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Basisergänzungssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Mo 26.09.2016
Autor: DerPinguinagent

Aufgabe
V K-VR. Dann lässt sich jede linear unabhängige Familie in V zu einer Basis ergänzen. (Tipp benutze das Lemma von Zorn)


Ich hätte mir folgendes gedacht:

[mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] linear unabhängige Familie in V. [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] := S. Jetzt würde ich mir eine Halbordnung auf S definieren sowie eine Totalgeordnete Menge T [mm] \subset [/mm] S. T ist linear unabhängig => S linear unabhängig. Jetzt können wir sagen das S auch in W (Kommt aus der Halbrodung) liegt, sodass gilt [mm] (v_{i})_{i \in I}=(w_{i})_{i \in J}. [/mm] Also kann man solange Vektoren ergänzen, bis man diesen Punkt erreicht hat.

Ist meine Idee richtig?

LG DerPinguinagent

PS: Ist etwas plump geschrieben, es geht ja nur ums Prinzip.

        
Bezug
Basisergänzungssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Mo 26.09.2016
Autor: fred97


> V K-VR. Dann lässt sich jede linear unabhängige Familie
> in V zu einer Basis ergänzen. (Tipp benutze das Lemma von
> Zorn)
>  Ich hätte mir folgendes gedacht:
>
> [mm](v_{i})_{i \in I}[/mm] linear unabhängige Familie in V.
> [mm](v_{i})_{i \in I}[/mm] := S. Jetzt würde ich mir eine
> Halbordnung auf S definieren



Auf S ???  Wozu ??


>  sowie eine Totalgeordnete
> Menge T [mm]\subset[/mm] S. T ist linear unabhängig => S linear
> unabhängig.

Hä ? Du hast doch S als linear unabhängig gewählt !


> Jetzt können wir sagen das S auch in W (Kommt
> aus der Halbrodung) liegt,

Was ist W ????



> sodass gilt [mm](v_{i})_{i \in I}=(w_{i})_{i \in J}.[/mm]

Was ist [mm] (w_{i})_{i \in J} [/mm]  ????



> Also kann man solange Vektoren ergänzen, bis man diesen
> Punkt erreicht hat.

Welchen Punkt ?


>
> Ist meine Idee richtig?

Nein.

Wo verwendest Du das Lemma von Zorn ?


>
> LG DerPinguinagent
>  
> PS: Ist etwas plump geschrieben, es geht ja nur ums
> Prinzip.

Welches Prinzip ??  Etwa: "unpräzise Mathematik " ??



Na ja, mit Verlaub: Dein obeiger "Beweis" ist keiner.

Ich mach Dir das mal häppchenweise vor. Zwischendurch darfst Du eineiges ergänzen. Wenn Du das jeweils korrekt ergänzt, hast Du einen Beweis.

Sei also T eine linear unabhängige Familie in V. Setze

  [mm] \mathcal{M}:=\{ W: T \subseteq W \subseteq V, W \quad ist \quad linear \quad unabhaengig \} [/mm]

Auf [mm] \mathcal{M} [/mm] definieren wir eine Halbordnung " [mm] \le [/mm] "  wie folgt: für $U,W [mm] \in \mathcal{M}$ [/mm] sei

   $ U [mm] \le [/mm] W  [mm] :\gdw [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] W$.

Warum ist das eine Halbordnung auf [mm] \mathcal{M} [/mm] ?

Nun sei [mm] \mathcal{K} [/mm]  eine Kette in [mm] \mathcal{M}. [/mm]

Gib eine obere Schranke von [mm] \mathcal{K} [/mm] in [mm] \mathcal{M} [/mm] an .


Das Zornsche Lemma liefert dann ein maximales Element $B [mm] \in \mathcal{M}$. [/mm]

Zeige: B ist eine Basis von V.

FRED


Bezug
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