Basiswechsel < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Sa 08.03.2008 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Beispielaufgabe:
Seien A = [mm] (e_1,e_2,e_3,e_4) [/mm] eine Basis eines [mm] \IR-Vektorraumes [/mm] V und F: V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbildung eine lineare Abbildung mit der Matrix
[mm] M_{f,A,A} [/mm] = [mm] \pmat{ 1&2&0&1 \\ 3&0&-1&2 \\ 2&5&3&1 \\ 1&2&1&3 }.
[/mm]
Bestimmen Sie die Matrix [mm] M_{f,B,B}, [/mm] wobei
B = [mm] (e_1 [/mm] , [mm] e_1 [/mm] + [mm] e_2, e_1 [/mm] + [mm] e_2 [/mm] + [mm] e_3, e_1 [/mm] + [mm] e_2 [/mm] + [mm] e_3 [/mm] + [mm] e_4). [/mm] |
So. Mir geht es hier nicht um die Lösung dieser Aufgabe im Speziellen, aber darum, Aufgaben dieses Types endlich allgemein zu verstehen, bzw. einen möglichst universellen Lösungsweg zu finden.
Wie geht man hier vor? Wie habe ich die Schreibweise [mm] M_{f,A,A} [/mm] zu verstehen? ist das identisch mit [mm] _AM_A(f)? [/mm] Diese Notation wäre mir zumindest vertrauter. ^^
(Mein Problem: Bei Prof. A gelernt, aber anstehende Prüfung bei Prof. B, auf dessen Vorlieben/Eigenarten ich mich jetzt einarbeiten muss :( )
Wenn ihr also Tipps, weitere Aufgaben (das wäre ganz klasse) und oder ähnliches für mich hättet... ich wäre dankbar ohne Ende. ;)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:10 So 09.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
[mm] M_{f,A,A} [/mm] soll sicherlich die Matrix der Abbildung [mm] f:V\ni x_A\mapsto y_A\in [/mm] V.
D.h. es bildet von V nach V ab, wobei die Vektoren je in der A-Basis sind.
Es dürfte somit das sein, was du unter [mm] _AM_A(f) [/mm] verstehst.
Basiswechsel benutzt man um sich Rechenschritte deutlich zu erleichtern.
Entweder sind gegebene oder gesuchte Vektoren nur vielfache von [mm] e_i [/mm] , oder die Matrix wird diagonalisiert um [mm] M^n [/mm] , [mm] n\in\IN [/mm] problemlos zu bestimmen, oder ...
> Wie geht man hier vor?
[mm] _ET_A=(a_1 a_2 [/mm] ... [mm] a_n) [/mm] , die Matrix mit [mm] _ET_A e_i=a_i.
[/mm]
Die also, die die Basis von E auf die Basis von A abbildet.
Dann gilt : [mm] _ET_A e_i=_ET_A (a_i)_A [/mm] = [mm] (a_i)_E
[/mm]
[mm] _ET_A [/mm] ist auch die Basistransformation für Vektoren in A-Basis in E-Basis. (man könnte auch [mm] _AD_E [/mm] schreiben)
Insgesammt :
[mm] M_{f,A,A} [/mm] ist die Abbildung [mm] f:V\ni x_A\mapsto y_A\in [/mm] V
[mm] M_{f,B,B} [/mm] ist die Abbildung [mm] f:V\ni x_B\mapsto y_B\in [/mm] V
[mm] _BT_E _ET_A [/mm] ist die Basistransformation [mm] x_A\mapsto x_B
[/mm]
[mm] (_BT_E _ET_A)^{-1}=_ET_A^{-1} _BT_E^{-1}=_AT_E _ET_B [/mm] ist die Basistransformation [mm] x_B\mapsto x_A
[/mm]
[mm] \Rightarrow _AT_E*_ET_B*M_{f,B,B}*_BT_E*_ET_A [/mm] ist die Abbildung [mm] f:V\ni x_A\mapsto y_A\in [/mm] V
[mm] \gdw _AT_E*_ET_B*M_{f,B,B}*_BT_E*_ET_A=M_{f,A,A}
[/mm]
[mm] \gdw _BT_E*_ET_A*M_{f,A,A}*_AT_E*_ET_B=M_{f,B,B}
[/mm]
Da [mm] _ET_A [/mm] und [mm] _ET_B [/mm] am leichtesten zu berechnen sind, könnte man
[mm] M_{f,B,B} [/mm] = [mm] _ET_B^{-1}*_ET_A*M_{f,A,A}*_ET_A^{-1}*_ET_B
[/mm]
benutzen.
