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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Sa 22.07.2006 | | Autor: | Wiwie |
| Aufgabe | [mm] A_{e1,e2,e3} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 }
[/mm]
b1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, [/mm] b2 = [mm] \bruch{1}{ \wurzel{2}} \* \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, [/mm] b3 = [mm] \bruch{1}{ \wurzel{2}} \* \vektor{0 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Die Matrix A ist in der üblichen Basis e1, e2, e3 dargestellt.
c) Stellen Sie die Matrix A in der Basis b1, b2, b3 dar. |
Ich verzweifle gerade an den ganzen verschiedenen Formeln und Aneinanderreihungen von Matrizenmultiplikationen, die scheinbar alle so ähnlich sind, aber irgendwie etwas andres bewirken...
Mein Hauptproblem ist, dass ich mir Formel nur merken kann, wenn ich sie verstehe, und das ist leider bei einigen nicht der Fall, jedenfalls noch nicht sicher...
Ich war bis vor kurzem noch davon überzeugt, die Aufgabenstellung wie folgt lösen zu können:
Da B Orthonormalbasis: [mm] B^{-1} [/mm] = [mm] B^{t}, [/mm] also gilt:
[mm] A_{b1,b2,b3} [/mm] = B [mm] \* A_{e1,e2,e3} \* B^{t}
[/mm]
Nun kam allerdings von außen die Kritik, dass man die normale Formel
A' = B [mm] \* [/mm] A [mm] \* B^{t} [/mm]
umstellen muss nach A, also:
[mm] B^{t} \* [/mm] A' = [mm] B^{t} \* [/mm] B [mm] \* [/mm] A [mm] \* B^{t}
[/mm]
[mm] B^{t} \* [/mm] A' [mm] \* [/mm] B = A [mm] \* B^{t} \* [/mm] B
[mm] B^{t} \* [/mm] A' [mm] \* [/mm] B = A
Und diesen Schritt konnte ich absolut nicht nachvollziehen...
Nun bin ich total verwirrt und habe mir außerdem die Frage gestellt, was denn rauskäme, wenn ich einfach
A' = [mm] B^{t} \* [/mm] A
berechnen würde, inhaltlich stellt diese Operation doch Projektionen der Spaltenvektoren von B auf die Spaltenvektoren von A dar, würde mir also die "Längen" entlang der neuen Basis angeben, ist das nicht genau das, was ich suche?
Ich bedanke mich für eure Hilfe,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt,
bis bald,
Christian
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Es ist in der Tat etwas verwirrend, und ich merke mir das auch nicht mit Buchstaben, sondern betrachte das von den verschiedenen Standpunkten.
Du hast eine Funktion, die in einem Basissystem $<e>$ duch eine Matrix [mm] A_{} [/mm] gegeben ist und könntest rechnen [mm] $\vec f_{}( \vec x_{})=A_{}\vec x_{}$
[/mm]
Dann hast du eine andere Basis <b> und würdest gerne wissen, wie die Matrix [mm] A_{} [/mm] aussieht
Dazu hast du erstmal $B: \ \ <e> [mm] \to [/mm] <b>$ gegeben (bzw machst es dir)
Nun möchtest du den Vektor [mm] \vec x_{} [/mm] verrechnen, und das geht so, wie du beschrieben hast:
[mm] $x_{}=B^{-1}x_{}$
[/mm]
[mm] $f_{}( \vec x_{})=A*B^{-1}\vec x_{}$
[/mm]
[mm] $f_{}( \vec x_{})=B*A*B^{-1}\vec x_{}=A_{}\vec x_{}$
[/mm]
Deine kritik von außen verstehe ich auch nicht. Das Umstellen würde dir ja [mm] A_{} [/mm] aus [mm] A_{} [/mm] liefern.
Deine letzte Formel macht auch irgendwie keinen Sinn, wenn du dir überlegst, daß du da einen Vektor drauf loslassen willst.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:14 Sa 22.07.2006 | | Autor: | Wiwie |
Vielen Dank erstmal für deine Hilfestellung, aber ein paar Fragen habe ich (wie zu erwarten war) doch.
Klar ist, dass [mm] \vec{f}(\vec{x}_{e1,e2,e3}) [/mm] = [mm] A_{e1,e2,e3} \* \vec{x_{e1,e2,e3}} [/mm] gilt, da eine Matrix ja einer linearen Funktion entspricht. Klar ist auch, dass hier $ B: \ \ <e> [mm] \to [/mm] <b> $ B für eine Transformationsmatrix steht, die die Basis e in die Basis b umwandelt.
Nun zu meinen Problemen:
Du sagst, dass [mm] $x_{}=B^{-1}x_{}$ [/mm] gilt; das würde aber bedeuten, dass man einen Vektor der Basis <e> in einen Vektor der Basis <b> umwandeln kann, indem man ihn linksseitig mit B multipliziert. Also: [mm] $x_{}=B \* x_{}$ [/mm] Dies kann ich nur nachvollziehen, wenn die Matrix B die Basisvektoren enthält und anschließend transponiert (Orthonormalbasis)/invertiert wurde, denn ansonsten würde ich nicht die zusammengehörigen Komponenten verrechnen, sondern unterschiedliche, die sinnmäßig keine Projektion ergeben.
Liege ich da richtig?
Mein nächstes Problem ist zu verstehen, wie du von dieser
[mm] $x_{}=B^{-1}x_{}$
[/mm]
auf die nächste Formel kommst:
$ [mm] f_{}( \vec x_{})=A\cdot{}B^{-1}\vec x_{} [/mm] $
Betrachte ich die rechte Seite hast du einfach linksseitig mit A multipliziert, vergleiche ich das aber mit der linken Seite, würde das heißen, dass
$A [mm] \* \vec{x_{e}} [/mm] = [mm] f_{e}(\vec{x_{b}})$
[/mm]
gilt. Aber gilt nicht gerade [mm] A_{e} [/mm] = [mm] f_{e}? [/mm] Müsste dann nicht folgendes da stehen?:
$A [mm] \* \vec{x_{e}} [/mm] = [mm] f_{e}(\vec{x_{e}})$
[/mm]
und aus deiner dritten Umformung entnehme ich "nur" die Aussage, dass
[mm] $B_{e} \* A_{e} [/mm] = [mm] A_{b}$
[/mm]
oder steckt da noch mehr drin?
Edit: Mir ist noch eine Frage in den Sinn gekommen... Die Aufgabenstellung lautet ja, ich soll die Matrix [mm] A_{e} [/mm] in der Basis b darstellen, gilt die Formel A = B [mm] \* [/mm] A [mm] \* B^{t} [/mm] auch für Matrizen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 31.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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