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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Do 13.07.2006 | | Autor: | deralex |
Hi,
hab morgen Prüfung und muss das unbedingt noch wissen. Bitte bitte helft mir!!
mal ne Frage. Wenn ich eine Funktion f mit Matrix A bzgl der Standartbasis habe und ich denke mir jetzt eine beliebige neue Basis des VR aus. zB. A= [mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 8 } [/mm] bzw standartbasis und ich möchte nun eine Matrixtransformation zur Basis [mm] \vektor{2 \\ 1} \vektor{1 \\ 2} [/mm] machen. (Ist ja eine Basis, da lin. unabh. und dim V = 2.
Die Transformationsmatrix M ist ja einfach die beiden Vektoren in einer Matrix nebeneinander. Inverse ausgerechnet, A*M*A^-1 ausgerechnet. Jetzt habe ich ja eine neue Matrix A bzgl der neuen Basis.
Nur was bedeutet das jetzt genau? Die Funktion f ist ja unverändert, also müsste ich ja für gleiche x die gleichen f(x) rausbekommen. Nur wie bestimme ich x bzgl. standartbasis y bzgl. neuer basis x~y so das f(x) = f(y) ...
x=y geht logischerweise nicht, andere Methode dachte ich mir wenn ich zB f( [mm] \vektor{1 \\ 1}) [/mm] bzgl standartbasis haben möchte, dann heißt das 1* [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 1* [mm] \vektor{0 \\ 1}. [/mm] Wenn ich nun ein y ~ [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] bzgl der neuen Basis haben will.. könnte man entsprechend zu dem Fall 1* [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] + 1* [mm] \vektor{1 \\ 2}. [/mm]
Aber das passt auch nicht.
Also wie bekomme ich entsprechende Vektoren so das f bleibt?
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Hallo und guten Abend,
berechne die Bilder der neuen Basisvektoren unter f (einfach [mm] A\cdot [/mm] neue Basisvekoren bilden). Das sind dann die Bilder in der Darstellung bzgl alter Basis, und die musst Du halt noch in eine Darstellung bzgl der neuen Basis umformen, zB
A wie bei Dir
[mm] b_1, b_2 [/mm] alte Basis
[mm] d_1,d_2 [/mm] neue Basis
Berechne [mm] D_1=A\cdot d_1, D_2=A\cdot d_2
[/mm]
dann musst Du lösen:
[mm] D_1=\lambda_1\cdot d-1+\lambda_2\cdot [/mm] d-2, und diese beiden [mm] \lambda [/mm] 's sind die erste Spalte der Matrix von f bzgl. neuer Basis.
Analog geht's dann für die zweite Spalte.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Do 13.07.2006 | | Autor: | deralex |
Hi,
vielen Dank für die Antwort  !
hm... entweder ich verstehe deine Antwort nicht oder du hast meine Frage nicht ganz verstanden *g*.
Mal schauen.
1.) Wie ich eine Basistransformation durchführe weiss ich.
2.) Angenommen ich habe sie durchgeführt und habe Basis b1,b2 bzgl. A und Basis d1,d2 bzgl. B ... dann stellen beide die Funktion f dar.
Grundsätzlich kann ich ja jeden Vektor den ich mit b1,b2 erzeugen kann auch mit d1,d2 darstellen.
Nur jetzt ist die Frage, inwieweit die funktion f mit A bzgl b1,b2 und f mit B bzgl d1,d2 gleich ist?
Wie kann ich zwei äquivalente Elemente x,y finden, so das fA(X) = fB(X). Soll heißen, wieso kann ich behaupten, dass sich f mit A auch mit B darstellen lässt, wenn f(x) (mit A) = y und f(x) (mit B) = z x /not= z ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Do 13.07.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du hast vergessen, dass das Ergebnis, was bei der Matrix A (bzgl alter Basis X) rauskommt auch bzgl alter Basis ist und das Ergebnis mit Matrix B (bzgl neuer Basis Y) auch bzgl neuer Basis ist, also um es mal in eine Formel zu fassen:
wenn [mm] $f(u)=A*u_{(X)}=v_{(X)}$ [/mm] und [mm] $f(u)=B*u_{(Y)}=w_{(Y)}$ [/mm] dann ist [mm] $v_{(X)}\hat= w_{(Y)}$ [/mm] also derselbe Vektor aber eben bzgl verschiedener Basen X und Y dargestellt !!
(wobei u ein Vektor ist und [mm] $u_{(X)}$ [/mm] seine Repräsentation im [mm] $K^n$ [/mm] bzgl der Basis X)
Warum das so ist, steckt doch in der  Transformationsformel
(die bedeutung der verschiedenen Transformationsmatrizen stellen ja sicher, dass es richtig hin und her gewandelt wird.)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Do 13.07.2006 | | Autor: | deralex |
Bitte nochmal eine kleine Hilfe :
==> weiter unten schauen bitte ;)
[IGNORIERN ;)]
Um konkret zu werden :
Mein Beispiel:
A = [mm] \pmat{ 1 & 4 \\ 1 & 1 } [/mm] bzgl Basis [mm] \vektor{1 \\ 0} \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Eigenwerte 3 und -1. Basis Eigenraum bzgl 3 [mm] \vektor{2 \\ 1}. [/mm] Basis Eigenraum bzgl -1 : [mm] \vektor{-2 \\ 1}
[/mm]
=> diagonalisierbar.
