Basiswechselmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Di 09.10.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | | Wir betrachten den [mm] \IR^n [/mm] mit dem Standard-Skalarprodukt. Sei nun B eine Basis und B' die Orthonormal-Basis, die mit dem Gram-Schmidt Verfahren daraus hervor geht. Wie viele Einträge der Basiswechselbatrix [mm] A_{id,B,B'} [/mm] sind mindestens bzw. maximal gleich 0? |
Ich habe mir überlegt, dass maximal [mm] n^2-n [/mm] Einträge 0 sein können (also alle bis auf die Hauptdiagonale) und zwar genau dann, wenn B bereits orthonormal ist und die Basiswechselmatrix damit die Identität ist.
Aber was kann ich über einen minimalen Wert aussagen?
Gruß Zerwas
|
|
| |
|
Hallo zerwas!
In die Basiswechselmatrix werden ja gerade die Koeffizienten eingetragen, die sich aus dem Gram-Schmidt-Verfahren ergeben. Versuch das doch einfach mal für $n=2$ oder $n=3$. Welche Gestalt hat diese Matrix?
Ich hoffe, dieser Tipp hilft dir weiter.
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:11 Di 09.10.2007 | | Autor: | Zerwas |
danke erstmal :)
ich habe mir jetzt überlegt:
Sei [mm] B=(\pmat{1\\0},\pmat{0\\1})
[/mm]
Dann gilt B=B' und damit ist die Transformationsmatrix die Einheintesmatrix und weniger Einträge gehen auch nicht (s.o.)
Dann sei [mm] B=(\pmat{1\\-1},\pmat{-1\\2})
[/mm]
Dann ist B' (nach GS) = [mm] (\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}}\\-\bruch{1}{\wurzel{2}}},\pmat{\bruch{\wurzel{2}}{2}\\\bruch{\wurzel{2}}{2}})
[/mm]
und damit sind dann alle Einträge der Matrix ungleich 0
oder? :-[
und wie komme ich auf die Matrix? ich habe sie jetzt immer umständlich mit gleichungssystemen aufgestellt.
Gruß Zerwas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 11.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
