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| Aufgabe | Sei S eine symmetrische reelle nxn Matrix, die zugeordnete quadratische Form sein positiv definit, man zeige, dass
$X := [mm] \{ x\in \IR^{n} | x^{T}Sx=c, c > 0\}$
[/mm]
eine n-1 dimensionale eingebettete Mannigfaltikeit ist. |
Hallo,
meine Gedanken gingen in die Richtung für S eine geeigntete Basis zu wählen, so dass S diagonal (Spektralsatz).
Dann habe ich eine wunderbare Nebenbedingungsmenge:
[mm] $\lambda_{1}*x_{1}^{2}+...+\lambda_{n}*x_{n}^{2}-c=0$
[/mm]
Fasse ich die als Nullstellenmenge einer Funktion f auf, ist die Jacobimatrix
$J(f, x) = [mm] (2*\lambda_{1}*x_{1}, [/mm] ..., [mm] 2*\lambda_{n}*x_{n})$
[/mm]
und die ist nat. regulär für x aus X.
damit hätte ich dann auch eine n-1 dim. Mnfkt (wie kürzt man dieses schlimme Wort eigentlich elegant ab?)
Was ist mit der Basistransformation am Anfang? Die kann doch an der Mnfkt nichts ändern, oder?
Wäre es eine Alternative, die Ellipse (X ist doch ein n-dim Ellipsoid, oder) auf die Einheitssphäre zurückzubiegen und dann zu schließen, dass es ich um eine n-1 dim. Mnfkt handelt?
vielen Dank für Eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Di 24.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Würde es so aufschreiben: Schreibe [mm]S=T^TDT[/mm] für eine Diagonalmatrix D und [mm] $T\in GL(\IR^n)$. [/mm] Die Abbildung [mm] $\varphi:\IR^n\ni x\mapsto Tx\in\IR^n$ [/mm] ist also ein [mm]C^\infty[/mm]-Diffeomorphismus. Nach deinem Argument ist [mm] $\tilde{X}=\{x\in\IR^n\mid x^TDx=c\}$ [/mm] eine (n-1)-dim MF (so kürze ich das immer ab, wenn ich hinreichend lange darüber rede). Nun ist aber [mm] $$\varphi^{-1}(\tilde{X})=\{\varphi^{-1}(x)\in\IR^n\mid x^TDx=c\}=\{x\in\IR^n\mid \varphi(x)^TD\varphi(x)=c\}=\{x\in\IR^n\mid x^TT^TDTx=c\}=X$$ [/mm] Also ist insbesondere auch X als Bild einer (n-1)-dim MF unter einem Diffeomorphismus eine (n-1)-dim MF.
Aber kann man das nicht auch direkt, also ohne diese Basistrafo machen? Bedeutet positiv definit nicht, dass die entscheidende Jacobimatrix vollen Rang hat? Ist leider schon spät... 
Gruß, Robert
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