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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mi 23.12.2009 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Gegeben ist folgende Abbildung [mm] f:R^3->R^3
[/mm]
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}-> \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 4 & 5 \\ 5&6&7 }*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}
[/mm]
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basis [mm] \vektor{1\\ 0 \\0},\vektor{1 \\ 1 \\ 1},\vektor{1 \\2 \\ 3} [/mm] |
Hi ihr lieben :)
Ich bins schon wieder, aber ich habe nach wie vor Probleme mit Basiswechsel und Transformationsmatrizen, ich hoffe, dass ich das jetzt hier anhand eines konkreten Beispieles und mit eurer Hilfe endlich verstehe.
Nun direkt die Frage, welche Darstellungsmatrix ist gesucht? Darstellungsmatrix ist nicht das selbe wie eine Abbildungsmatrix, quasi der Matrix meines f, oder?
Die Abbildungsmatrix hätte ich mit A*X=Y bzw A=Y*X^-1 berechnet, wobei A meine Abbildungsmatrix ist, X die Matrix dessen ist, was "reingesteckt" wird und Y das, wie die Abbildung aussehen soll.. Wie forumliere ich das schonmal korrekt?
Das oben genannten funktioniert aber so nur, wenn die Basen des Bildes und des Urbildes die Einheitsbasen sind, korrekt?
Falls meine Basis die Standardbasis gewesen wäre, so wäre A doch einfach nur [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 4 & 5 \\ 5&6&7 }, [/mm] oder?
Was wäre denn gewesen, wenn die Basis nach wie vor die kanonische Basis ist, aber mein Urbild keine quadratische Matrix ist, so könnte ich doch mit meinem oben genannten Weg über die Inverse garnicht arbeiten und müsste ein LGS machen, oder?
Aber nun zum Basiswechsel:
Welche Basis ist oben nun angegeben, ich schätze die des Bildes. Ich weiß, dass ich in meine Spalten der Transformationsmatrix für den Basiswechsel die Basisvektoren packen kann. Aber ich weiß nicht, wie es weiter geht und wie ich das genau hinschreibe..
Ich hoffe, dass ihr (oder auch gerne nur du, liebe Angelika:)) mir hier erneut helfen könnt..
Danke und schonmal schöne Feiertage
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> Gegeben ist folgende Abbildung [mm]f:R^3->R^3[/mm]
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> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}-> \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 4 & 5 \\ 5&6&7 }*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
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> Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von f bezüglich der
> Basis [mm]\vektor{1\\ 0 \\0},\vektor{1 \\ 1 \\ 1},\vektor{1 \\2 \\ 3}[/mm]
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> Hi ihr lieben :)
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> Ich bins schon wieder, aber ich habe nach wie vor Probleme
> mit Basiswechsel und Transformationsmatrizen, ich hoffe,
> dass ich das jetzt hier anhand eines konkreten Beispieles
> und mit eurer Hilfe endlich verstehe.
>
> Nun direkt die Frage, welche Darstellungsmatrix ist
> gesucht? Darstellungsmatrix ist nicht das selbe wie eine
> Abbildungsmatrix, quasi der Matrix meines f, oder?
Doch doch, "Darstellungsmatrix" ist hier nur ein Synonym
zu "Abbildungsmatrix". Diese Matrix ist allerdings von der
verwendeten Basis abhängig.
> Die Abbildungsmatrix hätte ich mit A*X=Y bzw A=Y*X^-1
> berechnet, wobei A meine Abbildungsmatrix ist, X die Matrix
> dessen ist, was "reingesteckt" wird und Y das, wie die
> Abbildung aussehen soll.. Wie forumliere ich das schonmal
> korrekt?
>
> Das oben genannten funktioniert aber so nur, wenn die Basen
> des Bildes und des Urbildes die Einheitsbasen sind,
> korrekt?
>
> Falls meine Basis die Standardbasis gewesen wäre, so wäre
> A doch einfach nur [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 4 & 5 \\ 5&6&7 },[/mm]
> oder?
> Was wäre denn gewesen, wenn die Basis nach wie vor die
> kanonische Basis ist, aber mein Urbild keine quadratische
> Matrix ist, so könnte ich doch mit meinem oben genannten
> Weg über die Inverse garnicht arbeiten und müsste ein LGS
> machen, oder?
>
> Aber nun zum Basiswechsel:
>
> Welche Basis ist oben nun angegeben, ich schätze die des
> Bildes. Ich weiß, dass ich in meine Spalten der
> Transformationsmatrix für den Basiswechsel die
> Basisvektoren packen kann. Aber ich weiß nicht, wie es
> weiter geht und wie ich das genau hinschreibe..
>
> Ich hoffe, dass ihr (oder auch gerne nur du, liebe
> Angelika:)) mir hier erneut helfen könnt..
>
> Danke und schonmal schöne Feiertage
Bezeichnen wir die Standardbasis mit E und die neue
Basis mit B, also:
$\ E=\ [mm] \{e_1,e_2,e_3\}\ [/mm] =\ [mm] \left\{\pmat{1\\0\\0},\pmat{0\\1\\0},\pmat{0\\0\\1}\right\}$
[/mm]
$\ B=\ [mm] \{b_1,b_2,b_3\}\ [/mm] =\ [mm] \left\{\pmat{1\\0\\0},\pmat{1\\1\\1},\pmat{1\\2\\3}\right\}$
[/mm]
Nun betrachten wir einen Vektor x, welcher bezüglich E
die Komponenten [mm] x_i [/mm] und bezüglich B die Komponenten [mm] y_k [/mm] habe.