In deinem Fall ist es sogar noch etwas leichter, da A=E und somit [mm] _ET_A=Id=_ET_A^{-1}.
[/mm]
Ciao.
|
|
|
| |
|
Hallo, möchte mich mal kurz einmischen....ich bin gerade in der klausurvorbereitung, durchstöbere den matheraum nach Aufgaben und hab mal ne Frage zu dieser Aufgabe, ich hab das einfach mal gerechnet ohne mir die Antwort anzusehen und dabei rein intuitiv folgendes gemacht:
1. ich habe die Basisvektoren von B als Linearkombination der Basisvektoren von A dargestellt, also
[mm] e_1=1e_1+0e_2+0e_3+0e_4 [/mm]
[mm] e_1+e_2 [/mm] = [mm] 1e_1+1e_2+0e_3+0e_4 [/mm] usw.,
habe dann die Koeffizienten spaltenweise in eine Matrix geschrieben, die ich einfach mal [mm] _BT_A [/mm] genannt habe: [mm] _BT_A=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
2. Matrix [mm] _BT_A [/mm] invertieren und somit [mm] _AT_B=\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] erhalten
3. [mm] _BM_B=_BT_A*_AM_A*_AT_B [/mm] = [mm] \pmat{ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & -8 & -7 \\ 1 & 4 & 6 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 7 }
[/mm]
kann ich das so auch machen, oder muss ich zwangsweise den "Umweg" über E gehen?
Vielen Dank im Voraus
|
|
|
| |
|
Hallo,
irgendwann krieg' ich noch die Krise wegen der zig Bezeichnungen...
Ich kenne es so, daß z.B. [mm] _DM(f)_C [/mm] die darstellende Matrix von f ist, welche man mit Koordinatenvektoren bzgl. C "füttert", und die dann deren Bild bzgl. D ausspuckt - nur damit wir wissen, worüber wir reden.
Ja, vom Grundgedanken her kannst Du es so machen, wie Du sagst: gleich die Basisvektoren der einen Basis in Koordinaten bzgl der anderen darstellen. Die Ausführung enthält einen wesentlichen Fehler.
Wenn wir uns für [mm] _BM(f)_B [/mm] interessieren, müssen wir zuerst die Vektoren bzgl B in solche bzgl A umwandeln.
Die (Transformations)Matrix, welche die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. A ausgibt, ist die Matrix [mm] _AT_B= \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }.
[/mm]
(Überleg Dir das genau: es ist z.B. [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }*\vektor{0 \\ 1\\0\\0}_{(B)}=\vektor{1 \\ 1\\0\\0}_{(A)} [/mm] )
Auf den umgewandelten Vektor, welcher nun bzgl A vorliegt, kann man die Matrix [mm] _AM(f)_A [/mm] loslassen, man hat also nun [mm] _AM(f)_A *_AT_B.
[/mm]
Diese Matrix liefert für Vektoren bzgl B deren Bild unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl A.
Man will aber auch die Ausgabe in Koordinaten bzgl B, und deshalb muß man die Transformation [mm] _BT_A=(_AT_B)^{-1} [/mm] anschließen, um [mm] _BM_B [/mm] zu erhalten:
[mm] _BM_B= (_AT_B)^{-1} *_AM_A_AT_B
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }* \pmat{ 1&2&0&1 \\ 3&0&-1&2 \\ 2&5&3&1 \\ 1&2&1&3 }* \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }.
[/mm]
Beachte, daß dieses Produkt genau andersrum ist wie Deins. Rechts steht die Matrix für daß, was man als erstes tut.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo, danke für die Antwort. Ich dachte, dass [mm] _AT_B [/mm] "von A nach B geht" (wobei ich eigentlich eine ganz andere Darstellung gelernt habe: [mm] T_{B}^{A} [/mm] geht von A nach B  )...also kann ich mir das im Prinzip so merken, dass wenn ich die Basisvektoren von B als Linearkombination der Basisv. von A darstelle, die Transformationsmatrix erhalte die von A nach B geht ?
mfg
|
|
|
| |
|
> Hallo, danke für die Antwort. Ich dachte, dass [mm]_AT_B[/mm] "von A
> nach B geht" (wobei ich eigentlich eine ganz andere
> Darstellung gelernt habe: [mm]T_{B}^{A}[/mm] geht von A nach B
> )...also kann ich mir das im Prinzip so merken, dass wenn
> ich die Basisvektoren von B als Linearkombination der
> Basisv. von A darstelle, die Transformationsmatrix erhalte
> die von A nach B geht ?
