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Bau einer Kläranlage: Minimum berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Mo 12.10.2009
Autor: Schneggelsche

Aufgabe
Fig. 1 zeigt die gegenseitige Lage der Orte A,B und C. Im Punkt P soll eine gemeinsame Kläranlage gebaut werden. Wie ist P zu wählen, damit die Leitungen möglichst kurz werden? [Dateianhang nicht öffentlich]

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich an diese Aufgabe herangehen muss. Ich habe keine Idee, wie ich die verschiedenen Beziehungen miteinander verarbeiten muss. Könntet Ihr mir bitte helfen, einen Ansatz zu finden?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Bau einer Kläranlage: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Mo 12.10.2009
Autor: fred97

Sei [mm] d_1 [/mm] die Entfernung der Punkte A und P, sei [mm] d_2 [/mm] die Entfernung der Punkte B und P und sei [mm] d_3 [/mm] die Entfernung derPunkte C und P. Diese Abstände hängen von x ab.

Deine Aufgabe ist es , x so zu bestimmen, dass [mm] d_1+d_2+d_3 [/mm] minimal wird.


Es ist z.B. [mm] d_3 [/mm] = x und [mm] d_1 [/mm] = [mm] \wurzel{8^2+(15-x)^2} [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Bau einer Kläranlage: Kann ich dann so weitermachen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Mo 12.10.2009
Autor: Schneggelsche

Dann müsste d2 = Wurzel(5² + (15-x)²) sein, oder?
Dann komme ich auf:
f(x) = x+Wurzel(8² + (15-x)²) + Wurzel (5²+(15-x)²)
abgeleitet:
f´(x) =1+((x-15)/2*Wurzel(289-30x+x²)) + ((x+15)/2*Wurzel(250-30x+x²))
f´(x)=0 setzen und x ausrechnen.
Dann würde ich x in d1, d2, und d3 einsetzen und dann hätte ich die Abstände zu P.
Wenn ich dann davon ausgehe, dass die Achse PC auf der y-Achse liegt und die Achse AB auf der x-Achse, kann ich die Koordinaten für P angeben, oder?

Bezug
                        
Bezug
Bau einer Kläranlage: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Mo 12.10.2009
Autor: fred97

Deine Ableitung ist falsch !

FRED

Bezug
                                
Bezug
Bau einer Kläranlage: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:58 Mo 12.10.2009
Autor: Schneggelsche

ok. Danke!
Ich muss es nochmal rechnen...

Bezug
                                        
Bezug
Bau einer Kläranlage: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Mo 12.10.2009
Autor: Schneggelsche

Habe es erneut gerechnet, bin aber unsicher, ob es jetzt stimmt:
f´(x) = 1 + (-15+x)/Wurzel(289-30x+x²) + (-15+x)/(250-30x+x²)
Stimmt es jetzt?

Bezug
                                                
Bezug
Bau einer Kläranlage: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:15 Mo 12.10.2009
Autor: M.Rex

Hallo

Das ist korrekt.

Marius

Bezug
                                        
Bezug
Bau einer Kläranlage: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 Mo 12.10.2009
Autor: M.Rex

Hallo

Einen Teil gebe ich dir mal vor:

[mm] \wurzel{8^{2}+(15-x)^{2}}=\wurzel{64+(15-x)^{2}} [/mm]

hat mit Kettenregel die Ableitung

[mm] \bruch{1}{2\wurzel{64+(15-x)^{2}}}*(30-2x)=\bruch{15-x}{\wurzel{64+(15-x)^{2}}} [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Bau einer Kläranlage: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Mo 12.10.2009
Autor: Schneggelsche

Muss ich jetzt nicht die Ableitung gleich 0 setzen?

Bezug
                                                        
Bezug
Bau einer Kläranlage: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Mo 12.10.2009
Autor: M.Rex


> Muss ich jetzt nicht die Ableitung gleich 0 setzen?

Yep, aber die komplette, die du ja jetzt korrekterweise vorliegen hast, mit

[mm] f'(x)=1+\bruch{x-15}{\wurzel{289-30x+x^{2}}}+\bruch{x-15}{\wurzel{250-30x+x^{2}}} [/mm]

Ein Tipp noch. Lass unter der Wurzel [mm] (15-x)^{2} [/mm] stehen, also
[mm] f'(x)=1+\bruch{x-15}{\wurzel{64-(15-x)^{2}}}+\bruch{x-15}{\wurzel{25-(15-x)^{2}}}, [/mm] dann kannst du bei der Berechnung der Nullstellen von f'(x) z:=15-x substituieren, also:
[mm] f'(z)=1+\bruch{-z}{\wurzel{64-(z)^{2}}}+\bruch{-z}{\wurzel{25-(z)^{2}}} [/mm]

Diese Antwort war nur als Hilfestellung für die Bildung der Ableitung zu verstehen

Marius

Bezug
                                                                
Bezug
Bau einer Kläranlage: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:32 Mo 12.10.2009
Autor: Schneggelsche

Ach so!
Vielen Dank!

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