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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Sa 10.07.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo, ich würde gerne wissen, ob ich die folgende Aufgabe richtig gemacht habe: Bestimmen sie die Basiswechselmatrix von der Standardbasis in B. B={(2,1,-1),(1,1,0),(1,1,-1)}.
Meine Lösung:
E=[mm]\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\gdw e_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix},e_2 =\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix},e_3 =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \\ \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\varphi (\vec a_1 )_B =\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}=x \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}\Rightarrow x=1, y=-1,z=0[/mm] wenn man nun dies für die anderen 3 Basisivektoren fortsetzt, so ergibt sich in Matrixform geschrieben nun[mm]\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix}[/mm] Ist diese Lösung korrekt? Ich weiss noch, dass es eine Methode geben soll, welche einfacher geht, ich verstehe diese aber leider nicht. Wäre schön wenn jemand meine Lösung begutachten könnte und wenn mir jemand die einfachere Methode erklären kann. MfG Magician.
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Hallo Magician,
modulo Transposition ist deine Lösung richtig. Wenn du also ein richtiges Verfahren verwendet hast, dann sind dir keine Rechenfehler unterlaufen.
Soweit ich mich erinnere, gibt es zwei Transformationsmatrizen: Die Basistransformationsmatrix und die Koordinatentransformationsmatrix, und die waren die transponierten voneinander. Ich weiss aber nicht mehr, durch welche Eigenschaften sie definiert sind.
Kannst du schreiben, was bei der einfacheren Methode gemacht wird?
Gruss,
SirJective
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:22 So 11.07.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo,
ob meine Methode richtig war weiss ich ja eben nicht! Darum weiss ich auch nicht ob das Ergebnis richtig ist. Die einfachere Methode geht irgendwie mit der Inversen von der Matrix, wie genau weiss ich eben auch nicht. Aber primär ist das wichtigste, dass ich weiss, ob meine Methode richtig war oder nicht. Also, kann mir jemand sagen, ob meine Methode richtig war oder nicht und wenn nicht wie es denn geht? MfG Magician.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:03 So 11.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Magician!
Du hast - vom Prinzip her völlig richtig (Nachtrag: allerdings hast du dich verrechnet!)- die Transformationsmatrix beim Übergang von der "alten" Basis ${\cal E}_3$ (also der Standardbasis) zu "neuen" Basis ${\cal B}$ angegeben, also die darstellende Matrix der linearen Abbildung
$T_{\cal B}^{{\cal E}_3} := \Phi_{\cal B}^{-1} \circ \Phi_{{\cal E}_3} = \Phi_{\cal B}^{-1}$, wobei
$\Phi_{\cal A}$ für eine geordenete Basis ${\cal A}=(v_1,\ldots,v_n)$ eines $\IK$-Vektorraums $V$ die kanonische Koordinatenabbildung ist, also:
$\Phi_{\cal A} : \begin{array}{ccc} \IK^n & \to & V \\[5pt] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} & \mapsto & x_1v_1 + x_2 v_2 + \ldots + x_n v_n \end{array}$.
Man kann aber auch so vorgehen:
Bestimme zunächst die Transformationsmatrix beim Übergang von der Basis ${\cal B}$ zur Basis ${\cal E}_3$, also die darstellende Matrix der linearen Abbildung
$T_{{\cal E}_3}^{\cal B}} := \Phi_{{\cal E}_3}^{-1} \circ \Phi_{\cal B} = \Phi_{\cal B}$.
Das ist einfach, da die Basis ${\cal B}$ ja bereits in Koordinaten von ${\cal E}_3$ angegeben ist!
In deinem Fall wäre einfach (ich identifiziere die darstellende Matrix von $T_{{\cal E}_3}^{\cal B}$ mit eben dieser linearen Abbildung):
$T_{{\cal E}_3}^{\cal B} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$,
d.h. in die Spalten kommen einfach die Koordinaten der Basis ${\cal B}$, die bezüglich der Standardbasis ${\cal E}_3$ kanonisch gegeben sind.
Nun kannst du noch die offensichtliche Beziehung
$T_{\cal B}}^{{\cal E}_3} = \left(T_{{\cal E}_3}^{\cal B}\right)^{-1}$
ausnutzen, und du erhältst auf diese Weise dann deine gewünschte Basiswechselmatrix.
Also kurz  :
Koordinaten der neuen Basis in die Spalten schreiben und dann invertieren!
Ich hoffe das hilft dir weiter. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 11.07.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo, erst mal vielen Dank für deine Antwort. Nun habe ich aber eine Frage, wenn ich das mit der Inversen mache, so erhalte ich als Lösung [mm]\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ -1 & 1 & -1\end{pmatrix} [/mm] wenn ich das mit der 1. Lösung [mm]\begin{pmatrix}1 & 0 &-1\\ -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix} [/mm] vergleiche, so fällt auf, dass die Spalten und zeilen vetauscht sind. Welches ist nun die richtige Lösung und warum sind die Spalten und zeilen vertauscht? MfG Magician.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 So 11.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Magician!
> Hallo, erst mal vielen Dank für deine Antwort. Nun habe ich
> aber eine Frage, wenn ich das mit der Inversen mache, so
> erhalte ich als Lösung [mm]\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ -1 & 1 & -1\end{pmatrix} [/mm]
> wenn ich das mit der 1. Lösung [mm]\begin{pmatrix}1 & 0 &-1\\ -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix} [/mm]
> vergleiche, so fällt auf, dass die Spalten und zeilen
> vetauscht sind. Welches ist nun die richtige Lösung und
> warum sind die Spalten und zeilen vertauscht?
Die erste Matrix (also [mm] $\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ -1 & 1 & -1\end{pmatrix}$) [/mm] ist richtig. Du hast zwar das Prinzip auch bei der anderen Matrix richtig angewendet, dich aber leider verrechnet. (Beim ersten Mal hatte ich nur auf das Prinzip geachtet und leider nicht alles genau nachgerechnet.) Genauer dazu findest du in meiner Antwort hier.
Ist denn jetzt alles klar? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo, vielen dank für deine Hilfe. Fu hattest recht, ich habe mich verrechnet (typischer Rechenfehler eines Studenten, irgendwie kam dann ja doch was richtiges raus, nur zeilen und spalten vertauscht). Ich werde es hier aber nicht noch einmal vorführen, weil jedem der dies hier liest nun klar sein sollte wies geht. MfG Magician.
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