also, dann hab ich mal weitergerechnet:
[mm] \phi(B_{1}) [/mm] = [mm] a_{1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] a_{2}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] a_{3}\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 0}
[/mm]
[mm] a_{1}=4, a_{2}=0, a_{3}=0
[/mm]
[mm] \phi(B_{2}) [/mm] = [mm] a_{1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] a_{2}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] a_{3}\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1}
[/mm]
[mm] a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=1
[/mm]
[mm] \phi(B_{3}) [/mm] = [mm] a_{1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] a_{2}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] a_{3}\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 0}
[/mm]
[mm] a_{1}=4, a_{2}=0, a_{3}=2
[/mm]
Wie stelle ich jetzt die Abbildungsmatrix her?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Mi 10.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja, so macht das natürlich mehr Sinn. Also, dann hab ich
> mal weitergerechnet:
>
> [mm]\phi(B_{1})[/mm] = [mm]a_{1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]a_{2}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> + [mm]a_{3}\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 0}[/mm]
>
> [mm]a_{1}=4, a_{2}=0, a_{3}=0[/mm]
Diese Zahlen sind die 1. Spalte der gesuchten Matrix
>
> [mm]\phi(B_{2})[/mm] = [mm]a_{1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]a_{2}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> + [mm]a_{3}\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1}[/mm]
>
> [mm]a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=1[/mm]
2. Spalte
>
> [mm]\phi(B_{3})[/mm] = [mm]a_{1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]a_{2}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> + [mm]a_{3}\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 0}[/mm]
>
> [mm]a_{1}=4, a_{2}=0, a_{3}=2[/mm]
3. Spalte
FRED
>
> Wie stelle ich jetzt die Abbildungsmatrix her?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mi 10.03.2010 | | Autor: | neu_ling |
aber wie geht das, dass meine Matrix eine 3 x 3 Matrix ist? Beispielsweise, wenn ich eine Basis abbilden will 2 x 2, wie soll ich dann die Multiplikation durchführen?
[mm] X\in Mat(\IR,2\times2)
[/mm]
[mm] AXA^{t}\in Mat(\IR,2\times2)
[/mm]
jetzt müsste doch gelten mit der Abbildungsmatrix B [mm] \in Mat(\IR,3\times3)
[/mm]
[mm] BX=AXA^{t} [/mm]
aber die Multiplikation ist ja so ungültig?!
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> aber wie geht das, dass meine Matrix eine 3 x 3 Matrix ist?
> Beispielsweise, wenn ich eine Basis abbilden will 2 x 2,
> wie soll ich dann die Multiplikation durchführen
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich gehe davon aus, daß die Abbildungsmatrix, die [mm] 3\times [/mm] 3 -Matrix M jetzt steht.
Nun ist [mm] \phi(X) [/mm] nicht etwa M*X.
Sondern: Du mußt die Matrix M mit dem Vektor des [mm] \IR^3 [/mm] multiplizieren, welcher der Koordinatenvektor von X bzgl der von Dir gewählten Basis [mm] (B_1, B_2, B_3) [/mm] ist.
Auch das Ergebnis ist ein Spaltenvektor - der Koordinatenvektor des Bildes [mm] \phi(X) [/mm] in Koordinaten bzgl. der obigen Basis.
Gruß v. Angela
>
> [mm]X\in Mat(\IR,2\times2)[/mm]
> [mm]AXA^{t}\in Mat(\IR,2\times2)[/mm]
>
> jetzt müsste doch gelten mit der Abbildungsmatrix B [mm]\in Mat(\IR,3\times3)[/mm]
>
> [mm]BX=AXA^{t}[/mm] ?
> aber die Multiplikation ist ja so ungültig?!
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