Basisergänzung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Mo 17.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo,
ich habe 5 Vektoren: [mm] \vektor{-2 \\ -1\\0\\1\\2},\vektor{-1 \\ 0\\1\\2\\-2},\vektor{0 \\ 1\\2\\-2\\-1},\vektor{1 \\ 2\\-2\\-1\\0},\vektor{2 \\ -2\\-1\\0\\1} [/mm] , ich habe sie als zeilen einer matrix V dargestellt um zu überprüfen ob sie linear unabhängig sind. Die zeilenstufenform der matrix ist:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -2 & -1 \\0 & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
also RangV=4, also sind nur 4 linear unabhängig. Später ist mir aufgefallen dass v1+v2+v3+v4+v5=0
Laut aufgabe muss ich sie zu einer Basis von [mm] \IR^{5} [/mm] ergänzen.. ich dachte also an Basis [mm] B=\{\vektor{1 \\ 2 \\ -2 \\ -1 \\ 0},\vektor{ 0 \\ 1 \\ 2 \\ -2 \\ -1 },\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1},\mbox{[green]} \vektor{0\\0\\0\\0\\1}\mbox{[/green]}\} [/mm] (also die zeilen von V, die linear unabhängig sind und ein geeigneten Vektor von [mm] K_{5})
[/mm]
Ich denke das wäre richtig, aber wollte zur sicherheit fragen ..
oder soll ich nach dem Linear Abhängigen Vektor suchen, sagen wir [mm] \vektor{-2 \\ -1\\0\\1\\2}, [/mm] und ihn durch einen geeigneten Vektor ersetzen?
Vielen Dank!
ich habe diese frage in keinem anderen forum auf anderen internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich habe 5 Vektoren: [mm]\vektor{-2 \\ -1\\0\\1\\2},\vektor{-1 \\ 0\\1\\2\\-2},\vektor{0 \\ 1\\2\\-2\\-1},\vektor{1 \\ 2\\-2\\-1\\0},\vektor{2 \\ -2\\-1\\0\\1}[/mm]
> , ich habe sie als zeilen einer matrix V dargestellt um zu
> überprüfen ob sie linear unabhängig sind. Die
> zeilenstufenform der matrix ist:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -2 & -1 \\0 & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> also RangV=4, also sind nur 4 linear unabhängig. Später ist
> mir aufgefallen dass v1+v2+v3+v4+v5=0
>
> Laut aufgabe muss ich sie zu einer Basis von [mm]\IR^{5}[/mm]
> ergänzen.. ich dachte also an Basis [mm]B=\{\vektor{1 \\ 2 \\ -2 \\ -1 \\ 0},\vektor{ 0 \\ 1 \\ 2 \\ -2 \\ -1 },\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1},\mbox{[green]} \vektor{0\\0\\0\\0\\1}\mbox{[/green]}\}[/mm]
> (also die zeilen von V, die linear unabhängig sind und ein
> geeigneten Vektor von [mm]K_{5})[/mm]
>
> Ich denke das wäre richtig, aber wollte zur sicherheit
> fragen ..
Hallo,
ja, so kannst Du es machen.
>
> oder soll ich nach dem Linear Abhängigen Vektor suchen,
> sagen wir [mm]\vektor{-2 \\ -1\\0\\1\\2},[/mm] und ihn durch einen
> geeigneten Vektor ersetzen?
Genau das planst Du doch zu tun. Der Vektor [mm] v_5 [/mm] läßt sich als Linearkombination der anderen vier schreiben, daher tauschst Du ihn gegen einen anderen aus.
> ist mir aufgefallen dass v1+v2+v3+v4+v5=0
Es läßt sich also jeder dieser 5 Vektoren als Linearkombination der verbleibenden 4 darstellen.
Es ist es Dir überlassen, welchen der Vektoren Du ersetzt.
Übertragen wir die Situation mal in den [mm] \IR^3.
[/mm]
Mit [mm] v_1=\vektor{1 \\ 0\\0}, v_2=\vektor{0 \\ 1\\0}, v_3=\vektor{-1 \\ -1\\0} [/mm] hast Du die Situation wie oben: [mm] v_1+v_2+v_3=0.
[/mm]
Je (3-1) von ihnen sinfd paarweise unabhängig und können jeweils durch einen dritten, welcher außerhalb des von [mm] v_1, v_2,v_3 [/mm] aufgespannten Raumes beheimatet ist, ergänzt werden zu einer Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mo 17.09.2007 | | Autor: | holwo |
Vielen dank für deine Antwort.
