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Basiswechsel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 So 14.11.2010
Autor: kushkush

Aufgabe
5.6.

Seien [mm] $v_{1}=\vektor{1\\-2\\1}$, $v_{2}=\vektor{1\\0\\-1}$, $v_{3}=\vektor{1\\1\\1}$. [/mm] Die Drehung D um $90°$ um die Achse durch [mm] $v_{1}$ [/mm] wird bezogen auf die Basis [mm] $B=(v_{1},v_{2},v_{3})$ [/mm] von [mm] $\IR^{3}$ [/mm] durch die Matrix [mm] $B=\vektor{1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0}$ [/mm] beschrieben. Wie lautet die Matrix dieser Drehung bezüglich der kanonischen Basis? Berechnet werden soll auch D(v) wobei [mm] $v=\vektor{1\\2\\3}$. [/mm]

Hoi!

Zuerst habe ich die Transformationsmatrix bezogen auf die kanonische Basis gemacht:

[mm] $v_{1}=1e_{1}-2e_{2}+1e_{3}$ [/mm]
[mm] $v_{2}=1e_{1}-1e_{3}$ [/mm]
[mm] $v_{3}=1e_{1}+2e_{2}+3e_{3}$ [/mm]

dann lese ich die Transformationsmatrix  an den Koeffizienten ab: [mm] $\vektor{1&-2&1\\1&0&-1\\1&2&3}$ [/mm]

Und D(v) berechne ich nun so: [mm] $\vektor{1&-2&1\\1&0&-1\\1&2&3} \cdot \vektor{1\\2\\3}=\vektor{1&-2&1\\2&0&-2\\3&6&9}$ [/mm]


Stimmt das so?


Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und danke für jeden Hinweis.

        
Bezug
Basiswechsel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 So 14.11.2010
Autor: angela.h.b.


> 5.6.
>
> Seien [mm]v_{1}=\vektor{1\\ -2\\ 1}[/mm], [mm]v_{2}=\vektor{1\\ 0\\ -1}[/mm],
> [mm]v_{3}=\vektor{1\\ 1\\ 1}[/mm]. Die Drehung D um [mm]90°[/mm] um die Achse
> durch [mm]v_{1}[/mm] wird bezogen auf die Basis
> [mm]B=(v_{1},v_{2},v_{3})[/mm] von [mm]\IR^{3}[/mm] durch die Matrix
> [mm]B=\vektor{1&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&0}[/mm] beschrieben. Wie lautet die
> Matrix dieser Drehung bezüglich der kanonischen Basis?
> Berechnet werden soll auch D(v) wobei [mm]v=\vektor{1\\ 2\\ 3}[/mm].
>  Hoi!
>  

Hallo,

> Zuerst habe ich die Transformationsmatrix bezogen auf die
> kanonische Basis gemacht:

Welche Transformationsmatrix? Ich sag's Dir: die für den Übergang von B zur kanonischen Basis, in meiner Schreibweise [mm] _ET_B. [/mm]

>  
> [mm]v_{1}=1e_{1}-2e_{2}+1e_{3}[/mm]
>  [mm]v_{2}=1e_{1}-1e_{3}[/mm]
>  [mm]v_{3}=1e_{1}+2e_{2}+3e_{3}[/mm]

Wo hast Du [mm] v_3 [/mm] her?


>  
> dann lese ich die Transformationsmatrix  an den
> Koeffizienten ab: [mm]\vektor{1&-2&1\\ 1&0&-1\\ 1&2&3}[/mm]

Das ist falsch - abgesehen von dem falschen Vektor [mm] v_3. [/mm]
Die richtige Matrix ist die Transponierte davon.



>  
> Und D(v) berechne ich nun so:

Bevor Du D(v) berechnest, mußt Du doch die darstellungsmatrix von D bzgl. der kanonischen Basis aufstellen.

Am besten liest Du erstmal nach, wie das geht und startest dann einen Versuch.

Gruß v. Angela

> [mm]\vektor{1&-2&1\\ 1&0&-1\\ 1&2&3} \cdot \vektor{1\\ 2\\ 3}=\vektor{1&-2&1\\ 2&0&-2\\ 3&6&9}[/mm]
>  
>
> Stimmt das so?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> danke für jeden Hinweis.  


Bezug
                
Bezug
Basiswechsel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 So 14.11.2010
Autor: kushkush

Hallo und Danke.

> Das ist falsch - abgesehen von dem falschen Vektor
> Die richtige Matrix ist die Transponierte davon.

Wieso muss ich das noch transponieren? Ich suche doch [mm] $T^{B}_{E}$?? [/mm] Also mache ich für die Basis B eine Linearkombination aus den Vektoren der kanonischen Basis und die Koeffizienten sind die Spaltenvektoren der Transformationsmatrix...

