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| Aufgabe | Angenommen es gibt [mm] $\!N\$ [/mm] Taxis in Lübeck, die mit den aufeinanderfolgenden Nummern [mm] $\!1,...,N\$ [/mm] nummeriert sind. Sie beobachten zufällig [mm] $\!n\$ [/mm] verschiedene Taxis $(n [mm] \le [/mm] N)$; Die Zufallsvariable [mm] $\!X\$ [/mm] beschreibt die höchste Nummer der beobachteten Taxis.
1. Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, dass die höchste Nummer unter den beobachteten Taxis die Nummer [mm] $\!x\$ [/mm] ist (d.h. $P(X=x|N)$)?
2. Es wird [mm] $\!n=1\$ [/mm] Taxi beobachtet und Ihr Interesse besteht darin, daraus [mm] $\!N\$ [/mm] zu schätzen. Angenommen Ihre Priori-Verteilung für [mm] $\!N\$ [/mm] ist geometrisch mit dem Erwartungswert 100, d.h. $N [mm] \sim \mathcal G(\pi [/mm] = [mm] \bruch{1}{10})$ [/mm] mit
[mm] [center]$f(N)=\pi(1-\pi)^{N-1}, [/mm] N=1,2,...$[/center]
Bestimmen Sie die Posteriori-Verteilung für [mm] $\!N\$.
[/mm]
Hinweis: Die in Teil 1. berechnete Wahrscheinlichkeit $P(X=x|N)$ ist die Likelihood-Funktion $f(x|N)$.
3. Das beobachtete Taxi trägt die Nummer 203. Berechnen Sie die Normierungskonstante (z.B. mit R).
Hinweis: Bei der Berechnung der Normierungskonstante lässt sich [mm] $\sum\nolimits_{n=1}^\infty \bruch{x^{n}}{n}=-\log(1-x)$ [/mm] ausnutzen. |
Hallo,
bitte nicht gleich wegen der Länge der Lösung wegclicken - es geht nur um zwei Kleinigkeiten. 
Lösung:
1.
Problem: Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge
[mm] $P(X=x|N)=\bruch{\vektor{X-1 \\ n-1}}{\vektor{N \\ n}}$
[/mm]
Beispiel: [mm] $\!n=10\$ [/mm] Taxis wurden beobachtet, [mm] $\!X=15\$
[/mm]
[mm] $\vektor{15-1 \\ 10-1}$ [/mm] Wenn die größte Nummer [mm] $\!X\$ [/mm] ist, müssen alle übrigen [mm] $\!(n-1)\$ [/mm] Taxis Nummern bis maximal [mm] $\!(X-1)\$ [/mm] haben!
2.
Likelihood: Info aus Daten
[mm] $f(X|N)=P(X=x|N)=\bruch{\vektor{X-1 \\ n-1}}{\vektor{N \\ n}}=\bruch{1}{N}$
[/mm]
Priori-Vorwissen:
[mm] $f(N)=\pi(1-\pi)^{N-1}$ [/mm] $N=1,2,...$
Posteriori:
[mm] $f(N|X)=\bruch{f(X|N)*f(N)}{f(X)}=$
[/mm]
[mm] $=\bruch{f(X|N)*f(N)}{\underbrace {\sum\nolimits_{N=X}^\infty}_{\mbox{Wir wissen schon, dass es mind. X Taxis gibt}} f(X|N)*f(N)}=$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\bruch{1}{N}\pi(1-\pi)^{N-1}}{\sum\nolimits_{N=X}^\infty \bruch{1}{N}\pi(1-\pi)^{N-1}}=$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\bruch{1}{N}\pi(1-\pi)^{N}(1-\pi)^{-1}}{\sum\nolimits_{N=X}^\infty \bruch{1}{N}\pi(1-\pi)^{N}(1-\pi)^{-1}}=$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\bruch{1}{N}(1-\pi)^{N}}{\sum\nolimits_{N=X}^\infty \bruch{1}{N}(1-\pi)^{N}}=$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\bruch{1}{N}(1-\pi)^{N}}{\underbrace {\sum\nolimits_{N=1}^\infty \bruch{1}{N}(1-\pi)^{N}}_{-\log(\pi)}-\sum\nolimits_{N=1}^{X-1} \bruch{1}{N}(1-\pi)^{N}}=$
[/mm]
[mm] $=\underbrace {\bruch{\bruch{1}{N}(1-\pi)^{N}}{-\log(\pi)-\sum\nolimits_{N=1}^{X-1} \bruch{1}{N}(1-\pi)^{N}}}_{c}$
[/mm]
3.
[mm] $\!X=203\$ $\pi [/mm] = [mm] \bruch{1}{100}$
[/mm]
[mm] $\!c=0.046\$
[/mm]
Fragen:
- Wie kommt in der zweiten Teilaufgabe der Nenner in der vorletzten Zeile zustande bzw. warum ist die 1. Summe [mm] $-\log(\pi)$?