Es sei also
$\ x\ =\ [mm] x_1*e_1+x_2*e_2+x_3*e_3\ [/mm] =\ [mm] \pmat{x_1\\x_2\\x_3}_E$
[/mm]
und
$\ x\ =\ [mm] y_1*b_1+y_2*b_2+y_3*b_3\ [/mm] =\ [mm] \pmat{y_1\\y_2\\y_3}_B$
[/mm]
Ferner sei [mm] f(x)=\overline{x}:
[/mm]
$\ [mm] \overline{x}\ [/mm] =\ [mm] \overline{x}_1*e_1+\overline{x}_2*e_2+\overline{x}_3*e_3\ [/mm] =\ [mm] \pmat{\overline{x}_1\\\overline{x}_2\\\overline{x}_3}_E$
[/mm]
und
$\ [mm] \overline{x}\ [/mm] =\ [mm] \overline{y}_1*b_1+\overline{y}_2*b_2+\overline{y}_3*b_3\ [/mm] =\ [mm] \pmat{\overline{y}_1\\ \overline{y}_2\\\overline{y}_3}_B$
[/mm]
Die gegebene Matrix $\ A\ =\ [mm] \pmat{1&2&3\\3&4&5\\5&6&7}$ [/mm] vermittelt die
Abbildung f bezüglich der Basis E, also ist
$\ f(x)\ =\ [mm] \pmat{\overline{x}_1\\\overline{x}_2\\\overline{x}_3}_E\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1&2&3\\3&4&5\\5&6&7}*\pmat{x_1\\x_2\\x_3}_E$ [/mm]
Gesucht ist nun die Matrix D, welche dieselbe Abbildung f
beschreibt, jedoch bezüglich der Basis B. Es soll also gelten:
$\ f(x)\ =\ [mm] \overline{x}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{\overline{y}_1\\\overline{y}_2\\\overline{y}_3}_B\ [/mm] =\ [mm] D*\pmat{y_1\\y_2\\y_3}_B$
[/mm]
Nun sei also ein Vektor [mm] \pmat{y_1\\y_2\\y_3} [/mm] bezüglich der Basis B gegeben.
Um ihn abzubilden, rechnen wir ihn zunächst zur Standardbasis
E um. Es gilt
[mm] $\underbrace{\pmat{x_1\\x_2\\x_3}}_x\ [/mm] =\ [mm] y_1*b_1+y_2*b_2+y_3*b_3\ [/mm] =\ [mm] \pmat{y_1+y_2+y_3\\y_2+2\,y_3\\y_2+3\,y_3}_E\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{\pmat{1&1&1\\0&1&2\\0&1&3}}_{T}*\underbrace{\pmat{y_1\\y_2\\y_3}}_y$
[/mm]
Nun unterwerfen wir diesen Vektor der Abbildung f, indem
wir (im E-Koordinatensystem !) die Matrix A auf ihn anwenden:
$\ f(x)\ =\ [mm] \overline{x}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{\overline{x}_1\\\overline{x}_2\\\overline{x}_3}_E\ [/mm] =\ A*T*y$
Schließlich muss das Ergebnis wieder im B-System darge-
stellt werden. Analog wie $\ x=T*y$ gilt natürlich [mm] \overline{x}=T*\overline{y} [/mm]
oder, nach [mm] \overline{y} [/mm] aufgelöst: [mm] \overline{y}=T^{-1}*\overline{x} [/mm] und damit:
$\ [mm] \overline{y}\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{T^{-1}*A*T}_D\,*\,y$
[/mm]
Damit haben wir die Lösung: Bezüglich der Basis B wird
die Abbildung f durch die Matrix D dargestellt, wobei
$\ D\ =\ [mm] T^{-1}*A*T$
[/mm]
Jetzt bleibt nur noch die inverse Matrix [mm] T^{-1} [/mm] zu T und dieses
Matrizenprodukt zu berechnen.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Di 29.12.2009 | | Autor: | kappen |
Besten Dank!
Was bekommst du denn da raus? [mm] \pmat{0 & 0 & 0 \\ -1 &0 & 2\\2&6&12 }?
[/mm]
Weil in dem Gästebuch unseres Profs wir darüber gesprochen, dass die Matrix keine 0 Zeile bzw Spalte haben darf...
edit: der typ im GB hats vercheckt. ne 0 Zeile kann ruhig sein, weil der Rang von A auch nur 2 ist und Transformierte Abbildungsm. ähnlich sind und damit den selben Rang haben, korrekt?
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> Besten Dank!
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> Was bekommst du denn da raus? [mm]\pmat{0 & 0 & 0 \\ -1 &0 & 2\\2&6&12 }?[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau das habe ich auch für [mm] D=T^{-1}*A*T
[/mm]
> Weil in dem Gästebuch unseres Profs wir darüber
> gesprochen, dass die Matrix keine 0 Zeile bzw Spalte haben
> darf...
>
> edit: der typ im GB hats vercheckt. ne 0 Zeile kann ruhig
> sein, weil der Rang von A auch nur 2 ist und Transformierte
> Abbildungsm. ähnlich sind und damit den selben Rang haben,
> korrekt?
So ist es. Durch die Transformation mit T wird also
hier auch offensichtlich, dass A nur Rang 2 haben kann.
LG Al-Chw.
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