> Übertragen wir die Situation mal in den [mm]\IR^3.[/mm]
>
> Mit [mm]v_1=\vektor{1 \\ 0\\0}, v_2=\vektor{0 \\ 1\\0}, v_3=\vektor{-1 \\ -1\\0}[/mm]
> hast Du die Situation wie oben: [mm]v_1+v_2+v_3=0.[/mm]
> Je (3-1) von ihnen sinfd paarweise unabhängig und können
> jeweils durch einen dritten, welcher außerhalb des von [mm]v_1, v_2,v_3[/mm]
> aufgespannten Raumes beheimatet ist, ergänzt werden zu
> einer Basis des [mm]\IR^3.[/mm]
OK, da sind aber die vektoren direkt als "zeilenstufenform" einer matrix gegeben.
Wenn sie aber ich die Vektoren wie oben habe, und erst durch zeilenumformungen zur zeilenstufenform komme, .. habe ich immer noch die "gleichen" vektoren? oder sind das "andere vektoren" die aber ebenfalls die lineare hülle von den ursprünglichen vektoren abdecken?
Das ist was mich verwirrt hatte..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Mo 17.09.2007 | | Autor: | holwo |
ok, habe noch mal geschaut, sie sind noch nicht als zeilenstufenform einer matrix  aber meine frage bleibt trotzdem
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> Wenn sie aber ich die Vektoren wie oben habe, und erst
> durch zeilenumformungen zur zeilenstufenform komme, .. habe
> ich immer noch die "gleichen" vektoren? oder sind das
> "andere vektoren"
Offensichtlich sind das andere Vektoren, die Du in der Zeilenstufenform stehen hast.
Aber Deine Zeilenstufenform liefert Dir folgende Information: die ersten vier Vektoren waren linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Mo 17.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo,
ok, .. aber warum heißt das "ergänzung"? wenn ich andere vektoren nehme? dann könnte man theoretisch von vorne an sagen: (1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0), (0,0,1,0,0) usw sind die "ergänzung" zu [mm] \IR^{5} [/mm] oder? das verstehe ich nicht.
Das prinzip wie man das macht habe ich schon verstanden aber ich verstehe nicht warum das so ist :)
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> Hallo,
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> ok, .. aber warum heißt das "ergänzung"? wenn ich andere
> vektoren nehme?
Nein! Du nimmst doch gar keine anderen. (Aus der Zeilenstufenform ziehst Du nur die nötigen Informationen.)
Du nimmst Deine [mm] v_1, v_2, v_3, v_4 [/mm] und ergänzt diese durch einen anderen Vektor zu einer Basis des [mm] \IR^5. [/mm]
So, wie Du es gemacht hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mo 17.09.2007 | | Autor: | holwo |
tut mir leid wenn ich "nerve", aber dann verstehe ich nicht warum
[mm] B=\{\vektor{1 \\ 2 \\ -2 \\ -1 \\ 0},\vektor{ 0 \\ 1 \\ 2 \\ -2 \\ -1 },\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1},\mbox{[green]} \vektor{0\\0\\0\\0\\1}\mbox{[/green]}\}
[/mm]
die ergänzung sein sollte.
das sind nämlich die zeilen der matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -2 & -1 \\0 & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
und dazu [mm] \vektor{0\\0\\0\\0\\1}
[/mm]
und das sind nicht die ursprünlichen vektoren v1,v2,v3,v4
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> und das sind nicht die ursprünlichen vektoren v1,v2,v3,v4
Oh...
Ich habe zuwenig genau geguckt. Ich hatte kurz geschaut und war der Meinung, daß dort die ursprünglichen ersten vier Spalten stehen!!!
Daß das mit den Zeilen ganz gründlich schiefgehen kann, kannst Du Dir klarmachen, wenn Du die Aufgabe hast, aus
[mm] v_1=\vektor{1 \\ 0\\0}, v_2=\vektor{0 \\ 1\\0}, v_3=\vektor{1 \\ 1\\0}, v_4=\vektor{2 \\ 2\\0} [/mm] eine möglichst große unabhängige Menge herauszusuchen, und diese zur Basis zu ergänzen:
Vektoren in Matrix: [mm] \pmat{ 1 & 0&1&2 \\ 0 & 1&1&2\\ 0 & 0&0&0}.
[/mm]
Die Zeilenvektoren haben haben 4 Komponenten, also mit [mm] \IR^3 [/mm] nichts zu tun.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Mo 17.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo,
deswegen habe ich sie als Zeilen der Matrix dargestellt, also in deinem Beispiel wäre das:
[mm] \pmat{ 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 1&1&0\\2&2&0 } \rightarrow [/mm] (in zeilenstufenform) [mm] \pmat{ 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0&0&0\\0&0&0 }
[/mm]
So habe ich nämlich das ganze semester lang nach linearer unabhängigkeit geprüfut
dann wären 2 der vektoren linear abhängig.
