Basistransformation < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Fr 16.03.2007 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | [mm] B=(v_{1},v_{2}) [/mm] sei eine geordnete Basis des reellen Vektorraums V und [mm] C=(w_{1},w_{2},w_{3}) [/mm] sei eine geordnete Basis eines reellen Vektorraums W. Die lineare Abbildung [mm] f:V\to [/mm] W sei festgelegt durch [mm] f(v_{1})=w_{1}+w_{2}+2w_{3} [/mm] und [mm] f(v_{2})=2w_{1}+w_{2}-w_{3}.
[/mm]
a) Geben sie die Darstellungsmatrix [mm] _{B}M_{C}(f) [/mm] von f bezüglich der Basen B und C an.
b) In V sei eine weitere Basis B' mit [mm] v_{1}'=2v_{1}-3v_{2} [/mm] und [mm] v_{2}'=v_{1}+v_{2} [/mm] gegeben. In w sei eine zweite Basis C' mit [mm] w_{1}'=w_{1}+w_{2}-w_{3}, w_{2}'=w_{1}-w_{2} [/mm] und [mm] w_{3}'=w_{1}-w_{3} [/mm] gegeben. Geben sie die Darstellungsmatrizen [mm] _{B'}M_{C}(f), _{B}M_{C'}(f) [/mm] und [mm] _{B'}M_{C'}(f) [/mm] an. |
Hallo
Ich habe nicht sehr viel Ahnung von diesem Themengebiet und wollte nur meine Lösung, bei der ich mir überhaupt nicht sicher bin, kontrollieren lassen.
a) Da komm ich auf die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 2 & -1}
[/mm]
b) Erst hab ich die Übergangsmatrix von C' nach C aufgestellt, die hab ich S genannt und komme auf
[mm] S=\pmat{ 2 & 1 \\ -3 & 1 }
[/mm]
Das ganze ist ja eine KOmposition, erst in die andere Basis umwandeln dann abbilden, also Matrizenmultiplikation A*S, das ergibt.
[mm] _{B'}M_{C}=\pmat{-4 & 3 \\ -1 & 2 \\ 7 & 1}
[/mm]
Für das nächste brauche ich [mm] T^{-1}, [/mm] die Übergangsmatrix von C nach C', die habe ich wie S berechnet und dann invertiert und mit A multipliziert.
Das dritte ist dann [mm] T^{-1}*A*S.
[/mm]
Wenn b) 1 richtig ist, dann müssten auch die anderen 2 stimmen.
Kann mir jemand sagen, ob ich das richtig gemacht habe, oder was falsch ist?
Wäre echt nett.
Grüße Max
|
|
| |
|
> [mm]B=(v_{1},v_{2})[/mm] sei eine geordnete Basis des reellen
> Vektorraums V und [mm]C=(w_{1},w_{2},w_{3})[/mm] sei eine geordnete
> Basis eines reellen Vektorraums W. Die lineare Abbildung
> [mm]f:V\to[/mm] W sei festgelegt durch [mm]f(v_{1})=w_{1}+w_{2}+2w_{3}[/mm]
> und [mm]f(v_{2})=2w_{1}+w_{2}-w_{3}.[/mm]
>
> a) Geben sie die Darstellungsmatrix [mm]_{B}M_{C}(f)[/mm] von f
> bezüglich der Basen B und C an.
>
> b) In V sei eine weitere Basis B' mit [mm]v_{1}'=2v_{1}-3v_{2}[/mm]
> und [mm]v_{2}'=v_{1}+v_{2}[/mm] gegeben. In w sei eine zweite Basis
> C' mit [mm]w_{1}'=w_{1}+w_{2}-w_{3}, w_{2}'=w_{1}-w_{2}[/mm] und
> [mm]w_{3}'=w_{1}-w_{3}[/mm] gegeben. Geben sie die
> Darstellungsmatrizen [mm]_{B'}M_{C}(f), _{B}M_{C'}(f)[/mm] und
> [mm]_{B'}M_{C'}(f)[/mm] an.
>
> a) Da komm ich auf die Matrix [mm]A=\pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 2 & -1}[/mm]
Hallo,
die ist schonmal richtig.
>
> b) Erst hab ich die Übergangsmatrix von C' nach C
von B' nach B! (lediglich Schreibfehler)
> aufgestellt, die hab ich S genannt und komme auf
>
> [mm]S=\pmat{ 2 & 1 \\ -3 & 1 }[/mm]
richtig.
>
> Das ganze ist ja eine KOmposition, erst in die andere Basis
> umwandeln dann abbilden, also Matrizenmultiplikation A*S,
genau.
> das ergibt.
>
> [mm]_{B'}M_{C}=\pmat{-4 & 3 \\ -1 & 2 \\ 7 & 1}[/mm]
ja. Richtig.
>
> Für das nächste brauche ich [mm]T^{-1},[/mm] die Übergangsmatrix von
> C nach C', die habe ich wie S berechnet und dann invertiert
richtig.
> und mit A multipliziert.
Die mußt Du dann vorne dranmultiplizieren, also [mm] T^{-1}A.
[/mm]
>
> Das dritte ist dann [mm]T^{-1}*A*S.[/mm]
Genau.
> Kann mir jemand sagen, ob ich das richtig gemacht habe,
> oder was falsch ist?
Du hast alles richtig gemacht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 20:10 Fr 16.03.2007 | | Autor: | max3000 |
Vielen Dank.
Ich war mir nur etwas unsicher, weil als ich einige Basen eingesetzt habe kam etwas recht verwirrendes raus.
MFG
Max
|
|
|
|
