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Basiswechsel Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 So 29.11.2015
Autor: Richie1401

Aufgabe
Sei [mm] b_1=(1,2,1), b_2=(2,9,0) [/mm] und [mm] b_3=(3,3,4) [/mm] eine Basis von [mm] \IR^3. [/mm] Eine lin. Abbildung ist def. durch [mm] f(b_1)=(1,0), f(b_2)=(-1,1) [/mm] und [mm] f(b_3)=(0,1). [/mm]

Wie lautet die Matrix der Abblidung bzgl. der Standardbasen?

Hallo und schönen 1. Advent!

Ich habe gerade vor mir eine Aufgabe (s.o.) von einem Freund vor mir liegen und bin doch tatsächlich kurz verwirrt.
Bitte schaut mal drüber:

Die Darstellungsmatrix der Abbildung bzgl. der Basen [mm] b_i [/mm] ist gegeben durch:

   [mm] A=\pmat{-41&9&24\\14&-3&-8} [/mm]

Jetzt würde ich die Basiswechselmatrix berechnen. Für [mm] \IR^2 [/mm] wird ist die Wechselmatrix einfach die identische Matrix [mm] T_1=E_2. [/mm] Nur den Übergang der Basis [mm] b_i [/mm] zu der Standardbasis ist also interessant.

Man sucht also die Lösungen zu:

   [mm] e_i=\alpha_i b_1+\beta_i b_2+\gamma_i b_3 [/mm]

Ich habe das System gelöst und erhalte

   [mm] T_2=\pmatrix{\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\\beta_1&\beta_2&\beta_3\\\gamma_1&\gamma_2&\gamma_3}=\pmatrix{-36&8&21\\5&-1&-3\\9&-2&-5} [/mm]

Nun ist der Basiswechsel gegeben durch

   [mm] \tilde{A}=T_1^{-1}AT_2=\pmatrix{1737 & -385 & -1008 \\-591 & 131 & 343} [/mm]

So, nun frage ich mich: wo ist der Fehler? Ich glaube ich habe etwas verpeilt...

Vielen Dank für Eure Mühen!

        
Bezug
Basiswechsel Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 So 29.11.2015
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]b_1=(1,2,1), b_2=(2,9,0)[/mm] und [mm]b_3=(3,3,4)[/mm] eine Basis von
> [mm]\IR^3.[/mm] Eine lin. Abbildung ist def. durch [mm]f(b_1)=(1,0), f(b_2)=(-1,1)[/mm]
> und [mm]f(b_3)=(0,1).[/mm]
>  
> Wie lautet die Matrix der Abblidung bzgl. der
> Standardbasen?
>  Hallo und schönen 1. Advent!
>  
> Ich habe gerade vor mir eine Aufgabe (s.o.) von einem
> Freund vor mir liegen und bin doch tatsächlich kurz
> verwirrt.
>  Bitte schaut mal drüber:
>  
> Die Darstellungsmatrix der Abbildung bzgl. der Basen [mm]b_i[/mm]
> ist gegeben durch:

Hallo,

Du meinst bzgl der Basis [mm] B=(b_1, b_2,b_3) [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] und der Standardbasis des [mm] \IR^2? [/mm]

Das wäre die Matrix [mm] A'=\pmat{1&-1&0\\0&1&1}. [/mm]

In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl der Standardbasis.


>  
> [mm]A=\pmat{-41&9&24\\14&-3&-8}[/mm]

Das ist die Matrix, die meiner Rechnung nach f bzgl der Standardbasen darstellt.


>  
> Jetzt würde ich die Basiswechselmatrix berechnen. Für
> [mm]\IR^2[/mm] wird ist die Wechselmatrix einfach die identische
> Matrix [mm]T_1=E_2.[/mm] Nur den Übergang der Basis [mm]b_i[/mm] zu der
> Standardbasis ist also interessant.

Nein, der übergang von der Standardbasis zu B interessiert.

>  
> Man sucht also die Lösungen zu:
>  
> [mm]e_i=\alpha_i b_1+\beta_i b_2+\gamma_i b_3[/mm]

Genau.

>  
> Ich habe das System gelöst und erhalte
>  
> [mm]T_2=\pmatrix{\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\\beta_1&\beta_2&\beta_3\\\gamma_1&\gamma_2&\gamma_3}=\pmatrix{-36&8&21\\5&-1&-3\\9&-2&-5}[/mm]

Das ist die Matrix,. die Vektoren, die bzgl der Standardbasis gegeben sind, in solche bzgl B umwandelt.


