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Baumdiagramm: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:40 So 12.09.2004
Autor: Rabea

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

Ich hoffe Ihr könnt mir etwas auf die Sprünge helfen. Ich soll ein Baumdiagramm zur folgenden Aufgabe erstellen:

10 absolut treffsichere Jäger schießen gleichzeitig auf 10 Moorhühner. Jeder Jäger sucht sich sein Huhn zufällig aus.
a. Mit welcher Wahrscheinlichkeit  überlebt ein einzelnes Huhn?
b. Wie viele überleben im Durchschnitt?

Ich krieg das nicht hin und bin für jeden Tip dankbar.

        
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Baumdiagramm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 So 12.09.2004
Autor: nitro1185

Hallo!!

Ich bin nicht so geübt mit wahrscheinlichkeits aufgaben,aber im prinzipm handelt es sich hier um eine la'placsche wahrscheinlichkeit!

D.h,dass bei jedem jäger die gleichen bedingungen und somit wahrscheinlichkeit für den treffer eines huhnes vorliegt!

=> p(X=1)= Anzahl der günstigen/Anzahl der Möglichen= 1/10!!

Die wahrscheinlichkeit, dass ein huhn getroffen wird beträgt 1/10 und somit ist die wahrscheinlichkeit, dass ein huhn nicht getroffen wird 9/10 pro schuss!!Es fallen aber 10 Schüsse d.h es sing im printip 10 Züge deines baumdiagrammes!!

=> p= (9/10)^10 =0,348=35%

hoffe ich konnte dir helfen !!Gruß daniel



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Baumdiagramm: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:06 So 12.09.2004
Autor: Rabea

HAllo!

Danke erstmal für deine Antwort!!

Ich hab allerdings dazu eine Frage: Ist es nicht so, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Huhn überlebt , 1/10 ?
Und die Wahrscheinlichkeit dass das Huhn erschossen wird 9/10?

Theoretisch könnten ja zwei Jäger auf ein Huhn schießen und somit würde eins überleben, also 1/10.

Viele Grüße Rabea  

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Baumdiagramm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:37 Mo 13.09.2004
Autor: Stefan

Liebe Rabea!

Es herrscht Unklarheit darüber, wie die Aufgabe zu verstehen ist. Könntest du bitte (bei deiner Lehrerin/deinem Lehrer) in Erfahrung bringen, wessen Interpretation richtig ist?

Die Mathematik dahinter ist dann anschließend einfach (und lässt sich von mir erklären), aber die Problematik besteht (wie häufig bei diesen Stochastik-Schulaufgaben) darin zu verstehen, was eigentlich gefragt ist. [keineahnung]

Liebe Grüße
Stefan

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Baumdiagramm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 Mo 13.09.2004
Autor: Rabea

Hallo Stefan,

Danke für die tatkräftige Unterstützung. Die Lösung mit den 35% von nitro war o.k. Die Frage a sollte so verstandne werden.
Aber wie stelle ich das als Baumdiagramm dar?
Und wie berechne ich die Frage b mit dem Durchschnitt und stelle das denn dar?

Viele Grüße
Rabea




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Baumdiagramm: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 17:31 So 12.09.2004
Autor: Teletubyyy

Mach ein Baumdiagramm mit (+) und (-), wobei (-) bedeutet, dass kein Huhn stirbt und (+) beideutet, dass ein Huhn getroffen wird.
a)
Dass genau 1 Huhn überlebt ist also die Warscheinlichkeit (+++++++++-) oder (++++++++-+)...
Per Pfadregel kann man jetzt auf die Wahrscheinlichkeit schließen:
[mm] P(+++++++++-)= \bruch {10}{10} * \bruch {9}{10} *\bruch {8}{10}*...*\bruch {2}{10} *\bruch {9}{10} = \bruch {10!}{10^{9}}*\bruch {9}{10} [/mm]
[mm] P(++++++++-+)= \bruch {10}{10} * \bruch {9}{10} *\bruch {8}{10}*...*\bruch {3}{10} *\bruch {8}{10}*\bruch{2}{10} = \bruch {10!}{10^{9}}*\bruch {8}{10} [/mm]
[mm] P(+++++++-++)= \bruch {10}{10} * \bruch {9}{10} *\bruch {8}{10}*...*\bruch {4}{10} *\bruch {7}{10}*\bruch{3}{10}*\bruch{2}{10} = \bruch {10!}{10^{9}}*\bruch {7}{10} [/mm]
man erkennt die Systematik:
[mm] P(++++++-+++)= \bruch {10!}{10^{9}}*\bruch {6}{10} [/mm]
[mm] P(+++++-++++)= \bruch {10!}{10^{9}}*\bruch {5}{10} [/mm]
[mm] P(++++-+++++)= \bruch {10!}{10^{9}}*\bruch {4}{10} [/mm]
[mm] P(+++-++++++)= \bruch {10!}{10^{9}}*\bruch {3}{10} [/mm]
[mm] P(++-+++++++)= \bruch {10!}{10^{9}}*\bruch {2}{10} [/mm]
[mm] P(+-++++++++)= \bruch {10!}{10^{9}}*\bruch {1}{10} [/mm]
[mm] P(-+++++++++)= \bruch {10!}{10^{9}}*\bruch {0}{10} [/mm]

