Basisbestimmung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hätte eine kurze (wahrscheinlich einfache Frage) zum Thema Basisbestimmung. Die Aufgabe lautet wie folgt:
Bestimme Basen zu folgenden Unterräumen des [mm] R^3:
[/mm]
a) Ebene: 3x-2y+5z=0
b) Gerade: x=2t, y=-t, z=4t
c) alle Vektoren (a,b,c) mit b=a+c
Habe mir mit dem Nullpunkt zwei Richtungsvektoren berechnet. Ist der Normalvektor dazu dann der dritte Vektor, den ich für die Basis brauche? Bei b) u c) weiß ich nicht wirklich was ich machen soll.
Würde mich sehr freuen, wenn mir wer helfen könnte.
Lg Manabago
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Hi, Manabago,
> Hätte eine kurze (wahrscheinlich einfache Frage) zum Thema
> Basisbestimmung. Die Aufgabe lautet wie folgt:
> Bestimme Basen zu folgenden Unterräumen des [mm]R^3:[/mm]
> a) Ebene: 3x-2y+5z=0
> b) Gerade: x=2t, y=-t, z=4t
> c) alle Vektoren (a,b,c) mit b=a+c
>
> Habe mir mit dem Nullpunkt zwei Richtungsvektoren
> berechnet.
Du meinst Aufgabe a), stimmt's?
Dann ist Deine Vorgehensweise OK!
> Ist der Normalvektor dazu dann der dritte
> Vektor, den ich für die Basis brauche?
Eine Ebene ist ein ZWEI-dimensionaler Unterraum:
da braucht man nur [mm] \red{2} [/mm] Basisvektoren!
Zudem zeigt ja der Normalenvektor aus der Ebene raus, kann somit nicht für die Basis gebraucht werden!
> Bei b) u c) weiß ich
> nicht wirklich was ich machen soll.
b) ist eine Nullpunktsgerade. Eine Gerade hat als Unterraum die Dimension 1. Daher genügt der Richtungsvektor von g als Basis.
Mit c) kann ich aber auch nichts anfangen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Danke erstmal für die hilfreiche Antwort (das geht aber flott ;). Für a) kann ich also zB (3,2,-1) und (1,9,3) als Basis verwenden!?!
Bei b) ist dann (2, -1, 4) eine Basis!? Dann hätt ich noch etwas für euch:
Ermittle eine Basis des Teilraumes des [mm] R^5, [/mm] der aus allen Vektoren [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) [/mm] besteht, die folgendes Gleichungssystem erfüllen:
[mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3} x_{3} [/mm] - [mm] x_{4} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} x_{3} [/mm] - [mm] x_{5} [/mm] = 0
[mm] 9x_{1} [/mm] - [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] - [mm] 3x_{4} [/mm] - [mm] 3x_{5} [/mm] = 0
Hab keine Idee, wie ich das angehen könnte. Bitte helft mir ;)!!
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Hi, Manabago,
> Danke erstmal für die hilfreiche Antwort (das geht aber flott ;).
Tja: Zwergerl sind schnell!
> Für a) kann ich also zB (3,2,-1) und (1,9,3) als
> Basis verwenden!?!
Richtig!
> Bei b) ist dann (2, -1, 4) eine Basis!?
Auch OK!
> Dann hätt ich noch etwas für euch:
>
> Ermittle eine Basis des Teilraumes des [mm]R^5,[/mm] der aus allen
> Vektoren [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5})[/mm] besteht, die
> folgendes Gleichungssystem erfüllen:
>
> [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]\bruch{4}{3} x_{3}[/mm] - [mm]x_{4}[/mm] = 0
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]\bruch{2}{3} x_{3}[/mm] - [mm]x_{5}[/mm] = 0
> [mm]9x_{1}[/mm] - [mm]3x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] - [mm]3x_{4}[/mm] - [mm]3x_{5}[/mm] = 0
>
> Hab keine Idee, wie ich das angehen könnte. Bitte helft mir ;)!!
Kennst Du das Gauß-Verfahren?
Dann wandle Dein LGS erst mal in die obere Dreiecksform um!
Ich geh' mal davon aus (nachgerechnet hab' ich's nicht!), dass die 3. Zeile KEINE Nullzeile wird. Somit ist die Dimension Deines Unterraums 2 und Du kannst zwei Parameter frei festlegen, z.B. [mm] x_{4} [/mm] = [mm] \lambga; x_{5} [/mm] = [mm] \mu.
[/mm]
Die anderen Koordinaten bestimmst Du in Abhängigkeit dieser Parameter und schreibst das Ganze in Form einer Ebene im [mm] \IR^{5}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Du meinst also, ich sollte zB [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] eliminieren, dann hab ich nur mehr 1 Gleichung mit 3 Unbekannten. Soweit is ja alles klar, aber was hat das mit der Dimension auf sich? Und das mit der Ebene ist auch noch nicht so klar. Ich hab übrigens festgestellt, dass die dritte Zeile das 3-fache der Summe der beiden ersten Bedingungen ist, hilft das was? Ich glaub ich steh ordentlich auf der Leitung. Hoffe, du nimmst dir noch mal Zeit :)! Danke!
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Hi, Manabago,
schreib' doch mal hin, was Du nach Verwendung des Gauß-Verfahrens rauskriegst!
Übrigens: Wenn Du Recht hast mit Deiner Bemerkung zur 3. Zeile, dann hat der Unterraum sogar die Dimension 3 und Du kannst noch einen dritten Parameter frei festlegen, z.B. [mm] x_{3}=\nu.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Habe die 1. Gleichung mit (-3) multipliziert und zur 3. Gleichung addiert. Dann bekommt man folgende Gleichung: [mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{3} -3x_{5}=0. [/mm] Jetzt kann man diese mit der 2. Gleichung kombinieren. Dann fallen aber alle Unbekannten weg, und ich hab 0=0. Und jetzt steh ich wieder vollkommen an... SOS. Lg
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Hi, Manabago,
ich geh' mal davon aus, dass Du Dich nicht verrechnet hast.
Dann bleiben also zwei unabhängige Gleichungen übrig:
(I) [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} +4/3x_{3} [/mm] - [mm] x_{4}=0
[/mm]
und
(II) [mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] - [mm] 3x_{5} [/mm] = 0.
3 Freiheitsgrade (da nur zwei Gleichungen für fünf Unbekannte!),
z.B.: [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \lambda; x_{4} [/mm] = [mm] \mu; x_{5} [/mm] = [mm] \nu.
[/mm]
Eingesetzt in (II) erhältst Du [mm] x_{1} [/mm] = [mm] -2/3*\lambda [/mm] + [mm] \nu
[/mm]
Eingesetzt in (I) ergibt sich noch [mm] x_{2} [/mm] = [mm] 2*\nu [/mm] - [mm] \mu.
[/mm]
Also: [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}} [/mm] = [mm] \vektor{ -2/3*\lambda + \nu \\ 2*\nu - \mu \\ \lambda \\ \mu \\ \nu} [/mm]
bzw. [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \lambda*\vektor{-2/3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \nu*\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
(Hier musst Du genau nachprüfen, da allein schon das Eintippen wahnsinnig schwierig ist!)
Die 3 Vektoren sind dann natürlich Basis des Unterraums.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Vielen Dank für deine Hilfe. Jetzt versteh ich das endlich. Eine sehr elegante Lösung. ;)!
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