> Bevor Du D(v) berechnest, mußt Du doch die darstellungsmatrix von D bzgl. der > kanonischen Basis aufstellen.

Die berechne ich mit der Transformationsformel?

[mm] $D^{E}_{B}=T^{E}_{B} \cdot D^{B}_{E}\cdot T^{B}_{E}$ [/mm]

Und [mm] $T^{B}_{E}$ [/mm] ist die invertierte Transformationsmatrix [mm] $T^{B}_{E}$... [/mm]

Richtig?




Bezug
                        
Bezug
Basiswechsel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 So 14.11.2010
Autor: angela.h.b.


> Hallo und Danke.
>
> > Das ist falsch - abgesehen von dem falschen Vektor
> > Die richtige Matrix ist die Transponierte davon.
>  
> Wieso muss ich das noch transponieren? Ich suche doch
> [mm]T^{B}_{E}[/mm]?? Also mache ich für die Basis B eine
> Linearkombination aus den Vektoren der kanonischen Basis
> und die Koeffizienten sind die Spaltenvektoren der
> Transformationsmatrix...

Hallo,

eben. Die Spaltenvektoren.

>  
> > Bevor Du D(v) berechnest, mußt Du doch die
> darstellungsmatrix von D bzgl. der > kanonischen Basis
> aufstellen.
>
> Die berechne ich mit der Transformationsformel?

Ja.


>
> [mm]D^{E}_{B}=T^{E}_{B} \cdot D^{B}_{E}\cdot T^{B}_{E}[/mm]

Falsch.

Außerdem suchst Du doch [mm] D_E^E, [/mm] und es ist

[mm] $D^{E}_{E}=T^{B}_{E} \cdot D^{B}_{B}\cdot T^{E}_{B}$ [/mm]

>
> Und [mm]T^{B}_{E}[/mm] ist die invertierte Transformationsmatrix
> [mm]T^{B}_{E}[/mm]...

Ja.

Gruß v. Angela

>  
> Richtig?
>
>
>  


Bezug
                                
Bezug
Basiswechsel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 So 14.11.2010
Autor: kushkush


> Ja.

Also:

[mm] $T^{E}_{B}=\vektor{1&1&1\\-2&0&1\\1&-1&1}$ [/mm]

[mm] $T^{B}_{E}=\frac{1}{6}\vektor{1&-2&1\\3&0&-3\\2&2&2}$ [/mm]

[mm] $D^{E}_{E}=\vektor{1&1&1\\-2&0&1\\1&-1&1}\cdot \vektor{1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0} \cdot \frac{1}{6}\vektor{1&-2&1\\3&0&-3\\2&2&2} [/mm]

= [mm] \frac{1}{6}\vektor{2&-4&-4\\1&4&-5\\6&0&0}$ [/mm]


[mm] $\frac{1}{6}\vektor{2&-4&-4\\1&4&-5\\6&0&0}\cdot \vektor{1\\2\\3}=\vektor{-3\\-1\\1}$ [/mm]


Stimmt das so?

Dankeschön

Bezug
                                        
Bezug
Basiswechsel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:07 Mo 15.11.2010
Autor: angela.h.b.


> > Ja.
>
> Also:
>
> [mm]T^{E}_{B}=\vektor{1&1&1\\ -2&0&1\\ 1&-1&1}[/mm]

Hallo,

nein, das ist die Matrix, die den Basiswechsel von B nach E beschreibt,
entsprechend ändert sich auch der Rest.

Gruß v. Angela

>  
> [mm]T^{B}_{E}=\frac{1}{6}\vektor{1&-2&1\\ 3&0&-3\\ 2&2&2}[/mm]
>  
> [mm]$D^{E}_{E}=\vektor{1&1&1\\ -2&0&1\\ 1&-1&1}\cdot \vektor{1&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&0} \cdot \frac{1}{6}\vektor{1&-2&1\\ 3&0&-3\\ 2&2&2}[/mm]
>  
> = [mm]\frac{1}{6}\vektor{2&-4&-4\\ 1&4&-5\\ 6&0&0}$[/mm]
>  
>
> [mm]\frac{1}{6}\vektor{2&-4&-4\\ 1&4&-5\\ 6&0&0}\cdot \vektor{1\\ 2\\ 3}=\vektor{-3\\ -1\\ 1}[/mm]
>  
>
> Stimmt das so?
>
> Dankeschön


Bezug
                                                
Bezug
Basiswechsel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Di 16.11.2010
Autor: kushkush

OK, dankeschön!!!!!!

Bezug
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