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also:
[mm] P=\bruch {10!}{10^9}*(\bruch{0+1+2+...+9}{10})=0,0163296 [/mm]

b)
Ich weiß nicht ob dir meine antwort weiterhilft, da ich hier nichts rechne:
Jede Wahrscheinlichkeit an einer Abzweigung für (+) tritt an einer anderen stelle für (-) des Baumdiagramms aus von der ersten Abzweigung abgesehen Bsp.: P(+ ++++++++-) = P(+ -+++++++).
Das heißt von dem ersten + abgesehen ist die Anzahl der + und - im Durchschnitt gleich. also werden im Schnitt 1 + 9/2 Hühner getroffen. Somit werden im Durchschnitt 5,5 Hühner getroffen!


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Baumdiagramm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:34 So 12.09.2004
Autor: Stefan

Hallo Teletubby!

Die Antwort zu b) ist leider falsch (die zu a) auch, wurde aber ja vorher bereits richtig gegeben).

Ich komme im Moment nicht dazu den Fehler zu erläutern. Spätestens morgen werde ich darauf eingehen und die richtige Antwort präsentieren. Vielleicht kann das vorher aber auch schon jemand anderes zun. (?)

Liebe Grüße
Stefan

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Baumdiagramm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:24 So 12.09.2004
Autor: Teletubyyy

erstmal sorry @sabea wegen der falschen antwort(en) *schäm*

Aber jetzt zu Teilaufgabe a), wo ich mich weiterhin im Recht fühle.

1. scheint mir das Ergebnis von Nitro viel zu hoch, den hierbei würde in einem von 3 Fällen genau 1 Huhn überleben. Und nur in 2 von 3 Fällen 2 bis 9 Hühner überleben.

2. P=(9/10)^10 ist lediglich die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Huhn nicht getroffen wird. Also die Wahrscheinlichkeit das MINDESTENS 1 Huhn überlebt und nicht dass GENAU ein "einzelnes" Huhn überlebt.

Wenn meine Lösung trotzdem falsch ist, würde mich sehr interessieren warum?


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Baumdiagramm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:23 Mo 13.09.2004
Autor: Stefan

Hallo Teletubby!

Zur a): Ich habe die Aufgabe anders verstanden. Ich dachte (und so kenne ich die Aufgabe auch, in- und auswändig ;-)), es wird nicht gefragt, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass "(genau) ein Huhn überlebt", sondern dass "ein bestimmtes Huhn überlebt". Das heißt, man greift sich ein Huhn raus, nennen wir es Alfred, und fragen nach der Wahrscheinlichkeit, dass es überlebt. Es kann dann schon sein, dass auch noch andere Hühner (Berta, Charly,... ;-) (schau mal in mein Profil),...) überleben.

Aber wenn ich drüber nachdenke, kann es durchaus (gut) sein, dass deine Interpretation richtig ist. In diesem Fall möchte ich mich bei dir entschuldigen. [sorry]

Liebe Grüße
Stefan

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Baumdiagramm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Mo 13.09.2004
Autor: frank2004

Hallo zusammen,

gibt es wirklich einen Unterschied bei dieser Aufgabe, ob ein beliebiges Huhn von Nr. 1 bis Nr. 10 (und nur eines dieser 10) überlebt oder ob nur Huhn Nummer 2 (also Alfred :-)) überlebt?