Hallo,
Wenn Du die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl A in die Matrix steckst, hast Du [mm] T^B_A.
[/mm]
Wenn Du diese Transformationsmatrix auf eine Vektor in Koordinaten bzgl B anwendest, erhältst Du als Ergebnis haargenau denselben Vektor - aber in Koodinaten bzgl A.
Mal ein kleines Beispiel:
Sei A die Standardbasis des [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] B:=(\vektor{1 \\ 2}, \vektor{1 \\ 3})
[/mm]
Die matrix, die Dir Koordnatenvektoren bzgl B in solche bzgl der Standardbasis umwandelt, ist [mm] T^B_A=\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 3 }.
[/mm]
Probieren wir's aus.
Wir wollen [mm] \vektor{2 \\ 4}_B [/mm] bzgl A wissen.
(Natürlich können wir das per Hand: [mm] \vektor{2 \\ 4}_B=2*\vektor{1 \\ 2} +4*\vektor{1 \\ 3}=\vektor{6 \\ 16}).
[/mm]
Es ist [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 3 }\vektor{2 \\ 4}=\vektor{6 \\ 16}. [/mm] Stimmt!
Gruß v., Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Do 20.03.2008 | | Autor: | rainman_do |
Ah jetzt blicke ich durch! Vielen Dank Angela!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Do 20.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Da hier A=E ist, ist der Umweg in der Aufgabe völlig überflüssig.
Im Allgemeinen lassen sich die Linearkombinationen (also die Darstellungen in den anderen Basen) nicht so leicht finden. Dann ist man auf dem Umweg doch schneller am Ziel.
Ciao.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Do 20.03.2008 | | Autor: | rainman_do |
Ah ja, ok. vielen Dank.
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Mi 26.03.2008 | | Autor: | MaRaQ |
> 1. ich habe die Basisvektoren von B als Linearkombination
> der Basisvektoren von A dargestellt, also
> [mm]e_1=1e_1+0e_2+0e_3+0e_4[/mm]
> [mm]e_1+e_2[/mm] = [mm]1e_1+1e_2+0e_3+0e_4[/mm] usw.,
> habe dann die Koeffizienten spaltenweise in eine Matrix
> geschrieben, die ich einfach mal [mm]_BT_A[/mm] genannt habe:
> [mm]_BT_A=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> 2. Matrix [mm]_BT_A[/mm] invertieren und somit [mm]_AT_B=\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
> erhalten
>
> 3. [mm]_BM_B=_BT_A*_AM_A*_AT_B[/mm] = [mm]\pmat{ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & -8 & -7 \\ 1 & 4 & 6 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 7 }[/mm]
>
> kann ich das so auch machen, oder muss ich zwangsweise den
> "Umweg" über E gehen?
>
> Vielen Dank im Voraus
Das Endergebnis ist völlig korrekt (laut Musterlösung), zur Notation hat Angela ja schon was gesagt. ^^
3 Profs, 3 Notationen...
[mm]M_f_B_B = T_{id}_A_B*M_f_A_A*T_{id}_B_A[/mm]
Das ist die mir bisher am Besten gefallende.
Entspricht
[mm]_BM_B=_AT_B*_AM_A*_BT_A[/mm]
bzw.
[mm] M_{B}^B [/mm] = [mm] T_B^A [/mm] * [mm] M_A^A [/mm] * [mm] T_A^B [/mm] (vgl. Fischer, wobei hier [mm] M_B^B [/mm] oft durch [mm] M_B [/mm] abgekürzt wird.)
...
Je nach Prof und Nachschlagewerk kann das noch weitere Blüten treiben :D
Ich denke hier sollte jeder für sich selbst herausfinden/entscheiden, welche Notation ihm am Begreiflichsten erscheint - und am Besten zu merken. Ich halte die Erste für beinahe Selbsterklärend für diesen Aufgabentyp.
Und die eigentliche Transformationsformel (bzw. [mm] SAT^{-1}-Formel [/mm] *haha*) ist ja auch nur einen Katzensprung weitergedacht (bzw. zurück).
Auch wenns jetzt ein paar Tage her ist, ich hoffe, es kommt noch an. ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Do 27.03.2008 | | Autor: | rainman_do |
Vielen Dank, die Aufgabe (und natürlich die freundlichen Matheraum-Leute) haben mir echt geholfen diese ganzen Basiswechsel- und Darstellungsmatrix-Sachen zu verstehen...
mfg
|
|
|
|