Neue Basis die beiden Basen der Eigenräumen => Transformationsmatrix [mm] \pmat{ -2 & 2 \\ 1 & 1 }, [/mm] Inverse davon [mm] \pmat{ -0.25 & 0.5 \\ 0.25 & -0.5 }
[/mm]
=> Matrix B bzgl. neuer Basis = [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 3 }
[/mm]
Passt ja auch alles wunderbar.
Jetzt nehme ich zum Beispiel den Vektor x= [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] und berechne f(x) bzgl Basis A und Standartbasis. => f(x) = [mm] \vektor{5 \\ 2}.
[/mm]
Welches y konkret für dieses Beispiel muss ich wählen, damit f(y) bzgl Basis B und neuer Basis auch [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] ? Und was hat das nun direkt mit der neuen Basis zu tun?
[/IGNORIEREN]
AAaach so... also wenn ich jetzt Vektor y= [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] auf B anwende... kommt ja [mm] \vektor{-1 \\ 3} [/mm] raus. Und der ist bezüglich der neuen Basis gleich [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] bzgl. der alten :). Ok!
Kann ich irgendwie die den [mm] \vektor{-1 \\ 3} [/mm] so umwandeln, dass [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] rauskommt? zb durch die transformationsmatrix schicken (geht nicht ;)) o.ä.?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Fr 14.07.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> Bitte nochmal eine kleine Hilfe :
>
> ==> weiter unten schauen bitte ;)
>
> [IGNORIERN ;)]
nöö, wenn dann überall senf dazu geben 
> Um konkret zu werden :
>
> Mein Beispiel:
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 4 \\ 1 & 1 }[/mm] bzgl Basis [mm]\vektor{1 \\ 0} \vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> Eigenwerte 3 und -1. Basis Eigenraum bzgl 3 [mm]\vektor{2 \\ 1}.[/mm]
> Basis Eigenraum bzgl -1 : [mm]\vektor{-2 \\ 1}[/mm]
> =>
> diagonalisierbar.
>
> Neue Basis die beiden Basen der Eigenräumen =>
> Transformationsmatrix [mm]\pmat{ -2 & 2 \\ 1 & 1 },[/mm] Inverse
> davon [mm]\pmat{ -0.25 & 0.5 \\ 0.25 & -0.5 }[/mm]
>
> => Matrix B bzgl. neuer Basis = [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 3 }[/mm]
>
> Passt ja auch alles wunderbar.
>
> Jetzt nehme ich zum Beispiel den Vektor x= [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> und berechne f(x) bzgl Basis A und Standartbasis. => f(x) =
> [mm]\vektor{5 \\ 2}.[/mm]
>
bis hierhin ok. !!
(außer die eine inverse ein tippo!)
> Welches y konkret für dieses Beispiel muss ich wählen,
> damit f(y) bzgl Basis B und neuer Basis auch [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm]
> ? Und was hat das nun direkt mit der neuen Basis zu tun?
du meinst : welchen Vektor (bzgl neuer Basis) musst du in B reinstecken, damit derselbe Vektor [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm] nur eben in neuer Basis rauskommt, ja?
na du musst den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] (bzgl alter Basis gegeben !) erstmal in die Darstellung der neuen Basis umwandeln, dann erhälst du :
[mm] $\pmat{ -0.25 & 0.5 \\ 0.25 & 0.5 }*\vektor{1\\1}=\vektor{0.25\\0.75}$
[/mm]
wenn du den jetzt an B multiplizierst, erhälst du :
[mm] $\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 3 }*\vektor{0.25\\0.75}=\vektor{-0.25\\2.25}$
[/mm]
aber [mm] $\vektor{-0.25\\2.25}$ [/mm] ist gerade [mm] $\vektor{5 \\ 2}$ [/mm] nur eben in neuer Basisdarstellung, denn : [mm] $\pmat{ -2 & 2 \\ 1 & 1 }*\vektor{-0.25\\2.25}=\vektor{5 \\ 2}$
[/mm]
> AAaach so... also wenn ich jetzt Vektor y= [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> auf B anwende... kommt ja [mm]\vektor{-1 \\ 3}[/mm] raus. Und der
> ist bezüglich der neuen Basis gleich [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm] bzgl.
> der alten :). Ok!
nöö - man muss wie gesagt y erst in neue Basisdarstellung umwandeln und dann darf man erst auf B anwenden.
Außerdem ist [mm] $\vektor{-1 \\ 3}$ [/mm] bzgl neuer Basis gerade [mm] $\pmat{ -0.25 & 0.5 \\ 0.25 & 0.5 }*\vektor{-1\\3}=\vektor{1.75\\1.25}$ [/mm] bzgl alter Basis !
> Kann ich irgendwie die den [mm]\vektor{-1 \\ 3}[/mm] so umwandeln,
> dass [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm] rauskommt? zb durch die
> transformationsmatrix schicken (geht nicht ;)) o.ä.?
die beiden sind ja nicht dieselben Vektoren nur bzgl der jeweils anderen Basis ! Aber ich denke ich habe jetzt oft genug gezeigt, wie man die Transformationsmatrix anwenden kann ,aber frag ruhig noch nach, falls was unklar ist.
viele Grüße
DaMenge
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