[/mm]
- Ich sehe nicht, warum bei der letzten Teilaufgabe [mm] $\sum\nolimits_{n=1}^\infty \bruch{x^{n}}{n}=-\log(1-x)$ [/mm] gilt?
Vielen Dank für Eure Mühe!
Gruß
el_grecco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 20.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Di 20.09.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo,
das Thema ist (leider) noch aktuell, von daher wäre es sehr nett, wenn jemand bei Gelegenheit/Motivation ein Auge darauf werfen könnte...
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Di 20.09.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Fragen:
> - Wie kommt in der zweiten Teilaufgabe der Nenner in der
> vorletzten Zeile zustande bzw. warum ist die 1. Summe
> [mm]-\log(\pi)[/mm]?
Wo ist das Problem? Setze [mm] $x=1-\pi$ [/mm] in
$ [mm] \sum\nolimits_{n=1}^\infty \bruch{x^{n}}{n}=-\log(1-x) [/mm] $
> - Ich sehe nicht, warum bei der letzten Teilaufgabe
> [mm]\sum\nolimits_{n=1}^\infty \bruch{x^{n}}{n}=-\log(1-x)[/mm]
> gilt?
Das ist doch der Hinweis, den man i.a. nicht beweisen muss. Man kann ihn m.W. mit einer Taylorreihenentwicklung und geschickter Argumentation ueber Potenzreihen beweisen.
vg Luis
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Hallo Luis,
vielen Dank für Deine Antwort.
Mein Problem ist, dass ich nicht sehe, wie der Nenner in
$ [mm] =\bruch{\bruch{1}{N}(1-\pi)^{N}}{\sum\nolimits_{N=X}^\infty \bruch{1}{N}(1-\pi)^{N}}= [/mm] $
zum Nenner in
$ [mm] =\bruch{\bruch{1}{N}(1-\pi)^{N}}{\underbrace {\sum\nolimits_{N=1}^\infty \bruch{1}{N}(1-\pi)^{N}}_{-\log(\pi)}-\sum\nolimits_{N=1}^{X-1} \bruch{1}{N}(1-\pi)^{N}}= [/mm] $
gesplittet wird...?
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Di 20.09.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
nenne [mm] $a_N=\bruch{1}{N}(1-\pi)^{N}$. [/mm] Dann ist
$ [mm] \sum\nolimits_{N=X}^\infty a_n =\left(\sum\nolimits_{N=X}^\infty a_N+\sum\nolimits_{N=1}^{X-1} a_N\right) -\sum\nolimits_{N=1}^{X-1} a_N =\sum\nolimits_{N=1}^\infty a_N -\sum\nolimits_{N=1}^{X-1} a_N$.
[/mm]
vg Luis
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Moin Luis,
> Moin,
>
> nenne [mm]a_N=\bruch{1}{N}(1-\pi)^{N}[/mm]. Dann ist
>
> [mm]\sum\nolimits_{N=X}^\infty a_n =\left(\sum\nolimits_{N=X}^\infty a_N+\sum\nolimits_{N=1}^{X-1} a_N\right) -\sum\nolimits_{N=1}^{X-1} a_N =\sum\nolimits_{N=1}^\infty a_N -\sum\nolimits_{N=1}^{X-1} a_N[/mm].
>
mir ist leider noch nicht klar, wie aus [mm] $\left(\sum\nolimits_{N=X}^\infty a_N+\sum\nolimits_{N=1}^{X-1} a_N\right)$ [/mm] dann [mm] $\sum\nolimits_{N=1}^\infty a_N$ [/mm] wird...?
> vg Luis
Danke für Deine Hilfe!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Mi 21.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Hi Grieche,
allgemein gilt für p [mm] \ge [/mm] 1:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n= \summe_{n=1}^{p}a_n+\summe_{n=p+1}^{\infty}a_n,
[/mm]
ausgeschrieben:
[mm] $a_1+a_2+a_3+...=(a_1+...+a_p)+a_{p+1}+...$
[/mm]
Gruß FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Mi 21.09.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hi Fred,
> Hi Grieche,
>
> allgemein gilt für p [mm]\ge[/mm] 1:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n= \summe_{n=1}^{p}a_n+\summe_{n=p+1}^{\infty}a_n,[/mm]
>
> ausgeschrieben:
>
> [mm]a_1+a_2+a_3+...=(a_1+...+a_p)+a_{p+1}+...[/mm]
vielen Dank, jetzt ist mir diese Aufgabe endlich klar. Wäre ich ein Wiesn-Fan bzw. notorischer Wiesn-Gänger, hätte ich damit eine Ausrede parat, aber hier war ich ehrlich und offen gesagt überfordert...
> Gruß FRED
Gruß
el_grecco
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