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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Fr 04.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Pn(R) bezeichne wie gewöhnlich die Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad kleiner gleich n.
Wir betrachten die Abbildung
[mm] \varphi: P_2(\IR)->P_3(\IR) [/mm] mit [mm] \varphi(p)(x) [/mm] := x p(x),
die Elemente [mm] p_i(x) [/mm] := [mm] x^i [/mm] , [mm] q_i(x) [/mm] := (x [mm] +1)^i [/mm] für i = 0, 1, . . . , 3 und die Basen
B : = [mm] (p_0, p_1, p_2),
[/mm]
C : = [mm] (p_0, p_1, p_2, p_3),
[/mm]
C' : = [mm] (q_0, q_1, q_2, q_3)
[/mm]
von [mm] P_2(\IR) [/mm] bzw. von [mm] P_3(\IR). [/mm] Bestimmen Sie [mm] [\varphi]^B
[/mm]
_{C} und [mm] [\varphi]^B
[/mm]
_C' .
C und C' müssten unten stehen jedoch habe ich es mit dem Formel editior nicht geschaft :S |
Hallo,
wir haben diese Übung zusammen mit einpaar Leuten in der Uni gemacht, jedoch hab ich es noch nicht ganz verstanden. Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.
Als erstes haben wir versucht, die Matrix [mm] \varphi [/mm] von B nach C zu bestimmen.
Dafür haben wir:
[mm] \vektor{1 \\ 0\\0} \to \vektor{0 \\ 1\\0\\0}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1\\0} \to \vektor{0 \\ 0\\1\\0}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0\\1} \to \vektor{0 \\ 0\\0\\1}
[/mm]
Ich vesteh jedoch nicht, wie man darauf kommt. Ich glaube es hat was mit [mm] q_i(x) [/mm] := (x [mm] +1)^i [/mm] zu tun?
Was danach kommt ist mir klar [mm] [\varphi]^B
[/mm]
_{C} [mm] =\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\0&0&1}
[/mm]
Kann mir jemand das erklären?
Danke im voraus
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Fr 04.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du von B nach C willst hat das nichts mit den q zu tun, die ja C' bilden.
der Vektor [mm] p_0=x^0 [/mm] wird mit [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] geschrieben in B
[mm] p_1=x^1=\vektor{0\\1\\0} [/mm]
in C entsprechend mit einer Komponente mehr.
also [mm] p_1 [/mm] in C [mm] p_1=x=\phi(p_0)=\vektor{0\\1\\0\\0}
[/mm]
nichts anderes steht da.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:49 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
Guten morgen
> also [mm]p_1[/mm] in C [mm]p_1=x=\phi(p_0)=\vektor{0\\1\\0\\0}[/mm]
> nichts anderes steht da.
ist das nicht [mm] p_0 [/mm] in C?
Ich dachte nähmlich [mm] p_1 [/mm] in C wäre [mm] \vektor{0\\0\\1\\0}
[/mm]
oder irre ich mich???
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
Moin,
> Guten morgen
>
>
> > also [mm]p_1[/mm] in C [mm]p_1=x=\phi(p_0)=\vektor{0\\1\\0\\0}[/mm]
> > nichts anderes steht da.
>
>
> ist das nicht [mm]p_0[/mm] in C?
>
> Ich dachte nähmlich [mm]p_1[/mm] in C wäre [mm]\vektor{0\\0\\1\\0}[/mm]
Leider nein. Es gilt doch nach Definition [mm] \varphi(p_0)(x)=x\cdot x^0=x=p_1(x). [/mm] C hast du definiert als C : = [mm] (p_0, p_1, p_2, p_3). [/mm] Hier steht [mm] p_1 [/mm] an zweiter Stelle, folglich muss der Vektor [mm] \vektor{0\\1\\0\\0} [/mm] lauten
>
> oder irre ich mich???
>
> Lg Melisa
Gruß,
pyw
P.S.: zum Formeleditor: Schreibe (ohne Leerzeichen dazwischen) M ^ B _ C Ergebnis [mm] M^B_C
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:35 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok habs verstanden danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 10.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich bin gerade am wiederholen und merke das ich es doch nicht ganz verstanden habe :-S
Um [mm] [\varphi]^B_C [/mm] zu bestimmen betrachten wir ja die Bilder der Basisvektoren aus B unter [mm] \varphi.
[/mm]
Warum ist jetzt aber [mm] \varphi(p_0)=p_1 [/mm] und [mm] \varphi(p_1)=p_2??
[/mm]
Lg Melisa
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> Hallo,
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> ich bin gerade am wiederholen und merke das ich es doch
> nicht ganz verstanden habe :-S
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> Um [mm][\varphi]^B_C[/mm] zu bestimmen betrachten wir ja die Bilder
> der Basisvektoren aus B unter [mm]\varphi.[/mm]
Hallo,
ja, so ist es.
>
> Warum ist jetzt aber [mm]\varphi(p_0)=p_1[/mm] und
> [mm]\varphi(p_1)=p_2??[/mm]
Die Abbildung [mm] \varphi [/mm] bildet in bestimmter Weise Polynome des [mm] P_2 [/mm] auf solche des [mm] P_2 [/mm] ab.
Wie tut sie das? Indem jedem Polynom sein x-faches zugeordnet wird.
Und das x-fache von [mm] p_0 [/mm] ist nunmal [mm] p_1, [/mm] das x-fache von [mm] p_1 [/mm] ist [mm] p_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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>
> Lg Melisa
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