Bei mir würde die Lösung lauten:
P(X=0)=0,348 mit X ~ Bin(10; 0,1) und E(X) = 1 (also im Durchschnitt überlebt immer ein Huhn, oder?).

Wie würde denn die andere Lösung aussehen? Ich glaube nicht, dass die Berechnung von Teletubby stimmt, denn in der letzen Berechnung P(-++++++++++) kommt 0 heraus, und damit hätte Huhn Nr. 1 keine Überlebenschance und würde doch erschossen.

Oder gibt es bei mir einen Denkfehler?

Danke und Gruß
Frank

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Baumdiagramm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:38 Mo 13.09.2004
Autor: nitro1185

ich habe das gleiche Ergebnis wie Frank erhalten,da ich glaube, dass bei jedem schuss die gleichen bedingungen sind und jedes huhn gleich ist!!

daniel

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Baumdiagramm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Mo 13.09.2004
Autor: Stefan

Hallo zusammen!

Also: Richtig ist:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Huhn überlebt ist:

[mm] $\left( \frac{9}{10} \right)^{10} \approx [/mm] 0,34868$.

Aber: Falsch ist der Erwartungswert ($1$), den ihr berechnet habt.

Denn: $X$ ist nicht binomialverteilt, da die Wahrscheinlichkeit, dass Huhn "Berta" überlebt, nicht unabhängig von der Wahrscheinlichkeit ist, dass Huhn "Albert" überlebt! Es handelt sich also um keine Bernoulli-Kette.

Liebe Grüße
Stefan



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                        
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Baumdiagramm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Mo 13.09.2004
Autor: frank2004

Hallo,

warum ist X nicht binomialverteilt? Kann ich die Fragestellung nicht wie folgt simulieren: In einer Urne sind 9 weiße Hühner und ein braunes Huhn. Es wird 10x mit Zurücklegen gezogen. (Jedes gezogene Huhn fällt vor Schreck in Ohnmacht.) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das braune Huhn nicht gezogen wurde (bzw. nicht in Ohnmacht liegt)? Damit ist doch P(X=0)=0,3487 mit X ~ Bin(10; 0,1)?

Ist es Zufall, das P(X=0) völlig identisch ist mit 0,9^10. Also die W'keit, dass das braune Huhn überlebt ist 0,9 bei einem Schuß. Da 10x geschossen wird, muss es zu 0,9^10 überleben. Könnte man dann nicht auch sagen P(X=10) mit Bin(10; 0,9). Irgendwie ist mir das alles noch nicht ganz schlüssig. Wo ist mein Denkfehler?

Zu b)
Folgende Überlegung: jedes Huhn überlebt mit einer W'keit von 0,3487. Dann müssten bei 10 Hühnern im Durchschnitt 0,3487*10 Hühner überleben. Also ca. 3,5 Hühner im Durchschnitt. Oder wieder falsch?

Generell:
Kann es sein, dass P(X=k) nach Verteilung X aber E(X) nach Verteilung Y berechnet wird. Oder ist es dann wie hier, nur Zufall oder ein Denkfehler, dass mit der Binomialverteilung das gleiche Ergebnis bei a) herauskommt.

Gruß
Frank

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Baumdiagramm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 Di 14.09.2004
Autor: Stefan

Lieber Frank!

> warum ist X nicht binomialverteilt? Kann ich die
> Fragestellung nicht wie folgt simulieren: In einer Urne
> sind 9 weiße Hühner und ein braunes Huhn. Es wird 10x mit
> Zurücklegen gezogen. (Jedes gezogene Huhn fällt vor Schreck
> in Ohnmacht.) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das
> braune Huhn nicht gezogen wurde (bzw. nicht in Ohnmacht
> liegt)? Damit ist doch P(X=0)=0,3487 mit X ~ Bin(10;
> 0,1)?

Ach so: Bei dir ist $X$ gar nicht die Anzahl der getroffenen Hühner, sondern die Anzahl, wie oft ein bestimmtes Huhn ("Caesar" ;-)) getroffen wurde. Ja, dann hast du Recht, dann ist $X$ in der Tat $Bin(10;0,1)$-verteilt.

Ich dachte bei dir wäre $X$ die Anzahl der getroffenen Hühner, weil da ja darüber auch mit dem Erwartungswert der überlebenden Hühner argumentiert hast.

