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| Aufgabe | Es sei
a = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm]
b = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]
c = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
d = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Welche der Vektoren bilden eine Basis des durch diese Vektoren aufgespannten Raumes? |
Hi,
also soweit ich das verstanden habe, können alle vier Vektoren gemeinsam keine Basis bilden, weil diese linear abhängig sind. (für mich logisch zumal mehr Vektoren als Dimensionen gegeben sind)
Ich habe schon bereits den Rang dieser Vektoren bestimmet -> Rang = 3 (durch Gauß und beispielsweise Determinante von a,b,c - welche ungleich Null ist -> maximaler Rang = 3)
Ist die Anwort für dieses Beispiel beispielsweise a,c und d? Warum kann ich nicht einfach sagen die Basis ist die kanonische Basis? Ich erkenne nämlich keine drei Vektoren, mit welchen jeder der einzelnen Vekoren als Linearkombination darstellbar ist.
Ich bitte um einen kurzen Denkanstoß, bzw. eine systematische Methode, wie man hier eine Basis "herauskitzelt".
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Di 05.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du suchst einen Vektor, den du als Linarkombination der anderen darstellen kannst, wenn du deine Vektoren als ZEILEN in eine 4x3 Matrix schreibst und dann bis zur Zeilenstufenform umformst, hast du durch die neuen Zeilen eine Basis des aufgespannten Raumes gegeben, aber du willst ja eigentlich eine Basis aus den alten Vektoren bilden.
Dazu musst du dir jede Zeilenvertauschung "merken" - diejenige Zeile, die zum Schluß zur Nullzeile geworden ist, ist linear abhängig von den anderen - wenn du dir die ganze Zeit über "merkst", welche Zeile welchem Vektor entspricht, weißt du dies am ende also auch.
Beispiel:
wenn du während der zeilenumformungen einmal zeile 2 mit zeile 4 tauschst und später noch zeile 3 mit zeile 4 tauschst , dann entspricht die erste zeile immernoch dem ersten vektor, die zweite zeile dem vierten vektor, die dritte zeile den zweiten vektor und die vierte zeile dem dritten Vektor
wenn also beispielsweise die letzten beiden Zeilen zu Nullzeilen geworden wären, wäre der erste und der vierte Vektor zusammen eine Basis.
falls du noch ein wenig mehr lesen willst:
read?t=134998
read?t=135995
viele Grüße
DaMenge
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Achso, also denkst du, dass mit "DER VEKTOREN" nicht drei der vier Vektoren aus der Angabe gemeint sind, sondern drei Vektoren laut deinem Lösungsweg gesucht sind?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mi 06.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ich denke schon, dass man drei der vier gegebenen Vektoren bestimmen soll, die eine Basis bilden.
Aber ich hatte doch auch geschrieben, wie man das allgemein machen könnte.
:-?
viele Grüße
DaMenge
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OK, die Vektoren a,b,c sind linear unabhängig -> Lösung: Die Vektoren a,b,c bilden ein Basis!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Fr 08.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
wenn du dies alles auch bewiesen hast, ist es richtig.
viele Grüße
DaMenge
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