Ich hätte die 2 ersten zeilen der matrix genommen und dann mit (0,0,1) ergänzt, .. aber nach der heutigen thema soll ich also 2 vektoren nehmen von der ursprünglichen menge und sie dann ergänzen? da muss ich sehr aufpassen dass die beiden nicht linear abhängig sind, wie z.b. v3 und v4.. und bei größeren systemen wäre das nicht so leicht
deswegen hab ich immer die zeilen der matrix genommen, die unabhängig sind (da ich die vektoren als zeilen dargestellt hatte) und SIE dann ergänzt..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Mo 17.09.2007 | | Autor: | holwo |
hallo,
da ich jetzt ziemlch verwirrt bin habe ich nach alten übungen geschaut und das gefunden :
(aufgabenstellung in nächster mitteilung)
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
und wenn ichs richtig verstehe sind das die zeilen der matrix in zeilenstufenform :/
warm heist das "ergänzung" wenn man im prinzip nicht die "gleichen " vektoren nimmt sondern die bearbeiteten zeilen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Mo 17.09.2007 | | Autor: | holwo |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier die richtige aufgabenstellung
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> deswegen habe ich sie als Zeilen der Matrix dargestellt,
> also in deinem Beispiel wäre das:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 1&1&0\\2&2&0 } \rightarrow[/mm]
> (in zeilenstufenform) [mm]\pmat{ 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0&0&0\\0&0&0 }[/mm]
>
> So habe ich nämlich das ganze semester lang nach linearer
> unabhängigkeit geprüfut
Jetzt bin ich der Verwirrung auch extrem nah...
Deine Prüfung auf lineare Unabhängigkeit ist auf jeden Fall richtig, da ja Zeilenrang= Spaltenrang.
Ich sehe jetzt auch, was Du tust. Du machst das anders als ich. Du "drehst" die Vektoren und steckst sie als Zeilen in die Matrix, bringst sie in Zeilenstufenform.
Im konkreten Fall erhieltest Du
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -2 & -1 \\0 & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] $
Diese Matrix sagt Dir: die ersten vier Deiner reingestecketen Vektoren sind linear unabhängig.
Das bedeutet: durch einen passenden 5 ergänzt wird diese Menge zu einer Basis.
Ich habe mir nun die angehängte Übungsaufgabe angesehen.
Es sind dort Vektoren vorgegeben. Die Aufgabe ist es, zunächst irgendeine Basis des aufgespannten Unterraumes zu bestimmen und diese dann zu einer Basis des Grundraumes zu ergänzen.
Das wird getan. Mit Deinem Rechenschema bekommst Du eine Basis des aufgespannten Raumes, indem Du die passenden
"gedrehten" Zeilen nimmst. Diese werden ergänzt zu einer Basis des Grundraumes, so wie es in der Aufgabe steht.
Ich habe eben nochmal nachgeschaut: die diesem Post zugrundeliegende Aufgabe kennen wir gar nicht...
Wenn sie so lautet wie in Deinem Beispiel, kannst Du das so machen mit den Zeilen, wei Du es getan hast.
Wenn die Aufgabe aber lautet: finde eine maximale unabhängige Teilmenge von [mm] \{v_1,...,v_5\} [/mm] und ergänze diese zu einer Basis des [mm] \IR^5, [/mm] mußt Du 4 der Startvektoren [mm] v_1,...,v_5 [/mm] nehmen.
Noch einmal ganz klar gesagt: so, wie Du das Semester über gerechnet hast, war es völlig in Ordnung, ich hatte übersehen, daß Du die Vektoren in Zeilen steckst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mo 17.09.2007 | | Autor: | holwo |
Vielen dank für deine Bemühungen!
Die genaue aufgabenstellung lautet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
dann muss ich da wohl vier der startvektoren nehmen und mit (0,0,0,0,1) ergänzen :-/
ich wollte nicht die ganze aufgabenstellung posten, weil ich die hälfte der aufgabe schon gemacht hatte und ich eigentlich nicht dachte, das ganze würde so "lang" werden
Vielen dank noch mal!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> dann muss ich da wohl vier der startvektoren nehmen und mit
> (0,0,0,0,1) ergänzen :-/
Ganz genau.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Mo 17.09.2007 | | Autor: | holwo |
vielen dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mo 17.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nach DEM lin abh. Vektor zu suchen geht nicht, denn du kannst ja jeden der 5 als Linearkomb, der restlichen 4 schreiben!
Du musst nur, wie dus gemacht hast 4 lin unabh. aussuchen, und irgend nen fünften dazu suchen. Am End natürlich nachweisen, dass die 5 jetz wirklich lin unabh. sind.
kurz: Dein Weg ist richtig, und du hast ja den letzten durch nen geeigneten ersetzt!
Gruss leduart
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