> Ist es Zufall, das P(X=0) völlig identisch ist mit 0,9^10.

Nein, jetzt nicht mehr, wo ich weiß, was $X$ bei dir ist. ;-)

> Also die W'keit, dass das braune Huhn überlebt ist 0,9 bei
> einem Schuß. Da 10x geschossen wird, muss es zu 0,9^10
> überleben. Könnte man dann nicht auch sagen P(X=10) mit
> Bin(10; 0,9). Irgendwie ist mir das alles noch nicht ganz
> schlüssig. Wo ist mein Denkfehler?

Es ist alles korrekt. :-)
  

> Zu b)
>  Folgende Überlegung: jedes Huhn überlebt mit einer W'keit
> von 0,3487. Dann müssten bei 10 Hühnern im Durchschnitt
> 0,3487*10 Hühner überleben. Also ca. 3,5 Hühner im
> Durchschnitt. Oder wieder falsch?

Das ist vollkommen richtig. Man müsste es nur "sauberer" mit dem Erwartungswert  begründen.

Es sei für [mm] $i=1,\ldots,10$: [/mm]

[mm]\chi_i:= \left\{ \begin{array}{ccl} 0 & , & \mbox{falls das $i$-te Huhn getroffen wird} \\[5pt] 1 & , & \mbox{falls das $i$-te Huhn überlebt} \end{array} \right.[/mm]

Dann gilt:

[mm] $E[\chi_i] [/mm] = [mm] P(\mbox{"das i-te Huhn überlebt"}) \approx [/mm] 0,3487$.

Weiterhin ist

[mm] $\chi:=\sum\limits_{i=1}^{10} \chi_i$ [/mm]

die Anzahl der überlebenden Hühner, und es gilt auf Grund der Linearität der Erwartung:

[mm] $E[\chi] [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^{10} E[\chi_i] [/mm] = 10 [mm] \cdot [/mm] 0,3487 = 3,487$.

Im Durchschnitt überleben also rund $3,487$ Hühner.

Das zeigt ja auch meine Excel-Simulation (ein besseres Ergebnis, das auch für hohe Simulationsschritte nicht erreicht wird, wird durch die sauschlechten Microsoft-Zufallszahlen verhindert ;-)).

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                                                                        
Bezug
Baumdiagramm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:40 Di 14.09.2004
Autor: frank2004

Danke! Ich fing schon an, zu verzweifeln.

Gruß
Frank

Bezug
                                                
Bezug
Baumdiagramm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Mo 13.09.2004
Autor: Teletubyyy

Hi Frank

>Wie würde denn die andere Lösung aussehen? Ich glaube

> nicht, dass die Berechnung von Teletubby stimmt, denn in
> der letzen Berechnung P(-++++++++++) kommt 0 heraus, und
> damit hätte Huhn Nr. 1 keine Überlebenschance und würde
> doch erschossen.

...

> Oder gibt es bei mir einen Denkfehler?

                                                                                    Ja...
Du verstehst mein Baumdiagramm nicht richtig.
wenn ich von der Wahrscheinlichkeit (-+++++++++) spreche meine ich die Wahrscheinlichkeit, dass der 1. Jäger kein Huhn erschießt, der 2. - 10. Jäger aber je eines erschießen.
Das heißt, ich sage, dass die Jäger nacheinander schießen (das änderet am Experiment nichts, angenommen ein Jäger kann auch auf ein bereits getroffenes Huhn schießen, es also nicht erschießen)
Da der erste Jäger auf eines der 10 Hühner schießt, und noch keines getroffen sein kann, muss er auch eins töten. Daher muss die Wahrscheinlichkeit P(-+++++++++)=0 sein.
Übrigens kann es sehr gut sein, dass ich die Aufgabe falsch verstanden habe und tatsächlich die gesuchte Wahrscheinlichkeit ~35% ist, aber ansonsten müsste mein Ergebniss, auch wenn es relativ kompliziert ist, durchaus stimmen:)



Bezug
                                
Bezug
Baumdiagramm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:09 Mo 13.09.2004
Autor: Rabea

Hallo Teletubyyy,

Danke für Deine Hilfe. Auch wenn Frage a nach meiner Mathelehrerin von Nitro gelöst ist - sie musste auch erstmal über deine Lösung ganz schön nachdenken.

Viele Grüße
Rabea

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