>  
> Nun ist der Basiswechsel gegeben durch
>  
> [mm]\tilde{A}=T_1^{-1}AT_2=\pmatrix{1737 & -385 & -1008 \\-591 & 131 & 343}[/mm]
>  
> So, nun frage ich mich: wo ist der Fehler? Ich glaube ich
> habe etwas verpeilt...

Du mußt [mm] A'*T_2 [/mm] rechnen, also [mm] \pmat{1&-1&0\\0&1&1}*\pmatrix{-36&8&21\\5&-1&-3\\9&-2&-5}, [/mm]

und Du bekommst dann die Matrix A, die Du oben schon angibst.

LG Angela

>  
> Vielen Dank für Eure Mühen!


Bezug
                
Bezug
Basiswechsel Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 So 29.11.2015
Autor: Richie1401

Hallo Angela,

danke für deine Antwort.

> > Sei [mm]b_1=(1,2,1), b_2=(2,9,0)[/mm] und [mm]b_3=(3,3,4)[/mm] eine Basis von
> > [mm]\IR^3.[/mm] Eine lin. Abbildung ist def. durch [mm]f(b_1)=(1,0), f(b_2)=(-1,1)[/mm]
> > und [mm]f(b_3)=(0,1).[/mm]
>  >  
> > Wie lautet die Matrix der Abblidung bzgl. der
> > Standardbasen?
>  >  Hallo und schönen 1. Advent!
>  >  
> > Ich habe gerade vor mir eine Aufgabe (s.o.) von einem
> > Freund vor mir liegen und bin doch tatsächlich kurz
> > verwirrt.
>  >  Bitte schaut mal drüber:
>  >  
> > Die Darstellungsmatrix der Abbildung bzgl. der Basen [mm]b_i[/mm]
> > ist gegeben durch:
>  
> Hallo,
>  
> Du meinst bzgl der Basis [mm]B=(b_1, b_2,b_3)[/mm] des [mm]\IR^3[/mm] und der
> Standardbasis des [mm]\IR^2?[/mm]
>  
> Das wäre die Matrix [mm]A'=\pmat{1&-1&0\\0&1&1}.[/mm]

Wenn dies aber meine Abbildungsmatrix sein soll, dann sollte doch auch [mm] A'b_1=(1,0) [/mm] gelten, nicht wahr? Dies ist aber offensichtlich nicht richtig.

Die von mir angegebene leistet dies aber gerade. Von daher war ich mir recht sicher, dass die Matrix auch korrekt ist.

>  
> In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren von B in
> Koordinaten bzgl der Standardbasis.
>  
>
> >  

> > [mm]A=\pmat{-41&9&24\\14&-3&-8}[/mm]
>  Das ist die Matrix, die meiner Rechnung nach f bzgl der
> Standardbasen darstellt.
>  
>
> >  

> > Jetzt würde ich die Basiswechselmatrix berechnen. Für
> > [mm]\IR^2[/mm] wird ist die Wechselmatrix einfach die identische
> > Matrix [mm]T_1=E_2.[/mm] Nur den Übergang der Basis [mm]b_i[/mm] zu der
> > Standardbasis ist also interessant.
>  
> Nein, der übergang von der Standardbasis zu B
> interessiert.

Ok, ja. Beide Matrizen stehen ja über die Inversenbildung in Beziehung zueinander. Aber stimmt schon. Pardon, ich hätte es gleich anders aufschreiben sollen.

>  
> >  

> > Man sucht also die Lösungen zu:
>  >  
> > [mm]e_i=\alpha_i b_1+\beta_i b_2+\gamma_i b_3[/mm]
>  
> Genau.
>  >  
> > Ich habe das System gelöst und erhalte
>  >  
> >
> [mm]T_2=\pmatrix{\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\\beta_1&\beta_2&\beta_3\\\gamma_1&\gamma_2&\gamma_3}=\pmatrix{-36&8&21\\5&-1&-3\\9&-2&-5}[/mm]
>  
> Das ist die Matrix,. die Vektoren, die bzgl der
> Standardbasis gegeben sind, in solche bzgl B umwandelt.
>  
>
> >  

> > Nun ist der Basiswechsel gegeben durch
>  >  
> > [mm]\tilde{A}=T_1^{-1}AT_2=\pmatrix{1737 & -385 & -1008 \\-591 & 131 & 343}[/mm]
>  
> >  

> > So, nun frage ich mich: wo ist der Fehler? Ich glaube ich
> > habe etwas verpeilt...
>  
> Du mußt [mm]A'*T_2[/mm] rechnen, also
> [mm]\pmat{1&-1&0\\0&1&1}*\pmatrix{-36&8&21\\5&-1&-3\\9&-2&-5},[/mm]
>  
> und Du bekommst dann die Matrix A, die Du oben schon
> angibst.

Oder eben [mm] \tilde{A}=AT_2^{-1}=A' [/mm]

Entschuldige, dass ich noch einmal nachhaken muss. Aber gerade (bspw.) wegen [mm] A'b_1\not=(1,0), [/mm] bin ich noch nicht davon überzeugt, dass die Matrizen korrekt sind. Ich fasse nur noch einmal schnell zusammen, wie es meiner Meinung nach sein sollte.

[mm] f:\IR^3\to\IR^2 [/mm] mit Basen B von [mm] \IR^3 [/mm] und Standardbasis von [mm] \IR^2 [/mm]
   [mm] $A=\pmat{-41&9&24\\14&-3&-8}$ [/mm]

[mm] f:\IR^3\to\IR^2 [/mm] mit Standardbasen
   [mm] $A=\pmat{1&-1&0\\0&1&1}$ [/mm]

Vielen Dank für weitere Anregungen/Meinungen/Hinweise!

Liebe Grüße

P.S. Leider kann ich die Formatierung nicht prüfen, da die Latex-Grafiken nicht angezeigt wird, sondern nur der entsprechende Code.

Bezug
                        
Bezug
Basiswechsel Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 So 29.11.2015
Autor: angela.h.b.


> Hallo Angela,
>  
> danke für deine Antwort.
>
> > > Sei [mm]b_1=(1,2,1), b_2=(2,9,0)[/mm] und [mm]b_3=(3,3,4)[/mm] eine Basis von
> > > [mm]\IR^3.[/mm] Eine lin. Abbildung ist def. durch [mm]f(b_1)=(1,0), f(b_2)=(-1,1)[/mm]
> > > und [mm]f(b_3)=(0,1).[/mm]

Hallo,

> > Du meinst

die Darstellungsmatrix von f

> bzgl der Basis [mm]B=(b_1, b_2,b_3)[/mm] des [mm]\IR^3[/mm] und der
> > Standardbasis des [mm]\IR^2?[/mm]
>  >  
> > Das wäre die Matrix [mm]A'=\pmat{1&-1&0\\0&1&1}.[/mm]
>  
> Wenn dies aber meine Abbildungsmatrix sein soll, dann
> sollte doch auch [mm]A'b_1=(1,0)[/mm] gelten, nicht wahr? Dies ist
> aber offensichtlich nicht richtig.

Man muß für [mm] b_1, [/mm] da A ja bzgl B ist, den Koordinatenvektor von [mm] b_1 [/mm] bzgl B nehmen, also [mm] \vektor{1\\0\\0}, [/mm] denn [mm] b_1=1*b_1+0*b_2+0*b_3. [/mm]
Und wenn man das tut, dann paßt's auch.

>  
> Die von mir angegebene leistet dies aber gerade.

Deine, die Matrix [mm] \pmat{-41&9&24\\14&-3&-8}, [/mm] ist die Matrix bzgl der Standardbasen.
Wenn Du sie mit [mm] b_1 [/mm] bzgl. der Standardbasis (also mit [mm] b_1=\vektor{1\\2\\1)} [/mm] fütterst,
liefert sie [mm] f(b_1) [/mm] in Koordinaen bzgl der Standardbasis. Alles tutti.


> Von daher
> war ich mir recht sicher, dass die Matrix auch korrekt
> ist.

Eine Matrix bzgl B muß mit Vektoren gefüttert werden, die in Koordinaten bzgl B sind,
und eine Matrix bzgl der Standardbasis mit mit Vektoren in Koordinaten bzgl der Standardbasis gefüttert werden.

LG Angela


Bezug
                                
Bezug
Basiswechsel Abbildung: Adventslicht ist aufgegangen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:28 So 29.11.2015
Autor: Richie1401

Nochmal Hallo Angela,

ich bin doch ein Esel.

Es ist mir nun alles kar. Leider weiß ich auch nicht, warum ich gerade so deppernd mich angestellt habe. Ich könnte es ja auf den Glühwein schieben - aber den gab es noch gar nicht ;)

Vielen Dank für deine Mühen und einen schönen 1. Advent!

Liebe Grüße

Bezug
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